第三章圆锥曲线的方程（A卷·知识通关练）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_01.单元测试_单元测试AB卷

班级 姓名 学号 分数 第三章 圆锥曲线的方程（A卷·知识通关练） 核心知识1 椭圆的定义与方程 1．（多选题）（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）点 ， 为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存 在点P，使得 ，则椭圆C方程可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设椭圆方程为 ， 设椭圆上顶点为B，椭圆 上存在点 ，使得 ， 则需 ， ， 即 ， ， ， 则 ，所以选项AC满足. 故选：AC. 2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆 上点 到上焦点的距离为4，则点 到下焦点的距离为（ ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】椭圆 ，所以 ，即 ，设上焦点为 ，下焦点为 ，则 ， 因为 ，所以 ，即点 到下焦点的距离为 ； 故选：A 3．（2022·上海市虹口高级中学高二期末）已知椭圆 的焦点分别 、 ， 点A为椭圆C的上顶点，直线 ，与椭圆C的另一个交点为B．若 ，则椭圆C的方程为 ______. 【答案】【解析】如图，过点B作x轴的垂线，垂足为M， 由定义知， ，因为 ，所以 因为 ， ， 所以 ，所以 将 代入 得 ，解得 所以 所以椭圆方程为 . 故答案为： 4．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二期末）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家， 他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C： 的左，右焦点分别是 ， ，P是C上一点， ， ，C的面积 为12π，则C的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由椭圆的定义可知 ，又 ，所以 ， .又 ， ，所以 ，所以 ， .又椭圆的面积为12π，所以 ，解得 ， ， .故选：C. 5．（2022·安徽省蚌埠第三中学高二开学考试）方程 化简的结果是 ___________． 【答案】 【解析】∵ ， 故令 ， ， ∴ ， ∴方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆， 即 ， ， ， ∴方程为 . 故答案为： . 6．（2022·江苏省南通中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点 ； (2)离心率为 ，且椭圆上一点到两焦点的距离之和为26． 【解析】（1）由焦距是4可得 ，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为 ， ， 由椭圆的定义可知 ， 所以 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ； （2）由题意知 ，即 ，又 ，所以 ， 所以 ， 当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的方程为 ； 当椭圆的焦点在 轴上时，椭圆的方程为 ， 所以椭圆的方程为 或 7．（2022·黑龙江·大兴安岭实验中学高二期中）（1）求焦点的坐标分别为 ，且过点 的椭圆的方程.（2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点 、 的椭圆标准方程. 【解析】（1）由题意，椭圆的焦点在 轴上，设椭圆方程为 由椭圆定义， 故 故椭圆的标准方程为： （2）不妨设椭圆的方程为： 经过两点 、 故 ，解得 即 故椭圆的标准方程为： 8．（2022·吉林油田高级中学高二期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)与椭圆 有相同的焦点，且经过点 ； (2)点 ， ， ， 中恰有三个点在椭圆上. 【解析】(1)椭圆 的焦点坐标为 ， . 所以设椭圆的标准方程为 ， 由题意得 解得 所以椭圆的标准方程为 . (2)根据椭圆的对称性， ， 两点必在椭圆上， 因为点A和点C的纵坐标为 ，A，C两点并不关于y轴对称，故点C不在椭圆上.所以点 ， ， 三点在椭圆上. 设椭圆方程为 ，代入A，D两点得 解得 所以椭圆的标准方程为 . 核心知识2 椭圆上两点距离的最值问题 9．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知点 是椭圆 上的任意一点，过点 作圆 ： 的切线，设其中一个切点为 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ， 则 ， ， ， 因为 ， 所以 ，即 ， 故选：B 10．