文档内容
2021 年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一
正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
3. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入
决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
4. 下列计算结果正确 的是（ ）
.
A B. C. D.
5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长
是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，面积为 的正方形 内接于⊙O，则 的长度为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与 轴没有交点
B. 当 时
C. 图象与 轴的交点是
D. 随 的增大而减小
10. 已知点 在第一象限，且 ，点 在 轴上，当 为直角三角形时，点
的坐标为（ ）
A. ， 或 B. ， 或
.
C ， 或 D. ， 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横
线上）
11. 计算： ______．
12. 北京时间 年 月 日 时 分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制
动，顺利进入近火点，高度约 ，成为我国第一颗人造火星卫星．其中， 用科学记数法
可以表示为____．13. 因式分解： _____．
14. 若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____．
15. 实数 ， 是一元二次方程 的两个根，则多项式 的值为____．
16. 若式子 的值为零，则 ＝___．
17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若 ， ，
则 的度数是____．
18. 古希腊数学家把 ， ， ， ， ， ，…这样 的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表
示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 ，第二个图形表示的三角形数记为 ，…，
则第 个图形表示的三角形数 ＝___．（用含 的式子表达）
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解
答或证明的主要步骤）
19. 计算： ．20. 解不等式组： ，并在数轴上表示它的解集．
21. 如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得
，连接 与 交于点 ，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
22. 为庆祝中国共产党成立 周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代
号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生
进行问卷调查．根据统计的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）该校此次调查共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
（3）若该校共有 名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．
活动名称 朗诵 合唱 舞蹈 绘画 征文
活动代号23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡． 年为庆祝湘
西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙
蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为
30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高
度．（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
24. 如图， 为⊙ 的直径， 为⊙O上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求：边 及 的长．25. 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，
开始组建团队，制作面向 、 两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作 个 类微课和 个 类微
课需要4600元成本，制作 个 类微课和 个 类微课需要 元成本．李老师又把做好的微课出售给
某视频播放网站，每个 类微课售价 元，每个 类微课售价 元．该团队每天可以制作 个 类
微课或者 个 类微课，且团队每月制作的 类微课数不少于 类微课数的 倍（注：每月制作的 、
两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有 天制作微课，其中制作 类微课 天，制作 、 两
类微课的月利润为 元．
（1）求团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是多少元？
（2）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）每月制作 类微课多少个时，该团队月利润 最大，最大利润是多少元？
26. 如图，已知抛物线 经过 ， 两点，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，求直线 的解析式；
（3）请在抛物线 的对称轴上找一点 ，使 的值最小，求点 的坐标，并求出此时 的
最小值；
（4）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
