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2024年高考押题预测卷【新高考卷】
数学·全解全析
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B D B C A B C D
1. 定义差集 且 ，已知集合 ， ，则 （
）
A. B. C. D.
1．【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，所以 ．
故选：B
2.已知函数 的最小正周期为 ，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数 的图象关于 对称
B. 函数 的对称中心是
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图象可以由 的图象向右平移 个单位长度得到
2.【答案】D
1
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【解析】A选项，
， 因 为 函 数 的 最 小 正 周 期 为 ， 解 得 ， 所 以
，
当 时， ，故A错误；
B选项，令 ，即 ，
函数 的对称中心是 ，故B错误；
C选项， 时， ，
显然 在其上不单调，故C错误；
D选项， 的图象向右平移 个单位长度，
得到 ，故D正确．
故选：D．
3.2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在
对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球
社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至
少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选
2
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司同一个村，则不同的选法种数是（ ）
A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
3.【答案】B
【解析】若五位同学最终选择为 ，先选择一位同学和学生甲和学生乙组成3人小组，
剩余两人各去一个村，进行全排列，此时有 种选择，若五位同学最终选择为 ，将除了甲
乙外的三位同学分为两组，再进行全排列，此时有 种选择，综上，共有 种选择.
故选：B
4.南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔 设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误的是（ ）
A. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多
的
C. 2015年至2022年，知识付费用户数量 逐年增加量逐年递增
D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
4.【答案】C
【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A说法正确；
3
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司对于B和C，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年， ；
2017年， ；2018年， ；
2019年， ；2020年， ；
2021年， ；2022年， ；
则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故B说法
正确，C说法错误；
对于D，由 ，则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D
说法正确.
综上，说法错误的选项为C.
故选：C
5. 在 中， 为边 上一点， ，且 的面积为 ，则
（ ）
A. B. C. D.
5.【答案】A
【解析】因为 ，解得 ，
所以 为等腰三角形，则 ，
中由正弦定理可得 ，即 ，解得 ，
在
因为 ，所以 为锐角，所以 ，
4
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以
.
故选：A
6.已知正项数列 的前 项和为 ，若 ，且 恒成
立，则实数 的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
6.【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
即 ，则 ，与上式作差后可得 ，
因为正项数列 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以
5
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
所以实数 的最小值为 ，
故选：B.
7. 设方程 的两根为 ， ，则（ ）
A. ， B.
C. D.
7.【答案】C
【解析】由 可得 ，
在同一直角坐标系中同时画出函数 和 的图象，如图所示：
由图象可知，因为 ， ，
所以 ，
所以 故A，D错误；
6
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，故B错误，C正确.
故选：C
8.在棱长为2的正方体 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中点，平面
截正方体 外接球所得的截面面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】取正方体的中心为 ，连接 ，
由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为 ，体对角线长为 ，
正方体外接球球心为点 ，半径 ，
又易得 ，且 ，
7
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以三棱锥 为正四面体，如图所示，取底面正三角形 的中心为 ，
即点 到平面 的距离为 ，又正三角形 的外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，所以
，
即正方体 外接球的球心 到截面 的距离为 ，
所以截面 被球 所截圆的半径 ，
则截面圆的面积为 .
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AB AD BD
9. 已知 是 的共轭复数，则（ ）
8
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A. 若 ，则
B. 若 为纯虚数，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则集合 所构成区域的面积为
9.【答案】AB
【解析】 ，所以 ，故A正确；
由 为纯虚数，可设 ，
所以 ，因为 且 ，
所以 ，故B正确；
由 ，得 ，
因为 与 均为虚数，
所以二者之间不能比较大小，故C错误；
设复数 ，所以
由 得 ，
所以集合 所构成区域是以 为圆心 为半径的圆，
所以面积为 ，故D错误.
.
故选：AB
9
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司10.已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，向量 ，且 与 夹角 ，则向量 可
以为（ ）
A. B. C. D.
10.【答案】AD
【解析】由题设可得 ，故 ，
而 ， 与 夹角 ，故 ，故 ，
对于A， ，因 ，故 ，故A正确.
对于B， ，因 ，故 ，故B错误.
对于C， ，因 ，故 ，故C错误.
对于D， ，因 ，故 ，故D错误.
故选：AD.
11.已知抛物线 的焦点为 为抛物线 上的任意三点
（异于坐标原点 ）， ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则
1
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0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C. 设 到直线 的距离分别为 ，则
D. 若直线 的斜率分别为 ，则
11.【答案】BD
【解析】对于A，因为 为抛物线上任意三点，且 ，
所以F为 的重心， ，
所以
又 ，即 ，故A错误；
对于B，延长 交 于点 ，
因为 为 的重心，所以 ，且 是 的中点，
因为 ，在 中，有 ，所以 ，故B正确；
对于C，抛物线方程为 ，所以抛物线的准线为 ，
所以 到直线 的距离之和 ，
因为 三点不一定共线，所以 ，
即 ，故C错误；
对于D，因为 ， ，
两式相减,得： ,
1
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1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 ,
同理可得 , ,
.
所以 ，故D正确
故选：BD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 展开式中 项系数为___________.
12.【答案】
【解析】由题意得 可化简为 ，
且其展开式通项为 ，
其中对于 的展开式通项为 ，
1
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2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
当 时，此时 ，则 的系数为 ，
当 时，此时 ，则 的系数为 ，
所以 项系数为 .
故答案为： .
13. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上一点，且 ，H
是线段 上靠近 的三等分点，且 ，则C的离心率为___________.
13.【答案】
【解析】由题意，不妨设点P在第一象限，如图.
因为 ，则 ， ， .
因为 ，则 ，可知 ，
则 ，即 ，整理得 .