（2022·河南南阳·高二期末（文））已知椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，则椭圆上任意一点 到椭 圆中心 的距离的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不妨设椭圆的焦点在 轴上，则该椭圆的标准方程为 ， 设点 ，则 ，且有 ， 所以， . 故选：A. 11．（2022·河北·正定一中高二期中）椭圆 上任一点 到点 的距离的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点 的坐标为 ，其中 ， 由 ，可得 ， 又由 ， 当 时， 取得最小值，最小值为 . 故选：B. 12．（2022·江苏·海安高级中学高二期中）设向量 ， （x， ），满足 ． （1）求点 的轨迹c的方程； （2）设 （ ），P为曲线C上任意一点，求A到点P距离的最大值 ． 【解析】（1）由 得 ， 由椭圆定义知，点 是以 、 为焦点，长轴为 的椭圆， ∴点 的轨迹C的方程为： ． （2）设 ， 则 ，（ ） 当 时，则 时， ； 当 时，函数 在 上为减函数， ∴当 时， ． 综上， 13．（2022·山东威海·高二期中）平面直角坐标系中，动点M到定点 的距离与它到直线的距离之比为 ， (1)求点M的轨迹方程． (2)若点 ，则求 的最大值与最小值． 【解析】(1)设 ， 依题意得 ， 两边平方化简得 ，所以M的轨迹方程为 ； (2) ，又M点满足 ，即 ， 因此 ， 又 ， 所以当 时， 有最小值 ，所以 当 时， 有最大值121，所以 ． 核心知识3 椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题 14．（2022·青海青海·高二期末（文））已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B 两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为______． 【答案】10 【解析】椭圆的方程为 ，∴ ， ， ， 连接 ， ，则由椭圆的中心对称性可得 的周长 ， 当AB位于短轴的端点时， 取最小值，最小值为 ， ． 故答案为：1015．（2022·河南平顶山·高二期末（理））设 为椭圆 上一点， ， 为左、右焦点，且 ，则（ ） A． 为锐角三角形 B． 为钝角三角形 C． 为直角三角形 D． ， ， 三点构不成三角形 【答案】D 【解析】由题意可知， ，由椭圆的定义可知 ，而 ，联立方程解得 ，且 ，则6+2=8，即 不构成三角形. 故选：D. 16．（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设 是椭圆 上一点， 、 是椭圆的 两个焦点，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在椭圆 中， ， ， ， 由椭圆定义可得 ， ， 由余弦定理可得 ， 当且仅当 时，等号成立， 因此， 的最小值为 .故选：A. 17．（多选题）（2022·广东·深圳市高级中学高二期中）已知椭圆M： 的左右焦点分别为 ， 左右顶点分别为 ，P是椭圆上异于 的任意一点，则下列说法正确的是（ ） A． 周长为 B． 面积最大值为 C．存在点P满足： D．若 面积为 ，则点P横坐标为 【答案】BD 【解析】由题意 ， ， ，短轴一个端点 ， 由题知 ，故 周长为 ，故A错误； 利用椭圆的性质可知 面积最大值为 ，故B正确； 因为 ，所以 ，从而 ，而 是椭 圆上任一点时，当 是短轴端点时 最大，因此不存在点 满足 ，故C错误； 因为 ， ， 则 ， ，故D正确． 故选：BD． 18．（多选题）（2022·福建福州·高二期末）已知椭圆 ： ， ， 分别为它的左右焦点， ， 分别为它的左右顶点，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）A．存在P使得 B． 的最小值为 C． ，则 的面积为9 D．直线 与直线 斜率乘积为定值 【答案】ABC 【解析】设椭圆 短轴顶点为 ，由题知椭圆 ： 中， ， 所以， ， ， ， ， 对于A选项，由于 ， ，所以 的最大角为钝角， 故存在P使得 ，正确； 对于B选项，记 ，则 ， 由余弦定理： ，当且仅当 时取“=”，B正确； 对于C选项，由于 ，故 ，所以 ， C正确； 对于D选项，设 ，则 ， ，于是 ,故错误. 故选：ABC 19．（多选题）（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知椭圆 ，若P在椭圆 上， 、 是 椭圆 的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A．若 ，则 B． 面积的最大值为 C． 的最大值为 D．满足 是直角三角形的点 有 个 【答案】ABC 【解析】在椭圆 中， ， ， ，且 ， 对于A选项，当 时，则 ，由余弦定理可得 ， 因为 ，所以， ，A对； 对于B选项，当点 为椭圆 的短轴顶点时，点 到 轴的距离最大， 所以， 面积的最大值为 ，B对； 对于C选项，因为 ，即 ， 所以， ，C对； 对于D选项，当 或 时， 为直角三角形，此时满足条件的点 有 个， 当 为直角顶点时，设点 ，则 ， ， ， ， 所以， ， ，此时，满足条件的点 有 个， 综上所述，满足 是直角三角形的点 有 个，D错. 