经验超市26考研数学三8月月考卷答案解析_06.2026考研数学俞老全程班_00.书籍讲义_经验超市月考卷

经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
1.【答案】：
D

【解析】：设limx a，则limsinx sina 0，sina 0有无穷多解，故 A 错；
n n
n n
又lim(x  |x |)a |a| 0a 0 或a 1，故 B 错；
n n
n
又lim(x x 2) aa2 0a 0 或a1，故 C 错；
n n
n
对于 D ，lim(x sinx )asina 0，因asina是单调递增的，故只有
n n
n
唯一零点即x0，因此a0.选
D

.
2．【答案】：
A

【解析】：由于在
1,2
上 f
x
0，因而函数单调递减，所以
f

1

f

2

.
1 2
而由于 f  1  f  0   f  x  dx, f  2  f  1   f  x  dx ，通过图形可知：I  I .
1 2
0 1
3.【答案】：
B

【解析】：由定积分定义知，将
0,1
分成n份，取中间点的函数值，则
1 n 2k 11
 f  x  dx lim f   ，即选 B  .
n  2n n
0 k1
4.【答案】：
C

f(x,y)axy
【解析】：显然 f  0,0 0, 1，其中lim0，于是有
(x2  y2)2 x0
y0
f(x,y)axy(x2 y2)2(x2 y2)2.
在 y  x上，f(x,x)ax2 4x4 4x4，故当x充分小时，f(x,x)~ax2，f(x,x)
与 a 同号；在 y x 上， f(x,x)ax24x44x4 ，故当 x 充分小时，
f(x,x)~(ax2)， f(x,x)与a同号.
综上，在点
0,0
附近，
f

x,y
的值有正有负，所以
f

0,0
0不是极值.应选
C

.经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
5.【答案】：
B

T 
 1 
【解析】：令A

T

，显然A为35矩阵，由,, 线性无关得r(A)3，从而齐
2 1 2 3
T 
 3 
次线性方程组Ax 0的基础解系包含两个线性无关的解向量.
因为A 0(1i4)，所以,,, 均为方程组Ax 0的解，从而,,,
i 1 2 3 4 1 2 3 4
的秩不超过2；又因为,,, 两两不成比例，所以,,, 的极大无关组至少含
1 2 3 4 1 2 3 4
有两个线性无关的向量，即,,, 的秩不小于2，故向量组,,, 的秩为2，
1 2 3 4 1 2 3 4
应选
B
选项.
6.【答案】：
D

【解析】：由于此题矩阵A和各选项矩阵都是对称矩阵，要找到一个矩阵和矩阵A等价，
合同，但不相似，需要该矩阵正负惯性指数和矩阵A相同但同时该矩阵的特征值和矩阵A的
特征值又不完全相同。计算可得A的特征值为3,0，而
D
选项中的矩阵特征值为1,0，
故选
D

.
7.【答案】：
D

【解析】：由于AAT 是nn型矩阵，且由于R  AAT  R  A n ，故①正确.又因为同类型
矩阵等价的充要条件是秩相等，故②正确.由于AAT 是对称矩阵，因而可对角化，
所以③正确.
 T
对于④，对任意n维列向量X 0，有XTAATX  ATX ATX
y 
1
 
y
令 ATX Y   2  ，则 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0 ，并且由于
  1 2 m

 
y 
m
R  AT  R  A n ，从而方程组 ATX 0 只有零解，由于 X 0 ，从而
Y  ATX  0，因而 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0，即有对任意n维列
1 2 m
向量X 0，XTAATX 0从而正定，由于AAT 正定，因而④对.经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
从正确的个数是4个，选
D

.
8.【答案】：
C

【 解 析 】 ： 由 P  AB  P  A P  AB  0 知 P  A P  AB  ， 从 而
   
  P AB P AB 1P  AB  1[P  A P  B P  AB  ] 1P  B 
P A|B      1
P  B  P  B  1P  B  1P  B  1P  B 
，选
C

.
9.【答案】：
D

x1
【解析】：X 的密度函数 f(x)0.8(2x1)0.3( )，则
2
  x1
E(x)0.8 x(2x1)dx0.3 x( )dx
  2
  x1 1 x1 x1
0.2 [(2x1)1](2x1)d(2x1)1.2 (  )( )d( )
  2 2 2 2
  1
0.2 (x1)(x)dx1.2 (x )(x)dx
  2
 
0.2 (x)dx0.6 (x)dx0.8.选 D  .
 
