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2021 年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. -2的倒数是（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义求解.
【详解】-2的倒数是-
故选B
【点睛】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握
2. 计算： 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据乘方的意义消去负号，然后利用同底数幂的乘法计算即可．
【详解】解：原式 ．
故选B．
【点睛】此题考查的是幂的运算性质，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．
3. 如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看下面一层是三个正方形，上面一层中间是一个正方形．即：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 一个布袋里装有3个红球和5个黄球，它们除颜色外其余都相同从中任意摸出一个球是红球的概率是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出所有球数的总和，再用红球的数量除以球的总数即为摸到红球的概率．
【详解】解：任意摸一个球，共有8种结果，任意摸出一个球是红球的有3种结果，因而从中任意摸出一
个球是红球的概率是 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了等可能事件的概率，关键注意所有可能的结果是可数的，并且每种结果出现的可能性
相同．
5. 若 ，两边都除以 ，得（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】解： ，
两边都除以 ，得 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
6. 用配方法解方程 时，配方结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完
全平方公式写成平方形式即可．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．
7. 如图， 是 的直径，弦 于点E，连结 ．若 的半径为 ，则
下列结论一定成立的是（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据垂径定理、锐角三角函数 的定义进行判断即可解答．
【详解】解：∵ 是 的直径，弦 于点E，
∴
在 中， ，
∴
∴ ，故选项A错误，不符合题意；
又
∴
∴ ，故选项B正确，符合题意；
又
∴∵
∴ ，故选项C错误，不符合题意；
∵ ，
∴ ，故选项D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂
径定理和锐角三角函数的定义．
8. 四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右
侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A. 将B向左平移4.5个单位 B. 将C向左平移4个单位
C. 将D向左平移5.5个单位 D. 将C向左平移3.5个单位
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用利用关于y轴对称点的性质得出答案．
【详解】解：∵点A (−1，b) 关于y轴对称点为B (1，b)，
C (2，b)关于y轴对称点为(-2，b)，
需要将点D (3.5，b) 向左平移3.5+2=5.5个单位，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
9. 一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、
丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力 ，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若 ，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A. 甲同学 B. 乙同学 C. 丙同学 D. 丁同学
【答案】B
【解析】
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵ ，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原
理是解答的关键．
10. 如图，在 纸片中， ，点 分别在 上，连结 ，
将 沿 翻折，使点A的对应点F落在 的延长线上，若 平分 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．
【详解】解：∵ ，
∴ =5，
由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，
∵ 平分 ，
∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE+∠B=90°，
∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△FBD，
∴ 即 ，
解得：AD= ，
故选：D．
【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定
理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】 ，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12. 要使式子 有意义，则x可取的一个数是__________．
【答案】如4等（答案不唯一， ）【解析】
【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子 有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3，
∴x可取x≥3的任意一个数，
故答案为：如4等（答案不唯一， ．
【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．
13. 根据第七次全国人口普查，华东 六省60岁及以上人口占比情况如图所示，这六省60
岁及以上人口占比的中位数是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由图，将六省60岁及以上人口占比由小到大排列好，共有6个数，所以中位数等于中间两个数之
和除以二．
【详解】解：由图，将六省人口占比由小到大排列为： ，
由中位数 的定义得：人口占比的中位数为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求解中位数，解题的关键是：将数由小到大排列，根据数的个数分为两类．当个数为奇数时，中位数等于最中间的数；当个数为偶数个时，中位数等于中间两个数之和除以2．
14. 一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为 ，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【解析】
【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【详解】解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
15. 小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2
的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中 ，则“奔跑者”两脚之间
的跨度，即 之间的距离是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据图1求EQ与CD之间的距离，再求出BQ，即可得到 之间的距离= EQ与CD之
间的距离+BQ．【详解】解：过点E作EQ⊥BM，则
根据图1图形EQ与CD之间的距离=
由勾股定理得： ，解得： ；
，解得：
∵
∴
∵EQ⊥BM，
∴
∴
∴ 之间的距离= EQ与CD之间的距离+BQ
故答案为 ．
【点睛】本题考查了平行线间 的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形
结合法找到需要的数据是解答此题的关键．
16. 数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是__________．
（2）当 时，代数式 的值是__________．
【答案】 (1). 或1 (2). 7
【解析】
【分析】（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验证即可；
（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；
把 代入 得，0=0，成立；
∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等
知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每