故选：ABC. 20．（多选题）（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）设椭圆 的右焦点为 ，直线 与椭圆交于 两点，现给出下述结论，其中所有正确结论的是（ ） A． B． 的周长的取值范围是（6，12） C．当 时， 的面积为 D．当 时， 为直角三角形． 【答案】ABD 【解析】由椭圆 得 ， 设椭圆的左焦点为 ，则 ， ∴ 为定值，故A正确；的周长为 ，因为 为定值6， ∴ 的范围是 ， ∴ 的周长的范围是 ，故B正确； 当 时，将 与椭圆方程联立，解得 ， ， 则 ，所以 的面积为 ，故C不正确； 当 时，将 与椭圆方程联立，解得 ， ， 又因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，故D正确． 故选：ABD. 21．（多选题）（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知 ， 是椭圆 ： 的 左､右焦点， 是椭圆 上一动点，有（ ） A． 时，满足 的点 有3个 B． 时，满足 的点 有4个 C． 时， 取得最小值 D．过点 作 的外角平分线的垂线，垂足为 ，则 【答案】BCD 【解析】对于A，当a 时，此时 ，所以椭圆中使得∠FPF＝90°的点P位于短轴的两个端点，所 1 2 以有两个点P，故A错误； 对于B，当 时，此时 ，所以满足∠FPF＝90°的点P有四个，分别位于4个象限，故B正确， 1 2 对于C， ∵cos∠FPF ， 1 2 故当|PF||PF|取得最大值时，cos∠FPF 取最小值． 1 2 1 2 又∵|PF|+|PF|＝ ，即 ， 1 2 当 时， 取得最小值， 对于D，如图，设FP的延长线与FM交于Q， 1 2 由直线l为∠FPF 的外角平分线，l⊥FQ， 1 2 2 可得|PQ|＝|PF|， 2 又2a＝|PF|+|PF|＝|PF|+|PQ|＝|FQ|， 1 2 1 1OM为△FFQ的中位线，可得|OM| |FQ|＝a，所以D正确， 1 2 1 故选：BCD． 22．（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）已知点 、 为椭圆 的左、右焦点，若点 为椭圆上一动点，则使得 的点 的个数为（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】在椭圆 中， ， ， ，则 ， ，可得 ， 所以， ，解得 ，此时点 位于椭圆短轴的顶点. 因此，满足条件的点 的个数为 . 故选：B. 23．（2022·黑龙江·大庆实验中学高二期中）已知 分别是椭圆 的左、右焦点，点 为椭圆上一点，且 ，则 （ ） A． B． C． D．与 的取值有关 【答案】B 【解析】由椭圆定义可知： ， ，， 即 ∴ 故选：B 24．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点M在椭圆C上， 则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【解析】由椭圆 可得 ，所以 ， 因为点 在 上，所以 ， 所以 ， 当且仅当 时等号成立， 最大值为9. 故选：C． 核心知识4 椭圆上两线段的和差最值问题 25．（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点 ， 是椭圆 内的两个点，M是 椭圆上的动点，则 的最大值为______． 【答案】 【解析】依题意，椭圆方程为 ，所以 ， 所以 是椭圆的右焦点，设左焦点为 ， 根据椭圆的定义可知 ， ， 所以 的最大值为 . 故答案为： 26．（2022·天津市嘉诚中学高二期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P为椭圆上 一点，点 ，则 的最小值为__________． 【答案】1【解析】依题意，椭圆 的左焦点 ，右焦点 ，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆 外， 由椭圆的定义得 ，因此， ，当且仅当点P是线段 与椭圆的交点时取“=”， 所以 的最小值为1. 故答案为：1 27．（2022·安徽·池州市第一中学高二期中）已知椭圆C的方程为 ，M为C上 任意一点，则 的最小值为___________. 【答案】 【解析】由题意， ， ，所以 为左焦点， 为右焦点， 所 ， 当且仅当M､D､A共线时取等号. 故答案为： . 28．（2022·吉林·东北师大附中高二期中）点 在椭圆 上， 的左焦点为 ，点 在圆 上，则 的最小值为___________. 【答案】 【解析】点 在椭圆 上， 椭圆 左焦点 ，右焦点 ，如图： 由圆 ，得 ，半径为1， 由椭圆得定义可得： ，则 ， 则 ， 当 四点共线时， 取得最小值， 则 . 故答案为：0.29．（多选题）（2022·广东·广州市玉岩中学高二期中）已知F是椭圆 的左焦点，P为椭圆 C上任意一点，点 ，则 的最大值和最小值分别为（ ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 【答案】AB 【解析】设椭圆的右焦点为 ，由椭圆的标准方程可知： ， 可得 ，所以 ， 由椭圆的定义可知： ， ， 当且仅当 三点依次共线， 当且仅当 三点依 次共线， 故选：AB 30．