1988年数学(一)真题解析
⑴【解】由怏|亍卜怛(” + 1； • 3屮I入=寻得收敛半径R = 3,
当工一3 = —3,即h = 0时，工-—9-收敛;
“ =i 九
当工一3 = 3,即工=6时，工~~发散，
□ n
故级数乞 & 的收敛域为：0,6).
”=i n • 3
2 _______________
(2) 【解】 由 e95 (x) = 1 —工，得申(z ) = 5/ln(l — j;),
由1 —工得卩(工)的定义域为(-oo,01
(3) 【解】由高斯公式得
3 dydz + 夕3 dz d«z + n ' dz dy
s
f2K fn fl 12?r
= 3j d&J dyj r4 sin cpdr
~5-
二、填空题
(1)【答案】(l + 2C/・
【解】/(Z) =limr(l + —) 2<X = Him r(l + —) X"l " = te21 ,
工*-8 \ JC ' x*°°- L' JC)」
则 /(z) = / +2te〃 = (l + 2t)e“.
3
⑵【答案】 y.
【解】/Q)的傅里叶级数在Z = 1处收敛于
/(1-0) + /(1 + 0) /(1-0)+/(-1 + 0) 1 + 2 3
2 = 2 = 2 = T'
(3) 【答案】春.
「工 3 _ ]
【解】 = x两边对无求导得3j:2/(x3 —1) = 1,
J 0
取工=2得于(7)=春.
(4) 【答案】40.
【解】 由 A+B = (a+j?,2r2,2r3,2y4 )得
\A+B\=丨 a + ",2”，2人，2人 I = 8 I a + 0,"，人，人丨
=8 ( I Ct 9 y 2 » y 3 » / 4 | + |09丫2，丫39丁4 丨)=8( I A | + I B I ) = 40 ・
三、选择题
(l)【答案】(B)・
【解】 因为于(工)在无=工0处可导，所以/(工)在无=工0处可微，
于是dy = f Jjc %工=-y-Ax，故函数在工=Xq处的微分dy是与同阶而非等价的无穷小，应选(B).（2） 【答案】（A）.
【解】 将 x = x0 代入 y" — 2y' + 4^ = 0,得 /"（乂o） — 2仆工烏 + 4/（x0） = 0,
从而r（x0）= -4/（x0） < 0,由极值判别法得z =工。为于（工）的极大值点，应选（A）.
（3） 【答案】（C）.
【解】由奇偶性得
jjx dw = JJj/dv = 0, JJzdx> = , JJzyzd© = 0,显然选（C）.
C] ni 。1 n2 ni
（4） 【答案】（B）.
【解】 因为级数》；a”Q —1）”在工=一1处收敛，
” =0
所以其收敛半径R ^1-1-1 1= 2.
当工=2时，因为| 2 — 1 |= 1 <R,所以该级数在z = 2处绝对收敛，应选（B）.
（5）【答案】（D）.
【解】方法一
若•••线性相关，则存在不全为零的数局，展，…,ks,
使得 + k2a2 + ••' + ksas =0,
A, b
不妨设HO,则a〕= — —a2 —…一—5, BP至少有一个向量可由其余向量线性表ZK ,
故ai,a2, 线性无关的充分必要条件是a「a2,…，见中任意一个向量都不可由其余向量线性表示,
应选（D）.
方法二
，显然2«j +a2 —a3 0且其中任两个向量线性无关，但向量组ai ,a2,
a3线性相关，排除（A）,（B）；
，显然5不可由a2 .a3线性表示，但a i a2,a3线性相关，排除（C）,应选
(D).