1
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3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由 得 ，解得 或 （舍去），
所以C的离心率为 .
故答案为： .
14.随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为
了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出
通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现
梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用 作为激活函数，
为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输 的 满足 则提示“可能
出现梯度消失”，满足 则提示“可能出现梯度爆炸”，其中 表示梯度消失阈值， 表示梯度
爆炸间值.给出下列四个结论：
① 是 上的增函数；
②当 时， ，输入 会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当 时， ，输入 会提示“可能出现梯度消失”；
④ ，输入 会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
14.【答案】①③④
【解析】对于①：因为 的定义域为 ，
1
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4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司且 在 上单调递减，所以 是 上的增函数，故①正确；
对于②：因为 对任意 恒成立，
则 ，
令 ，整理得 ，
且 是 上的增函数，则 ，即 无解，
所以不存在 ，输入 会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；
对于③④：因为 是 上的增函数，则 ，即 ，
则 ，
令 ，
则 ，
令 ，则 在 上单调递增，且 ，
当 时， ，即 ，可知 在 上单调递减；
当 时， ，即 ，可知 在 上单调递增；
1
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5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，
且当x趋近于 或 时， 趋近于0，
所以 的值域为 ，
所以对 ，输入 会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；
因为 在 上单调递减，则 ，
且 ，即 对任意 恒成立，
所以当 时， ，输入 会提示“可能出现梯度消失”，故③正确；
故答案为：①③④.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分） 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若直线 与曲线 相切，求 的值．
15．（13分）
【解析】（1） 的定义域为R， ,
当 时， , 单调递减;
当 时，令 ，得 , （3分）
当 时， ， 单调递减;
1
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6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， ， 单调递增.
综上，当 时， 在R 上单调递减；
当 时， 在 单调递减; 在 上单调递增. (7分）
（2）由（1）知， ，
设切点 为，则 ，
易知 ，故 . （10分）
又 ，即 ，将 代入，得 .
设 ，则 .
令 ，即 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
综上， . （15分）
16．（15分）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查
某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南
方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
（1）依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值 的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅
游是否与收看短视颍有关联：单位：人
1
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7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
客
北方游
客
合计
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人
之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过 次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 ；
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．（15分）
【解析】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游
200 100 300
客
北方游
80 120 200
客
合计 280 220 500
零假设 ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联． （4分）
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8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 （7分）
（2）（i）设经过 次传递后回到甲的概率为 ，
， ，
又 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 . (10分）
（ii）（方法一）
设第 次传递时甲接到球的次数为 ，则 服从两点分布， ，
设前 次传递中球传到甲的次数为 ，
，
因为 ，所以 . （15分）
（方法二）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司设第 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为 与 ，则 服从两点分布，
，由题可知 ， ，
又 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ，
，
故 . （15分）
17．（15分） 如图，在四棱锥 中，四边形 是矩形， 是正三角形，且平面
平面 ， ， 为棱 的中点，四棱锥 的体积为 .
（1）若 为棱 的中点，求证： 平面 ；
（2）在棱 上是否存在点 ，使得平面 与平面 所成夹角的余弦值为 ？若存在，求出线
2
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0
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司段 的长度；若不存在，请说明理由.
17．（15分）
【解析】（1）取 中点 ，连接 分别为 的中点，
， 底面四边形 是矩形， 为棱 的中点，
，
故四边形 是平行四边形， ，
又 平面 平面 ， //平面 . （6分）
（2）假设在棱 上存在点 满足题意，如图：连接 ， ， ，
在等边 中， 为 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，则 是四棱锥 的高，
设 ，则 ，
∴ ，所以 ， （9分）
以点 为原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
2
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1
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 ，
故 ，
设 ，
．
设平面 的一个法向量为 ，
则 所以可取 .
易知平面 的一个法向量为 ， （12分）
， ，
故存在点 满足题意. （15分）
18．（17 分）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 ．其中
2
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2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，且 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点 ，若曲线 上两动点 均在 轴上方， ，且 与 相交于点 ．
①当 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
②当 时，记 的面积为 ，其内切圆半径为 ，试探究是否存在常数 ，使得 恒成立？
若存在，求 （用 表示）；若不存在，请说明理由．
18．（17分）
【解析】（1）设点 ，由题意可知 ，
即 ，经化简，得 的方程为 ，
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线． （3分）
（2）设点 ，其中 且 ，
（ⅰ）由（1）可知 的方程为 ，
因为 ，所以 ，
因此， 三点共线，且 ， （6
分）
2
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3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，得 ，
则 ，
由（1）可知 ，
所以
，
所以 为定值1； （9分）
（法二）设 ，则有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ，
所以 为定值1； （12分）
由椭圆定义 ，得 ，
2
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4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
解得 ，同理可得 ，
所以
．
因为 ，所以 的周长为定值 ． （9分）
（ⅱ）当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得 三点共线，且 ，
（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，
得 ，
，（*）
2
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5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司因为 ，
所以
，
将（*）代入上式，化简得 ， （13分）
（法二）设 ，依条件有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ． （13分）
由双曲线的定义 ，得 ，
根据 ，解得 ，
同理根据 ，解得 ，
2
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6
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以
，
由内切圆性质可知， ，
当 时， （常数）．
因此，存在常数 使得 恒成立，且 ． （17分）
19．（17分）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点
变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可
由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英
文字母 ， ，…表示．
2
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7
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），
求点 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐
标公式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一
个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
19．（17分）【解析】（1）可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
故
2
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8
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所以
（7分）
（2）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为 ，
该变换所对应的二阶矩阵为 （9分）
（3）设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，
对应变换公式为： ，
，
所以
故对应变换公式同样为
所以 得证. （17分）
2
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