（多选题）（2022·河北沧州·高二期末）已知点 为双曲线 右支上一点， 、 分别为圆 ： 、 ： 上的动点，则 的值可能为（ ） A．2 B．6 C．9 D．12 【答案】BC 【解析】由双曲线的方程可得 ，焦点为 ， 圆 ： 的圆心为 ，半径为2，圆 ： 的圆心为 ，半径为1， 所以 ， ， 所以 , ， 所以 ， 故选：BC 31．（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知F是椭圆 的左焦点，P为椭圆C上任意一点， 点Q坐标为 ，则 的最大值为（ ） A．3 B．5 C． D．13 【答案】B 【解析】因为椭圆 ， 所以 ， ， 则椭圆的右焦点为 ， 由椭圆的定义得： ， 当点P在点 处，取等号， 所以 的最大值为5， 故选：B. 32．（2022·河北石家庄·高二期末）已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上任意一点，点 坐标为 ，则 的最大值为（ ） A． B．13 C．3 D．5【答案】B 【解析】如图所示： ， 故选：B 33．（2022·江西·景德镇一中高二期末（文））点 ， 是椭圆 的左焦点， 是椭圆上任 意一点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设 是椭圆 的右焦点，则 又因为 ， ， 所以 ，则 故选：A 34．（2022·山东临沂·高二期末） ， 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上的动点，设点 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆方程得 ， 如图，连接 ，由于 ，所以 ， 所以 ， 因为 ，当且仅当 三点共线时等号成立， 所以 所以 故选：A 35．（2022·江西·景德镇一中高二期中（理））已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆 上一点， ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，所以 在椭圆的内部，设椭圆右焦点为 ，易得 ，则 ，由椭圆定义可知： ，所以 ，因为 ，所以 . 故选：D. 36．（2022·江西·芦溪中学高二期中（理））已知点 在曲线 （ ）上，设 ，则 的最大值（ ） A．与 有关，且与 有关 B．与 有关，但与 无关C．与 无关，但与 有关 D．与 无关，且与 无关 【答案】B 【解析】 表示的是椭圆 的部分，而 是椭圆的下焦点， 设 为椭圆的上焦点， 为直线 与 轴的夹角，则 ， ， 当且仅当 轴时取等号，则只与 有关，与 无关， 故选：B. 37．（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知椭圆 ： ， ， 分别为它的左右焦点， ， 分别为它的左右顶点，已知定点 ，点 是椭圆上的一个动点，下列结论中不正确的是 （ ） A．存在点 ，使得 B．直线 与直线 斜率乘积为定值 C． 有最小值 D． 的范围为 【答案】A 【解析】对于A，依题意 ， ，A选项错误. 对于B，设 ，则 ， ， 为定值，B选项正确.对于C， ， ， 当且仅当 时等号成立.C选项正确. 对于D，Q在椭圆外，设直线 、 与椭圆相交于 如图所示， 则 ， ， ， ，即 ， 所以 所以 .D选项正确. 故选：A 核心知识5 根据椭圆的有界性求范围与最值问题 38．（2022·上海市宝山中学高二期中）已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取 值范围是_______； 【答案】 【解析】由于方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 所以 ，解得 . 故答案为：39．（2022·广西·钦州一中高二期中（文））若椭圆 的焦点在y轴上，则实数k的取值范围 是___________. 【答案】 【解析】因为椭圆 的焦点在y轴上， 所以 ，解得 ，即实数k的取值范围为 . 故答案为： 40．（2022·河南·林州一中高二期中（理））已知点 ， ， 均在椭圆 上，则直线PA斜率的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由题意得 ，解得 ， 点 ，点 在 上， 点 与 连线的斜率为 ， 过点 与 相切的直线方程为： 数形结合可得 故答案为：41．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知 是椭圆 的两个焦点， 分别是该椭圆 的左顶点和上顶点，点 在线段 上，则 的最小值为__________. 【答案】 【解析】由题可得 ， ， 设 ，因为点P在线段AB上， 所以， ∴ ， ∴当 时， 的最小值为 . 故答案为： . 42．（2022·安徽合肥·高二期末（理））已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的点 到焦点的最长距离为 ． (1)求椭圆 的方程： (2)过点 的直线 （不过原点 ）与椭圆 交于两点 、 ， 为线段 的中点．