题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17. 计算： ．
【答案】2020
【解析】
【分析】先计算绝对值、零指数幂和算术平方根，最后计算加减即可；
【详解】解：
，
．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序及相关运算法则．18. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解： ，
把①代入②，得 ，
解得 ．
把 代入①，得 ．
∴原方程组 解是 ．
的
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键．
19. 在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行
调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图信息解答下列问题：
抽取的学生视力情况统计表
检查结
类别 人数
果
A 正常 88
轻度近
B ______
视
中度近
C 59
视
重度近
D ______
视（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；
（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．
【答案】（1）200人；（2）810人；（3）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】（1）根据检查结果正常的人数除以所占百分比即可求出抽查的总人数；
（2）首先求出近视程度为中度和重度的人数所占样本问题的百分比，再依据样本估计总体求解即可；
（3）可以从不同角度分析后提出建议即可．
【
详解】解：（1） （人）．
∴所抽取的学生总人数为200人．
（2） （人）．
∴该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数有810人．
（3）本题可有下面两个不同层次的回答，
A层次：没有结合图表数据直接提出建议，如：加强科学用眼知识的宣传．
B层次：利用图表中的数据提出合理化建议．
如：该校学生近视程度为中度及以上占比为 ，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校要加强电
子产品进校园及使用的管控．
【点睛】本题考查了频率分布表及用样本估计总体的知识，本题渗透了统计图、样本估计总体的知识，解
题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息．
20. 如图，在 的方格纸中，线段 的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段 ，使 在格点上；
（2）如图2，画出一条线段 ，使 互相平分， 均在格点上；
（3）如图3，以 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；
（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；
（3）画出平行四边形ABPQ即可．
【详解】解：（1）如图1，线段AC即为所作；
（2）如图2，线段EF即为所作；
（3）四边形ABPQ为所作；
【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运
用所学知识解决问题．
21. 李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地．行驶过程中，货车离目的
地的路程s（千米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示（中途休息、加油的时间不计．当油箱中剩余油
量为10升时，货车会自动显示加油提醒．设货车平均耗油量为0.1升/千米，请根据图象解答下列问题：（1）直接写出工厂离目的地的路程；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）当货车显示加油提醒后，问行驶时间t在怎样的范围内货车应进站加油？
【答案】（1）工厂离目的地的路程为880千米；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】（1）根据图象直接得出结论即可；
（2）根据图象，利用待定系数法求解函数表达式即可；再求出油量为
（3）分别求出余油量为10升和0升时行驶的路程，根据函数表达式求出此时的t值，即可求得t的范围．
【详解】解：（1）由图象，得 时， ，
答：工厂离目的地的路程为880千米．
（2）设 ，将 和 分别代入表达式，
得 ，解得 ，
∴s关于t的函数表达式为 ．
（3）当油箱中剩余油量为10升时， （千米），
，解得 （小时）．
当油箱中剩余油量为0升时， （千米），，解得 （小时）．
随t的增大而减小，
的取值范围是 ．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答的关键是理解题意，能从函数图象上提取有效信息解决问题．
22. 如图，在 中， ，以 为直径的半圆O交 于点D，过点D作半圆O的切线，交
于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连结 ，利用圆的切线性质，间接证明： ，再根据条件中：
且 ，即能证明： ；
（2）由（1）可以证明： 为直角三角形，由勾股定求出 的长，求出 ，可得到 的度数，
从而说明 为等边三角形，再根据边之间的关系及弦长所对应的圆周角及圆心角之间的关系，求出，半径 ,最后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：（1）证明：如图，连结 ．
与 相切， ．
是圆的直径， ．
．
．
．
．
（2）由（1）可知， ，
，
， ，
是等边三角形．
,
，
．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形、勾股定理、圆心角和圆周角之间的关系、弧长公式等知识点，解本题第二问的关键是：熟练掌握等边三角形判定与性质.
23. 如图，已知抛物线 经过点 ．
（1）求 的值；
（2）连结 ，交抛物线L的对称轴于点M．
①求点M的坐标；
②将抛物线L向左平移 个单位得到抛物线 ．过点M作 轴，交抛物线 于点N．P是抛
物线 上一点，横坐标为 ，过点P作 轴，交抛物线L于点E，点E在抛物线L对称轴的右侧．
若 ，求m的值．
【答案】（1） ；（2）① ；②1或 ．
【解析】
【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）①求出直线AB的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物
线 的表达式，再分三种情况进行求解即可．
【详解】解：（1）把点 的坐标分别代入 ，
得 ．解得
的值分别为 ．（2）①设 所在直线的函数表达式为 ，
把 的坐标分别代入表达式，得
解得
所在直线的函数表达式为 ．
由（1）得，抛物线L的对称轴是直线 ，
当 时， ．
∴点M的坐标是 ．
②设抛物线 的表达式是 ，
轴，
点N的坐标是 ．
∵点P的横坐标为
∴点P的坐标是 ，
设 交抛物线 于另一点Q，
∵抛物线 的对称轴是直线 轴，
∴根据抛物线的轴对称性，点Q的坐标是 ．（i）如图1，当点N在点M下方，即 时，
，
，
由平移性质得 ，
∴
∴ ，解得 （舍去）， ．
（ii）图2，当点N在点M上方，点Q在点P右侧，
即 时， ，
，
解得 （舍去）， （舍去）．
（ⅲ）如图3，当点N在点M上方，点Q在点P左侧，
即 时，
，
，
解得 （舍去）， ．
综上所述，m的值是1或 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方
程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．
24. 如图，在菱形 中， 是锐角，E是 边上的动点，将射线 绕点A按逆时针方向旋转，
交直线 于点F．（1）当 时，
①求证： ；
②连结 ，若 ，求 的值；
（2）当 时，延长 交射线 于点M，延长 交射线 于点N，连结 ，
若 ，则当 为何值时， 是等腰三角形．
【答案】（1）①见解析；② ；（2）当 或2或 时， 是等腰三角形．
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到边相等，对角相等，根据已知条件证明出 ，得到
， 由 ， ， 得 到 AC 是 EF 的 垂 直 平 分 线 ， 得 到 ，
，再根据已知条件证明出 ，算出面积之比；
（2）等腰三角形的存在性问题，分为三种情况：当 时， ，得到CE= ；当
时， ，得到CE=2；当 时， ，得到CE= ．
【详解】（1）①证明：在菱形 中，，
，
，
，
∴ （ASA），
∴ ．
②解：如图1，连结 ．
由①知， ，
．
在菱形 中， ，
∴ ，
设 ，则 ．
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．（2）解：在菱形 中， ，
，
，
同理， ，
∴ ．
是等腰三角形有三种情况：
①如图2，当 时， ，
，
，
，
．②如图3，当 时，
，
，
，
∴ ．
③如图4，当 时，
，
，
，
．
综上所述，当 或2或 时， 是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题，
解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形（利用两圆一中垂），通过证明三角形相似，利用相似比
求出所需线段的长．