四、【解】
d2U （9讨厂&）+夕
+ Eg
x X
d2 U 一討仔）+条e）-xe）-莎㈢一討仔）-莎en
dx dy
d2
y 7 二
五、【解】 特征方程为A2 -3A + 2 = 0,特征根为入]=1,入2 = 2,
yf — 3^Z + = 0 的通解为夕=Ci eJ + C2 e2J ;
设原方程的特解为歹0（工）=ajcex ,代入得a = —2,
故原方程的通解为y = C& +C2e2x — 2工于（C】，C2为任意常数）.因为曲线；y =j/（h）经过点（0,1）,所以Cj + C2 = 1;
y = yCx ）在工=0处切线的斜率为怡=（2工一1） |工=o = —1,
又由 “ =C］于 +2C2e2x -2（工 + l）ex，得 C】+2C? — 2 = —1,即 C】+2C? = 1,
从而Cl = 1 ,C2 = 0,故所求函数为y = （1 — 2x ）eJ・
六、【解】 设M （工，夕），则MA = {—hJ—』},
MA0 = F° = — ］ {— x ? 1 — y},
丿工2 + （］—夕）2
贝 0 ,y） = | F | • F° = ------------------------- {—无，1 — y },
：x2+（i-j.）2r
设M沿y =丿2工—川 从点£(2,0)到点O(0,0)的有向曲线段为L,
则 w = " —"dz +(l —y)V，
'L+(l —y)于
令 ,y) =---------------------------, Q(g ,y)=---------------------------
E^2+(i-^)2r Ex2+(i-j-)z]7
因为学=字，所以曲线积分与路径无关，
ox dy
故 w = k\_ —x dr + （1 — y）dy
J BO ［川+（1— J；）?卩 3_ （x2 +1） 2 7
/ 1 0 0\ /I 0
七、【解】P—】=2 - 1 0 , A = PBP 1 = 2 0
、一4 1 / 、6 _]
A5 = PBP 1 = PBP 1 = A.
八、【解】(1)因为矩阵A与_8相似，所以trA = tr B ,即乂+2 = y + l,或工=y — \
再由矩阵A与B相似得| A | = | B |，即一2 = — 2y,解得y = 1,故z = 0,y = 1.
(2)显然矩阵A及B的特征值为入1 = 2,入2 = 1，入3 = —1，
/0 0 冷得
由 2E - A = 0 2
、0 - 1 2 ' '0 0 o'
矩阵A的相应于入】=2的特征向量为=(l,0,0)T；
0 0 0
1 1 — 1 得
\ 0 _ 1 1 ' 'o 0 0
矩阵A的相应于入2 =1的特征向量为他=(0,1,1)丁；
I -3 0
由 _E _ A = 0 - 1
' 0 - 1
矩阵A的相应于入3 = -1的特征向量为5 =(0, — 1,1)丁，
令」：； °\
一 1，则 P^AP = B.
0 1 1九、【证明】 令 S,(x) S2Q) =「[/&)—/Q)]dt,
再令卩 Q ) = Si (x ) — 3S2 (x ) = J [_f(.x ) — /(Z )]dz — 3J \_f (i) — f (x )]di ,
则卩(z) = (x — a)/(x) —J f (t)dt + 3J f(.t)dt — 3(x — b')f(x'),
因为y'Q) > 0,所以于(工)在[a,6]上严格递增，
从而 °(a) = —— y(a)]dt < 0,卩(b) =P：/(6) -/(Z)]d? > 0,
即存在 e G (a,6),使得 0(W)= 0,即 Si(g) = 3S2(g).
因为卩'(工)=(x — a )/z (x ) — 3(x — b} f' (x )
=— a ) + 3(6 — _r)]>0 (a <C x < 6 ) »
所以卩Q)在[a,6]上严格递增，故E是唯一的.
十、填空题
⑴【答案】 y.
【解】 令P(A) = p,设三次试验中A出现的次数为X,则X〜B(3,p),
由 P{X N 1}=曙，得 P{X = 0} = C^°(l-p)3 =(1 —“ =善，解得 p = *,
故事件A在一次试验中出现的概率为
⑵【答案】磐17
【解】 设（0,1）中任取的两个数为乂，丫,令D = {（z,y） | 0 Vz < l,0<y < 1},
则（X,Y）在D上服从均匀分布，即（X,Y）的联合概率密度为
则 p{x+YV#}= fix ,j)dxdj» = 1 — jj /(x ,y)dx dj/
=1
♦
_T
1
X
/(
T
4 \) 2
=
1
2
7
5-
（3）【答案】0. 987 6.
X — ] o
【解】 由 X - N(10,0.022)得 0 6丁 〜N(0,l),
则 P{9. 95 V X V 10. 05} = P {— 2. 5 V <2. 5)
=0(2. 5) - 0(- 2. 5) = 20(2. 5) - 1 = 0. 987 6.
十一、【解】Fy(y) = P{YWy} = P{1—沫 Wy} = P{X $(l — y)3}
]
1-P{X <(1 -3；)3} = 1
7T(1 + )
3(1 — y)2
则几（》）
7t[l + ( 1 —歹)']