求 面积的 最大值及此时 的斜率． 【解析】(1)设椭圆上的点坐标为 ， ，则点D到焦点距离为 ，当 时，取得最大值，由题意知： ∴ ，∴椭圆C的方程为 ． (2)显然，直线 的斜率存在， 设直线 方程为 ， ， ， 联立直线与椭圆方程得： ， 原点到直线 的距离为 ，所以， 令 ， ．∴ ， 当且仅当 时等号成立，此时 ，且满足 ， ∴ 面积的最大值是 ，此时 的斜率为 ． 核心知识6 求椭圆的离心率大小及离心率范围问题 43．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）过椭圆的右焦点 作椭圆长轴的垂线，交椭圆于A，B两 点， 为椭圆的左焦点，若 为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】图所示，易知 ， ． 由椭圆的定义可得 ，则该椭圆的离心率 ． 故选：A. 44．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知 ， 是椭圆C： 的左、 右焦点，O为坐标原点，点M是C上点（不在坐标轴上），点N是 的中点，若MN平分 ，则 椭圆C的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】因为 是 的中点， 是 的中点，所以 ， 因为 平分 ，所以 ， 因为 ，所以 ， ，由 （或 ），得椭圆 的离心率 ，又 ，所以椭圆 的离心率的取值范围是 ． 故选：A． 45．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C： （ ）的左､右顶点分别为 ， ， 且以线段 为直径的圆与直线 相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． . 【答案】B 【解析】由题设，以线段 为直径的圆为 ，与直线 相交， 所以 ，可得 ，即 ，又 ， 所以 . 故选：B 46．（2022·福建泉州·高二期中）已知椭圆 与圆 ，若在椭圆 上 存在点P，使得由点P所作的圆 的两条切线互相垂直，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，如图，若在椭圆 上存在点 ，使得由点 所作的圆 的两条切线互相垂直，则只需 ，即 ， ， 即 ，因为 ， 解得： ． ，即 ，而 ， ，即 ． 故选：D． 47．（2022·浙江·乐清市知临中学高二期末）设 分别为椭圆 的左､右焦点，若在 直线 （c为半焦距）上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，椭圆 ，可得焦距 ， 因为在直线 上存在点P，使 的长度恰好为椭圆的焦距，可得 ，即 ，可得 ，即 ，解得 又因为椭圆的离心率 ，所以 . 故选：B. 48．（2022·浙江浙江·高二期中）设椭圆 的两焦点为 ， ．若椭圆C上有一点P 满足 ，则椭圆C的离心率的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由椭圆的几何性质知当点 在短轴顶点时， 最大，设短轴顶点为B，则 ，得 ， 故选：A 49．（2022·江苏·南京市中华中学高二开学考试）已知椭圆 ，过椭圆的左焦点 且斜 率为 的直线l与椭圆交于 两点（ 点在 点的上方），若有 ，则椭圆的离心率为 ________. 【答案】 【解析】设 ， ， 因为 ， ， ， 将 代入椭圆方程得， ，两式相减得： ， ， ， 则 ， ， 因为直线 斜率为 ， ， ， 将 代入椭圆方程整理得： ， 或 （舍）， 故 . 故答案为： 50．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）直线过椭圆： 的左焦点 和上顶 点 ，与圆心在原点的圆交于 ， 两点，若 ， ，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 椭圆的焦点在 轴上， ， ， ， 故直线 的方程为 ，即 ， 所以直线 即 的斜率为 ， 如图所示，过 作 的垂线，则 为 的中点， 又 ， ， ， ， 是 的中点， 直线 的斜率 ， 所以 ，即 ， ， 即离心率 ， 故答案为： 51．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期中（理））设 是椭圆 ： 上任意一点， 为 的右焦点， 的最小值为 ，则椭圆 的离心率为_________． 【答案】 【解析】 是椭圆 上任意一点， 为 的右焦点， 的最小值为 ， 可得 ，所以 ，即 ，所以 ，解得 ， 所以 ． 故答案为： ． 52．（2022·广东汕尾·高二期末）设 ， 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上一点， ， ， ，则椭圆 的离心率 _________. 【答案】 或 【解析】因为 ，且 ，故 为锐角，所以 ， 由余弦定理 ，即 ，所以 ，故 或 ，故 或 故答案为： 或53．（2022·江西景德镇·高二期末（文））如图，已知 ， 分别为椭圆C： 的左、 右焦点，A为C上位于第一象限内的一点， 与y轴交于点B，若 ，则C的离心率 为______． 【答案】 【解析】由题意知, ，设 ， 由 ，得 ， , , , 在 中， ， ， 在 中， ； 根据椭圆的定义， ， 所以 ． 