10.【答案】：
D

【解析】：①根据卡方分布的定义即可明白，其服从自由度为2的卡方分布；
Y2
②X / Y  X / Y2  X / 由于X 与Y 相互独立，因而t  1 ；
1
X2 Y2
③：X2 /Y2  / 由于X 与Y 相互独立，因而 F  1,1 ；
1 1
④：根据重要结论：X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布N  0,1 ，
  
aX bY  N 0,a2b2 a2b2  0 .经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
 n 
11.【答案】：4n1cos4x 

 2 
【解析】：
 
【法一】由于 y4sin3xcosx4cos3xsinx2sin2x sin2 xcos2 x
1
2sin2xcos2xsin4x因而 y  sin4xdx cos  4x C .其中，C为任意常数.
4
 n   n 
因而由求导基本公式：cos n xcosx  可得：y n 4n1cos4x  .
 2   2 
  1
【法二】： y sin4 xcos4 x sin2 xcos2 x 2sin2 xcos2 x1 sin22x
2
1 1cos4x 3 1
1    cos  4x .
2 2 4 4
而后由求导公式也可得到答案.
12.【答案】：2 3
【解析】： y2 x2 1是双曲线的右边部分，画出图形，而后对 y 积分比较方便
2  
V  2y y21 dy 2 3
1
3
 
若对x积分，V 22 3  1x2 dx .
0
13．【答案】： y y 5e2x
【解析】：由于齐次方程的通解可以得到：i为特征方程的根，因而可以得到齐次方程
y y 0，对于对应的非齐次方程 y y  f  x ，由于e2x是它的解，带入即可得到
f  x 5e2x（此题也可以先设齐次方程为 y pyqy  0，把 y sinx与 y cosx
带入得 p,q）.
5
14.【答案】： .
16
【解析】：由对称性，中间部分积分 =0 ，由轮换性： x2dxdy  y2dxdy ，
D D经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
 x2  5 5  
   y2 dxdy  x2dxdy   x2  y2 dxdy 而 后 用 极 坐 标
 4  4 8
D D D
5 2 1 5
  d r3dr  .
8 0 0 16
15.【答案】：1
3 1
【解析】：由于A B   A  B  1  ，并且：由于
A B i 3 2
i1
A  A A1  A1 ，
1 1 1 1
其特征值为 1,2, A E 的特征值为 12,1, ，
 2  2
A A
 AE 1.
1
16.【答案】：
2
1 1 2
【解析】：显然X ~ B(3, ),Y ~ B(3, ) .进而E(X)E(Y)1,D(X)D(Y) .
3 3 3
下面计算XY 的分布律.易知XY 的取值为0,1,2,且
23 23 1 5
P  XY 0 P  X 0 P  Y 0 P  X Y 0     ，
33 33 33 9
3! 2
P  XY 1 P  X Y 1   ，
33 9
3 3 2
P  XY 2 P  X 1,Y 2 P  X 2,Y 1    .
33 33 9
5 2 2 2
由此，E(XY)0 1 2  .由相关系数的定义可知
9 9 9 3
2
11
COV(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 3 1
     .
XY D(X)D(Y) D(X)D(Y) 2 2 2

