经验超市26考研数学三8月月考卷答案解析_06.2026考研数学俞老全程班_00.书籍讲义_经验超市月考卷

经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 1.【答案】： D  【解析】：设limx a，则limsinx sina 0，sina 0有无穷多解，故 A 错； n n n n 又lim(x  |x |)a |a| 0a 0 或a 1，故 B 错； n n n 又lim(x x 2) aa2 0a 0 或a1，故 C 错； n n n 对于 D ，lim(x sinx )asina 0，因asina是单调递增的，故只有 n n n 唯一零点即x0，因此a0.选 D  . 2．【答案】： A  【解析】：由于在 1,2 上 f x 0，因而函数单调递减，所以 f  1  f  2  . 1 2 而由于 f  1  f  0   f  x  dx, f  2  f  1   f  x  dx ，通过图形可知：I  I . 1 2 0 1 3.【答案】： B  【解析】：由定积分定义知，将 0,1 分成n份，取中间点的函数值，则 1 n 2k 11  f  x  dx lim f   ，即选 B  . n  2n n 0 k1 4.【答案】： C  f(x,y)axy 【解析】：显然 f  0,0 0, 1，其中lim0，于是有 (x2  y2)2 x0 y0 f(x,y)axy(x2 y2)2(x2 y2)2. 在 y  x上，f(x,x)ax2 4x4 4x4，故当x充分小时，f(x,x)~ax2，f(x,x) 与 a 同号；在 y x 上， f(x,x)ax24x44x4 ，故当 x 充分小时， f(x,x)~(ax2)， f(x,x)与a同号. 综上，在点 0,0 附近， f  x,y 的值有正有负，所以 f  0,0 0不是极值.应选 C  .经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 5.【答案】： B  T   1  【解析】：令A  T  ，显然A为35矩阵，由,, 线性无关得r(A)3，从而齐 2 1 2 3 T   3  次线性方程组Ax 0的基础解系包含两个线性无关的解向量. 因为A 0(1i4)，所以,,, 均为方程组Ax 0的解，从而,,, i 1 2 3 4 1 2 3 4 的秩不超过2；又因为,,, 两两不成比例，所以,,, 的极大无关组至少含 1 2 3 4 1 2 3 4 有两个线性无关的向量，即,,, 的秩不小于2，故向量组,,, 的秩为2， 1 2 3 4 1 2 3 4 应选 B 选项. 6.【答案】： D  【解析】：由于此题矩阵A和各选项矩阵都是对称矩阵，要找到一个矩阵和矩阵A等价， 合同，但不相似，需要该矩阵正负惯性指数和矩阵A相同但同时该矩阵的特征值和矩阵A的 特征值又不完全相同。计算可得A的特征值为3,0，而 D 选项中的矩阵特征值为1,0， 故选 D  . 7.【答案】： D  【解析】：由于AAT 是nn型矩阵，且由于R  AAT  R  A n ，故①正确.又因为同类型 矩阵等价的充要条件是秩相等，故②正确.由于AAT 是对称矩阵，因而可对角化， 所以③正确.  T 对于④，对任意n维列向量X 0，有XTAATX  ATX ATX y  1   y 令 ATX Y   2  ，则 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0 ，并且由于   1 2 m    y  m R  AT  R  A n ，从而方程组 ATX 0 只有零解，由于 X 0 ，从而 Y  ATX  0，因而 XTAATX YTY  y2+y2++y2  0，即有对任意n维列 1 2 m 向量X 0，XTAATX 0从而正定，由于AAT 正定，因而④对.经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 从正确的个数是4个，选 D  . 8.【答案】： C  【 解 析 】 ： 由 P  AB  P  A P  AB  0 知 P  A P  AB  ， 从 而       P AB P AB 1P  AB  1[P  A P  B P  AB  ] 1P  B  P A|B      1 P  B  P  B  1P  B  1P  B  1P  B  ，选 C  . 9.【答案】： D  x1 【解析】：X 的密度函数 f(x)0.8(2x1)0.3( )，则 2   x1 E(x)0.8 x(2x1)dx0.3 x( )dx   2   x1 1 x1 x1 0.2 [(2x1)1](2x1)d(2x1)1.2 (  )( )d( )   2 2 2 2   1 0.2 (x1)(x)dx1.2 (x )(x)dx   2   0.2 (x)dx0.6 (x)dx0.8.选 D  .   10.