故答案为： 54．（2022·河南省实验中学高二期中（文））已知椭圆C的焦点为F（﹣1，0），F（1，0），过点F 1 2 2 的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF|＝2|FB|，|AB|＝|BF|，则C的离心率是____. 2 2 1 【答案】 【解析】设 ，则 ， ， ， ，解得 ，所以 ， ， 所以 为椭圆的上下顶点，不防设 为上顶点，则 ，则 ，由余弦定理有 ， 解得 ，所以 ，椭圆离心率 ； 故答案为： ． 55．（2022·湖南·株洲二中高二期中）已知点 是椭圆 上的两点，且线段 恰 好为圆 的一条直径， 为椭圆 上与 不重合的一点，且直线 的斜率之积为 ，则椭圆 的离心率为____________． 【答案】 【解析】设 ， ，依题意， ，两式相减得 ， 因线段 恰好为圆 的一条直径，则 ， 于是得直线 的斜率之积为 ，解得 ， 所以椭圆 的离心率为 . 故答案为： 56．（2022·江西·上饶市第一中学高二期中（理））如图，焦点在x轴上的椭圆 1（a＞0）的左、 右焦点分别为F、F，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线FP与y轴的正半轴交于A点，△APF 1 2 2 1 的内切圆在边PF 上的切点为Q，若|FQ|＝4，则该椭圆的离心率为_____． 1 1【答案】 【解析】设△APF 的内切圆在 上的切点分别为 ， 1 因为由△APF 的内切圆在边PF 上的切点为Q， 1 1 所以由切线长定理得 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 , 所以 ，得 ， 因为 ，所以 ， 所以椭圆的离心率为 ， 故答案为：57．（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）设 是椭圆 左，右焦点，P为直线 上一点，若 是底角为 的等腰三角形，则椭圆 的离心率为___． 【答案】 【解析】如图，直线 交 轴于 点， 由题，结合椭圆性质得， ，故直线 在椭圆右顶点右侧， ，又 是底角为 的等腰三角形， ， ， 又 ，故 故答案为： 58．（2022·江苏南京·高二期中）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点 为椭圆上一点，且， ，则椭圆 的离心率为 __． 【答案】 【解析】因为 ， ，则 ，所以 , 且 ， 所以 ， 又由 ，即 ，即 ， 所以 . 故答案为： 59．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若 ， 则有 成立，现已知椭圆 上存在一点P， ， 为其焦点，在 中， ， ，则椭圆的离心率为______ 【答案】 【解析】由题意得： ， 所以 ，所以 ， 解得 . 故答案为： 60．（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知椭圆 的左焦点为 是C上的动 点，点 ，若 的最大值为6，则C的离心率为_________． 【答案】 【解析】设右焦点 ，由椭圆定义， ， ，当且仅当 三点共线时，取等号， .又 ， ， ， . 故答案为： . 核心知识7 椭圆的简单几何性质问题 61．（2022·广西玉林·高二期中（理））已知点P(k，1)，椭圆 =1，点P在椭圆外，则实数k的取 值范围为_____. 【答案】 【解析】因为点P(k，1)在椭圆 =1外， 所以 >1， 解得k< 或k> ， 故实数k取值范围为 . 故答案为： 62．（多选题）（2022·河北沧州·高二期末）已知椭圆 ： ，则下列关于椭圆 的结论正确的 是（ ） A．焦点坐标为 ， B．长轴长为 C．离心率为 D．直线 与 无交点 【答案】BC 【解析】由椭圆方程知：椭圆焦点在 轴上， ， ， ； 对于A，焦点坐标为 ， ，A错误； 对于B，长轴长 ，B正确； 对于C，离心率 ，C正确； 对于D，由 得： ，则 ，直线 与 交于两点，D错误. 故选：BC. 63．（多选题）（2022·河北·衡水市第二中学高二期中）已知曲线 ： ，则（ ） A．若 ，则曲线 是圆，其半径为 B．若 ，则曲线 是椭圆，其焦点在 轴上 C．若曲线 过点 ， ，则 是双曲线 D．若 ，则曲线 不表示任何图形 【答案】BC 【解析】对于A， 时，曲线 可化为 ，其半径为 ，故A错误； 对于B， 时，曲线 可化为 表示的是椭圆，而 ， 所以其焦点在 轴上，故B正确； 对于C，将点 ， ，代入曲线 ： ， 有 ， ，所以曲线 是双曲线，故C正确； 对于D，若 ， ，满足条件，此时曲线 ： ，表示两条直线， 故D错误， 故选：BC. 64．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末（理））若方程 表示椭圆 ，则下 面结论正确的是（ ） A． B．椭圆 的焦距为 C．若椭圆 的焦点在 轴上，则 D．若椭圆 的焦点在 轴上，则 【答案】C 【解析】因方程表示椭圆，则有 ， ，且 ，即 ，A错误； 焦点在 轴上时， ，解得 ，D错误，C正确； 焦点在 轴上时，则 ，焦点在 轴上时， ，B错误. 故选：C65．