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2021 年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一
正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项．
【详解】解： 的相反数是 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解．
【详解】解： ；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
3. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入
决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握
相关运算法则是解答本题的关键．
5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）
A. B.
C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为 ；
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
6. 如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形
的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得 ，则有 ，然后可得 ，进而根据菱形的性质可求
解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形
的性质是解题的关键．
7. 如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得 ， ，则有 ，然后可得 ，然后根
据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8. 如图，面积为 的正方形 内接于⊙O，则 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD、AC，由题意易得 ，然后根据弧长计算公式可求解．
【详解】解：连接BD、AC，
∵四边形 是正方形，且面积为18，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 的长度为 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键．
9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为
的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 图象与 轴没有交点
B. 当 时
C. 图象与 轴的交点是
D. 随 的增大而减小
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．
【详解】解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，且y的值永
远大于0，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10. 已知点 在第一象限，且 ，点 在 轴上，当 为直角三角形时，点
的坐标为（ ）
A. ， 或 B. ， 或
C. ， 或 D. ， 或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可分当 时和当 时，然后根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：由题意得：
当 时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ；
当 时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当 时，则 ；当 时，则 ，
∴ 或 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质
与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11. 计算： ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律．
12. 北京时间 年 月 日 时 分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制
动，顺利进入近火点，高度约 ，成为我国第一颗人造火星卫星．其中， 用科学记数法
可以表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：把 用科学记数法可以表示为 ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
13. 因式分解： _____．
【答案】
【解析】
【详解】原式=14. 若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式 在实数范围内有意义可得：
，解得： ；
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15. 实数 ， 是一元二次方程 的两个根，则多项式 的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，然后代入求解即可．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，
∴ ；
故答案 为．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关
键．
16. 若式子 的值为零，则 ＝___．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解．【详解】解：由式子 的值为零可得：
，
∴ 且 ，
∴ ；
故答案为0．
【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 、 ，若 ， ，
则 的度数是____．
【答案】40°
【解析】
【分析】如图，由折叠的性质可得 ，进而可得 ，然后
易得四边形 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．
【详解】解：如图所示：
∵ ，
由折叠的性质可得 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ；
故答案为40°．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性
质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
18. 古希腊数学家把 ， ， ， ， ， ，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表
示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为 ，第二个图形表示的三角形数记为 ，…，
则第 个图形表示的三角形数 ＝___．（用含 的式子表达）
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得 ， ， ， ；…..；然后由此
规律可得第 个图形表示的三角形数．
【详解】解：由图及题意可得：
， ， ， ；…..
∴第 个图形表示的三角形数 ；故答案为 ．
【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解
答或证明的主要步骤）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解．
【详解】解：原式= ．
【点睛】本题主要考查零次幂、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幂、特殊三角函数值及算术
平方根是解题的关键．
20. 解不等式组： ，并在数轴上表示它的解集．
【答案】无解，数轴见详解
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可．
【详解】解：
由①得： ，
由②得： ，
∴原方程无解，
在数轴上的表示如图所示：【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21. 如图，在 中，点 在 边上， ，将边 绕点 旋转到 的位置，使得
，连接 与 交于点 ，且 ， ．
（1）求证： ；
（2）求 的度数．
【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得 ， ，则有 ，然后问题可求证；
（2）由（1）可得 ，然后可得 ，进而根据三角形外角的性质可进
行求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，∴根据三角形内角和可得 ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等
三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 为庆祝中国共产党成立 周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代
号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生
进行问卷调查．根据统计 的数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）该校此次调查共抽取了 名学生；
（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
（3）若该校共有 名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．
活动名称 朗诵 合唱 舞蹈 绘画 征文
活动代号【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240名学生参加舞蹈活动．
【解析】
【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6名，然后补全条形统计图即可；
（3）由（2）及题意可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
该校此次调查共抽取的学生人数为 （名）；
故答案为50；
（2）由（1）及题意可得：
参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；
补全条形统计图如图所示：
（3）由题意得：（名）；
答：该校有240名学生参加舞蹈活动．
【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可．
23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡． 年为庆祝湘
西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙
蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 处的仰角为
30°，在平地上 处观测到楼顶 处的仰角为 ，并测得A、 两处相距 ，求“一心阁” 的高
度．（结果保留小数点后一位，参考数据： ， ）
【答案】 m
【解析】
【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有 m，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有 m，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ m．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24. 如图， 为⊙ 的直径， 为⊙O上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 ， ，求：边 及 的长．
【答案】（1）见详解；（2） ，
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 连 接 OC ， 由 题 意 易 得 ， 则 有 ， 进 而 可 得
，然后问题可求证；
（2）连接BC，由题意及（1）易得 ，则有DC=6，然后可得
，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，∴ ，
∵AD⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：连接BC，如图所示：
由（1）可得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为⊙ 的直径，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
25. 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，
开始组建团队，制作面向 、 两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作 个 类微课和 个 类微
课需要4600元成本，制作 个 类微课和 个 类微课需要 元成本．李老师又把做好的微课出售给
某视频播放网站，每个 类微课售价 元，每个 类微课售价 元．该团队每天可以制作 个 类
微课或者 个 类微课，且团队每月制作的 类微课数不少于 类微课数的 倍（注：每月制作的 、
两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有 天制作微课，其中制作 类微课 天，制作 、 两
类微课的月利润为 元．
（1）求团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是多少元？
（2）求 与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（3）每月制作 类微课多少个时，该团队月利润 最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是 700 元、500 元；（2）
， ；（3）每月制作 类微课 个时，该团队月利润 最大，最大利润是
元．
【解析】
【分析】（1）设团队制作一个 类微课 的成本为 元，制作一个 类微课的成本为 元，由题意得
，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】解：（1）设团队制作一个 类微课的成本为 元，制作一个 类微课的成本为 元，由题意得：，
解得： ；
答：团队制作一个 类微课和一个 类微课的成本分别是700元、500元．
（2）由题意得制作 类微课 天，则有：
，
∵团队每月制作的 类微课数不少于 类微课数的 倍，
∴ ，且 ，解得： ，
（3）由（2）可得： ， ，
∴ 随 的增大而增大，
∵每月制作的 、 两类微课的个数均为整数，
∴ 为偶数，
∴当 时，w取最大，最大值为 ；
答：每月制作 类微课 个时，该团队月利润 最大，最大利润是 元．
【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一
次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线 经过 ， 两点，交 轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接 ，求直线 的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的值最小，求点 的坐标，并求出此时 的
最小值；
（4）点 为 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 ，使得以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）直线 的解析式为 ；（3） ，此时
的最小值为 ；（4）存在， 或 ．
【解析】
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线 的解析式为 ，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得 ，要使
的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点 ，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，
③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过 ， 两点，∴ ，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为 ，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，把点B、C的坐标代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）由抛物线 可得对称轴为直线 ，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴ ，
∴ ，要使 的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即
为所求的P点，
∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
∵点P在直线BC上，
∴把 代入得： ，
∴ ；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点 ， ，当以 、 、 、 四点为顶点的
四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，∴根据中点坐标公式可得： ，即 ，
解得： ，
∴ ；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即 ，
解得： ，
∴ ；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即 ，
解得： ，
∴ ；
∴综上所述：当以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形，点 的坐标为 或
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