【答案】： D  【解析】：①根据卡方分布的定义即可明白，其服从自由度为2的卡方分布； Y2 ②X / Y  X / Y2  X / 由于X 与Y 相互独立，因而t  1 ； 1 X2 Y2 ③：X2 /Y2  / 由于X 与Y 相互独立，因而 F  1,1 ； 1 1 ④：根据重要结论：X 与Y 相互独立且都服从标准正态分布N  0,1 ，    aX bY  N 0,a2b2 a2b2  0 .经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三  n  11.【答案】：4n1cos4x    2  【解析】：   【法一】由于 y4sin3xcosx4cos3xsinx2sin2x sin2 xcos2 x 1 2sin2xcos2xsin4x因而 y  sin4xdx cos  4x C .其中，C为任意常数. 4  n   n  因而由求导基本公式：cos n xcosx  可得：y n 4n1cos4x  .  2   2    1 【法二】： y sin4 xcos4 x sin2 xcos2 x 2sin2 xcos2 x1 sin22x 2 1 1cos4x 3 1 1    cos  4x . 2 2 4 4 而后由求导公式也可得到答案. 12.【答案】：2 3 【解析】： y2 x2 1是双曲线的右边部分，画出图形，而后对 y 积分比较方便 2   V  2y y21 dy 2 3 1 3   若对x积分，V 22 3  1x2 dx . 0 13．【答案】： y y 5e2x 【解析】：由于齐次方程的通解可以得到：i为特征方程的根，因而可以得到齐次方程 y y 0，对于对应的非齐次方程 y y  f  x ，由于e2x是它的解，带入即可得到 f  x 5e2x（此题也可以先设齐次方程为 y pyqy  0，把 y sinx与 y cosx 带入得 p,q）. 5 14.【答案】： . 16 【解析】：由对称性，中间部分积分 =0 ，由轮换性： x2dxdy  y2dxdy ， D D经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三  x2  5 5      y2 dxdy  x2dxdy   x2  y2 dxdy 而 后 用 极 坐 标  4  4 8 D D D 5 2 1 5   d r3dr  . 8 0 0 16 15.【答案】：1 3 1 【解析】：由于A B   A  B  1  ，并且：由于 A B i 3 2 i1 A  A A1  A1 ， 1 1 1 1 其特征值为 1,2, A E 的特征值为 12,1, ，  2  2 A A  AE 1. 1 16.【答案】： 2 1 1 2 【解析】：显然X ~ B(3, ),Y ~ B(3, ) .进而E(X)E(Y)1,D(X)D(Y) . 3 3 3 下面计算XY 的分布律.易知XY 的取值为0,1,2,且 23 23 1 5 P  XY 0 P  X 0 P  Y 0 P  X Y 0     ， 33 33 33 9 3! 2 P  XY 1 P  X Y 1   ， 33 9 3 3 2 P  XY 2 P  X 1,Y 2 P  X 2,Y 1    . 33 33 9 5 2 2 2 由此，E(XY)0 1 2  .由相关系数的定义可知 9 9 9 3 2 11 COV(X,Y) E(XY)E(X)E(Y) 3 1      . XY D(X)D(Y) D(X)D(Y) 2 2 2  3 3 17.【答案】：a 2,b0. x2 a2 【解析】：由1 1x2 ~ (x0) ，且eax 1ax x2o(x2), 2 2 1bx (1bx)[12x4x2o(x2)]1(b2)x(42b)x2o(x2), 12x经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 1bx eax  得eax  1bx (ab2)x( a2 42b)x2o(x2) ，因为lim 12x 4，则 12x 2 x0 1 1x2  ab20  ，解得a 2,b0. a2 84b4 1 1 18．【答案】： I  p  t    a   1 a e3kbt   3 .  II  lim p  t    a  3 . b  b  t b dp  a  kb a  【解析】：由题 I  k   Q  p S  p   k  bp    p3 ，变量分离 dt  p2  p2 b  1 a a a  a 3 解得 p3  ce3kbt ，由 p  0 1得c1 ，于是 p  t    1 e3kbt  . b b b  b  1 1  II  lim p  t  lim   a   1 a e3kbt   3  k0  a  3 . t tb  b  b 1 令Q  p S  p 可解得 p    a  3 ，可见上述极限值为供给与需求量均衡时的价格. b  lnx 1 lnx  lnx 19.