（2022·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））椭圆 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 恒成立，所以曲线 表示焦点在 轴上的椭圆， 所以 ， ， 所以椭圆 的焦点坐标为 . 故选：C 66．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期末）下列关于曲线 的结论正确的是 （ ） A．曲线 是椭圆 B．y的取值范围是 C．关于直线 对称 D．曲线 所围成的封闭图形面积大于6 【答案】D 【解析】因为曲线 ，不是椭圆方程， 所以曲线 不是椭圆，故A正确； 因为曲线 ， 所以 ，所以 ，故B错误； 曲线 与 轴正半轴的交点坐标为 ， 若曲线 关于直线 对称， 则点 也在曲线 上， 又 ，所以点 不在曲线 上， 所以曲线 不关于直线 对称，故C错误； 对于D，曲线 与坐标轴的交点坐标为 ， 则以 四点为顶点的四边形的面积为 ，所以曲线 所围成的封闭图形面积大于6，故D正确. 故选：D. 67．（2022·安徽·高二期中）已知圆 经过椭圆C： 的右焦点，上顶点与右顶 点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】椭圆C： ，右焦点为 ，上顶点为 ，右顶点为 ， 代入圆的方程 ， 得 ，解得 ， 所以该圆的方程为 ． 故选：A 核心知识8 双曲线的定义与方程 68．（2022·北京工业大学附属中学高二期中）已知双曲线的上、下焦点分别为 ， ，P是 双曲线上一点且 ，则双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设双曲线的标准方程为 ，半焦距为c， 则由题意可知 ， ，即 ，故 ， 所以双曲线的标准方程为 . 故选：C． 69．（2022·天津·耀华中学高二期中）与椭圆 共焦点且过点 的双曲线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】椭圆 的焦点坐标为 ，设双曲线的标准方程为 ， 由双曲线的定义可得 ， ， ， ， 因此，双曲线的方程为 . 故选：C. 70．（2022·广东珠海·高二期末）已知双曲线 ： 与椭圆 ： 有相同的 焦点，且一条渐近线方程为 ： ，则双曲线 的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ： ∴设双曲线 ： ∵双曲线 与椭圆 有相同的焦点 ∴ ，解得： ∴双曲线 的方程为 . 故选：B. 71．（2022·广东茂名·高二期末）已知双曲线 上点 到点 的距离为15，则点 到点 的距离为（ ） A．9 B．6 C．6或36 D．9或21 【答案】D 【解析】设 ， ， ， 为双曲线的焦点，则由双曲线的定义，知 ，而 所以 或21. 故选：D. 72．（2022·陕西咸阳·高二期末（理））已知双曲线C： 的两焦点分别为 ， ，P为双曲线C 上一点，若 ，则 =___________. 【答案】18或2 【解析】由 ，得 ，则 ， 因为双曲线C： 的两焦点分别为 ， ，P为双曲线C上一点， 所以 ，即 ， 所以 或 ， 因为 ， 所以 或 都符合题意， 故答案为：18或2 73．（2022·陕西·大荔县教学研究室高二期末（文））解答下列两个小题： （1）双曲线 ： 离心率为 ，且点 在双曲线 上，求 的方程； （2）双曲线 实轴长为2，且双曲线 与椭圆 的焦点相同，求双曲线 的标准方程． 【解析】（1）由 ，得 ，即 ， 又 ，即 ， 双曲线 的方程即为 ，点 坐标代入得 ，解得 ． 所以，双曲线 的方程为 ． （2）椭圆 的焦点为 ， 设双曲线 的方程为 ， 所以 ，且 ， 所以 ，所以，双曲线 的方程为 ． 74．（2022·甘肃·张掖市第二中学高二期末（文））求满足下列条件的圆锥曲线方程的标准方程. (1)经过点 ， 两点的椭圆； (2)与双曲线 － ＝1有相同的渐近线且经过点 的双曲线. 【解析】(1)因为 ， 所以P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . (2)设与双曲线共渐近线的方程为 , 代入点 ，解得m=2, 所以双曲线的标准方程为 核心知识9 双曲线上两点距离的最值问题 75．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知定点 ，且 ，动点 满足 ，则 的最小值是___________. 【答案】6 【解析】因为动点 满足 ， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的一支， 则 ，即 ， 不妨设焦点在x轴上，则双曲线方程为 ， 左焦点为 ，右焦点为 ， 设 ，则 ， 所以 ， 所以 的最小值是6， 故答案为：676．（2022·广东中山·高二期末（理））平面内，线段 的长度为10，动点 满足 ，则 的最小值为__________． 【答案】2 【解析】因为 ，所以 , 因此动点 在以A,B为左右焦点的双曲线的右支上， 从而 的最小值为 核心知识10 双曲线中焦点三角形的问题 77．（多选题）（2022·江苏无锡·高二期末）（多选）已知点P在双曲线C： 上， ， 分别是 双曲线C的左、右焦点，若 的面积为20，则（ ） A．点P到x轴的距离为 B． C． 为钝角三角形 D． 