3 3
17.【答案】：a 2,b0.
x2 a2
【解析】：由1 1x2 ~ (x0) ，且eax 1ax x2o(x2),
2 2
1bx
(1bx)[12x4x2o(x2)]1(b2)x(42b)x2o(x2),
12x经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
1bx
eax 
得eax 
1bx
(ab2)x(
a2
42b)x2o(x2) ，因为lim
12x
4，则
12x 2 x0 1 1x2
 ab20
 ，解得a 2,b0.
a2 84b4
1 1
18．【答案】： I  p  t    a   1 a e3kbt   3 .  II  lim p  t    a  3 .
b  b  t b
dp  a  kb a 
【解析】：由题 I  k   Q  p S  p   k  bp    p3 ，变量分离
dt  p2  p2 b 
1
a a a  a 3
解得 p3  ce3kbt ，由 p  0 1得c1 ，于是 p  t    1 e3kbt  .
b b b  b 
1 1
 II  lim p  t  lim   a   1 a e3kbt   3  k0  a  3 .
t tb  b  b
1
令Q  p S  p 可解得 p    a  3 ，可见上述极限值为供给与需求量均衡时的价格.
b
 lnx 1 lnx  lnx
19.【解析】：  dx  dx  dx
1x2 1x2 1x2
0 0 1
1
 lnx x t 1 lnt 1 lnx
其中  dx  dt  dx
1x2 1t2 1x2
1 0 0
 lnx 1 lnx
因而反常积分  dx收敛性与 dx相同.
1x2 1x2
1 0
lnx
3 3
1x2 x2 lnx x2 lnx lnx
由反常积分比较法： lim  lim  lim  lim 0
x 1 x 1x2 x x2 x 1
x2
3
x2
 1 1   lnx 1 lnx
而：  dx 2 2收敛，因而  dx收敛，从而 dx也收敛.
3 x 1x2 1x2
1 x2 1 1 0
 lnx 1 lnx  lnx 1 lnx 1 lnx
且：  dx  dx  dx  dx dx  0.
1x2 1x2 1x2 1x2 1x2
0 0 1 0 0经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
20.【解析】：由 f '(x) f (x) xn1ex得 f (x)(xn1exe
dx
C)e
dx
(
xn
C)ex ，
n n n n
e xn
又 f (1) 得C 0，即 f (x) ex.（3分）
n n n n
 (n1)xn  n1  1  1
 f (x)ex x2n ex(3 x2n  x2n) ，
2n1 n n(2n1) 2n1 n
n1 n1 n1 n1
 1  1
因为 x2n与 x2n收敛域都是(1,1)，所以原级数的收敛域为(1,1)（6分）
2n1 n
n1 n1
 (n1)xn
令S(x) f (x)，
2n1 n
n1
由  1 x2n  x  1 x2n1  x x (  t2n2)dt  x x 1 dt  x ln 1 x
2n1 2n1 0 01t 2 2 1x
n1 n1 n1
 1  (x2)n
 x2n  ln(1x2)
n n
n1 n1
3x 1x
得和函数S(x)ex[ln(1x2) ln ].(1 x1) （12分）
2 1x
21.【答案】：a 2,b1,c2；
通解为C 1,1,4,0 T C  2,0,6,1 T .（C ，C 为任意常数）
1 2 1 2
【解析】：由于方程组
I
与
II
同解，从而其系数矩阵的行向量可以相互表示，因而
I
的
系数矩阵的行向量可以被
II
的系数矩阵的行向量表示从而
1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2
1 13 2 0 4 4 4 0 1 1 1
行变换 行变换 ；
0 1 b 1 0 1 b 1 0 0 b1 0
a 0 4 c 0 3a 4a c 2a 0 0 42a c a
从而可以解得a 2,b1,c2.
此时代入
I
或
II
即可解得它们的通解为：
C 1,1,4,0 T C  2,0,6,1 T .（C ，C 为任意常数）
1 2 1 2经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三
22.【答案】：
 
U \V 0 1
 
1
 I   U,V 的联合概率分布： 0 0  ；
 4 
 
1 1
 1 
 4 2
1
 II  P  U 0/V 0  ；
2
3
 III   .
UV 3
【解析】：

I
首先由于
X,Y
是均匀分布的，因而可以先画出它的
y
联合概率密度的有效区域， x y x2y
进 而 求 得 以 下 各 种 概 率
x
O
1 2
1 1 1
P  X Y  ,P  Y  X  2Y  ,P  X Y 
4 4 2
1
P  U 0,V 0 P  X Y,X 2Y P  X Y 
4
P  U 0,V 1 P  X Y,X 2Y 0
1
P  U 1,V 0 P  X Y,X 2Y P  Y  X 2Y 
4
1
P  U 1,V 1 P  X Y,X 2Y P  X 2Y  ,
2
 
U \V 0 1
 
1
从而可得
U,V
的联合概率分布： 
0 0

.
 4 
 
1 1
 1 
 4 2经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三

II
利用
U,V
的联合概率分布，可得：
1
P  U 1,V 0  1
P  U 0/V 0 P  U 1/V 0   4 
P  V 0  1 2
2
 III 由 U,V 的联合概率分布，可以得到它们各自的边缘概率分布情况以及UV 的概率分
布情况：
U 0 1 V 0 1 UV 0 1
     
1 3 , 1 1 , 1 1
     
p p p
 4 4  2 2  2 2
进而能轻松得到：E  U  3 ,E  V  1 ,E  U2   3 ,E  V 2   1 ，
4 2 4 2
3 1 1
D

U

,D

V

,E

UV

16 4 2
E

UV
E 
U

E

V

3
从而：   .
UV D  U  D  V  3