【解析】：  dx  dx  dx 1x2 1x2 1x2 0 0 1 1  lnx x t 1 lnt 1 lnx 其中  dx  dt  dx 1x2 1t2 1x2 1 0 0  lnx 1 lnx 因而反常积分  dx收敛性与 dx相同. 1x2 1x2 1 0 lnx 3 3 1x2 x2 lnx x2 lnx lnx 由反常积分比较法： lim  lim  lim  lim 0 x 1 x 1x2 x x2 x 1 x2 3 x2  1 1   lnx 1 lnx 而：  dx 2 2收敛，因而  dx收敛，从而 dx也收敛. 3 x 1x2 1x2 1 x2 1 1 0  lnx 1 lnx  lnx 1 lnx 1 lnx 且：  dx  dx  dx  dx dx  0. 1x2 1x2 1x2 1x2 1x2 0 0 1 0 0经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 20.【解析】：由 f '(x) f (x) xn1ex得 f (x)(xn1exe dx C)e dx ( xn C)ex ， n n n n e xn 又 f (1) 得C 0，即 f (x) ex.（3分） n n n n  (n1)xn  n1  1  1  f (x)ex x2n ex(3 x2n  x2n) ， 2n1 n n(2n1) 2n1 n n1 n1 n1 n1  1  1 因为 x2n与 x2n收敛域都是(1,1)，所以原级数的收敛域为(1,1)（6分） 2n1 n n1 n1  (n1)xn 令S(x) f (x)， 2n1 n n1 由  1 x2n  x  1 x2n1  x x (  t2n2)dt  x x 1 dt  x ln 1 x 2n1 2n1 0 01t 2 2 1x n1 n1 n1  1  (x2)n  x2n  ln(1x2) n n n1 n1 3x 1x 得和函数S(x)ex[ln(1x2) ln ].(1 x1) （12分） 2 1x 21.【答案】：a 2,b1,c2； 通解为C 1,1,4,0 T C  2,0,6,1 T .（C ，C 为任意常数） 1 2 1 2 【解析】：由于方程组 I 与 II 同解，从而其系数矩阵的行向量可以相互表示，因而 I 的 系数矩阵的行向量可以被 II 的系数矩阵的行向量表示从而 1 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 13 2 0 4 4 4 0 1 1 1 行变换 行变换 ； 0 1 b 1 0 1 b 1 0 0 b1 0 a 0 4 c 0 3a 4a c 2a 0 0 42a c a 从而可以解得a 2,b1,c2. 此时代入 I 或 II 即可解得它们的通解为： C 1,1,4,0 T C  2,0,6,1 T .（C ，C 为任意常数） 1 2 1 2经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三 22.【答案】：   U \V 0 1   1  I   U,V 的联合概率分布： 0 0  ；  4    1 1  1   4 2 1  II  P  U 0/V 0  ； 2 3  III   . UV 3 【解析】：  I 首先由于 X,Y 是均匀分布的，因而可以先画出它的 y 联合概率密度的有效区域， x y x2y 进 而 求 得 以 下 各 种 概 率 x O 1 2 1 1 1 P  X Y  ,P  Y  X  2Y  ,P  X Y  4 4 2 1 P  U 0,V 0 P  X Y,X 2Y P  X Y  4 P  U 0,V 1 P  X Y,X 2Y 0 1 P  U 1,V 0 P  X Y,X 2Y P  Y  X 2Y  4 1 P  U 1,V 1 P  X Y,X 2Y P  X 2Y  , 2   U \V 0 1   1 从而可得 U,V 的联合概率分布：  0 0  .  4    1 1  1   4 2经验超市 26 考研数学 8 月月考卷解析·数三  II 利用 U,V 的联合概率分布，可得： 1 P  U 1,V 0  1 P  U 0/V 0 P  U 1/V 0   4  P  V 0  1 2 2  III 由 U,V 的联合概率分布，可以得到它们各自的边缘概率分布情况以及UV 的概率分 布情况： U 0 1 V 0 1 UV 0 1       1 3 , 1 1 , 1 1       p p p  4 4  2 2  2 2 进而能轻松得到：E  U  3 ,E  V  1 ,E  U2   3 ,E  V 2   1 ， 4 2 4 2 3 1 1 D  U  ,D  V  ,E  UV  16 4 2 E  UV E  U  E  V  3 从而：   . UV D  U  D  V  3