【答案】BC 【解析】设点 ．因为双曲线 ，所以 ． 又 ，所以 ，故A错误． 将 代入 得 ，得 ． 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为 ，得 ． 由双曲线的定义得 ，所以 ，故B正确． 在 中， ，且 ， 则 为钝角，所以 为钝角三角形，故C正确． 由余弦定理得 ，所以 ，故D错误． 故选：BC． 78．（2022·江西科技学院附属中学高二期中（文））已知双曲线 ，直线l过其上焦点 ，交双曲线上支于A，B两点，且 ， 为双曲线下焦点， 的周长为18，则m值为 （ ） A．8 B．9 C．10 D． 【答案】D 【解析】由题意知 ． 又 ， 所以 ． 根据双曲线的定义可知 ， 所以 ， 解得 ，所以 ． 故选：D 79．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）已知 是双曲线 的左、右焦点，点P在C上， ，则 等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】双曲线 ， ，所以 ，根据双曲线的对称性，可假设 在第一象限，设 ，则 ， 所以 ， ，在 中，根据余弦定理： ，即 ，解得： ，所以 故选：D 80．（2022·吉林·梅河口市第五中学高二开学考试）已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， 过 的直线与双曲线 的左支交于 ， B 两点，若|AB|7，则 ABF 2 的周长为（ ） A．16 B．30 C．38 D．60 【答案】B 【解析】设|AF |m，|BF |n，由题意可得mn7， 1 1 由双曲线的定义可得|AF |m8，|BF |n8， 2 2 则 ABF 2 的周长是|AB||AF 2 ||BF 2 |mn(mn)16 162|AB|162730. 故选：B.x2 y2 81．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知双曲线  1的两个焦点分别为F 、F ， 为双曲线上一 16 9 1 2 P  点，且F 1 PF 2  2 ，则△FPF 的面积为_________. 1 2 【答案】9 x2 y2 【解析】依题意，双曲线 16  9 1的焦点 F 1 (5,0) 、 F 2 (5,0) ，||PF 1 ||PF 2 ||8，  因F 1 PF 2  2 ，则有 |FF |2|PF |2 |PF |2(|PF ||PF |)2 2|PF ||PF | ， 1 2 1 2 1 2 1 2 即有2|PF ||PF |10282 36，解得|PF ||PF |18， 1 2 1 2 1 所以△FPF 的面积S  2 |PF 1 ||PF 2 |9. 1 2 故答案为：9 x2 y2 82．（2022·四川·阆中中学高二期中（文））已知 为双曲线 ：  1的两个焦点， ， 为 F 1 ，F 2 C 16 4 P Q C上关于坐标原点对称的两点，且 PQ  F 1 F 2 ，则四边形PF 1 QF 2 的面积为________． 【答案】8 【解析】由题意得，a4,b2,c2 5， 由双曲线的对称性以及 PQ  FF 可知，四边形PFQF 为矩形， 1 2 1 2  PF  PF 2a8  1 2 所以 ，解得 ，  PF 1 2 PF 2 2 4c2 80 PF 1 PF 2 8 所以四边形PFQF 的面积为 PF PF 8． 1 2 1 2 故答案为：8． 83．（2022·四川巴中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A5,0 和B5,0 ，x2 y2 sinAsinB 点C在双曲线  1的右支上，则 ___________. 16 9 sinC 4 BC AB AC 【答案】 【解析】由条件知 ，且 .又在△ABC中，有   2R(R AC  BC 8 AB 10 5 sinA sinC sinB 为△ABC外接圆的半径)， sinAsinB BC  AC 8 4 从而    . sinC AB 10 5 4 故答案为： 5 x2 84．（2022·北京·101中学高二期末）已知双曲线 y2 1的两个焦点分别为 ， ， 为双曲线上一点， 4 F 1 F 2 P   且FPF 90，则 PF  PF 的值为________． 1 2 1 2 【答案】2 x2 【解析】双曲线 y2 1的a＝2，b＝1，c＝ ， 4 5 不妨设P为双曲线右支上的点，|PF|＝m，|PF|＝n， 1 2 则mn2a4，① 由余弦定理可得4c2 m2n22mncos90 m2n2 20，② 联立①②可得mn2 故答案为：2 核心知识11 双曲线上两线段的和差最值问题 x2 y2 85．（2022·广西玉林·高二期末（理））已知双曲线C:  1的左､右焦点分别是 F ， F ，点 关于 16 9 1 2 M F 1 ，F 2 对称的点分别是A， B ，线段MN的中点在双曲线C的右支上，则 AN  BN ___________. 【答案】16 【解析】如图，设线段MN的中点为D. 由双曲线的定义可得 DF  DF 2a8. 1 2 由对称性可得D，F 1 ，F 2 分别是线段MN，MA，MB的中点，则|AN|2 DF 1 ，|BN|2 DF 2 ， 故|AN||BN|2 DF 2 DF 4a16. 1 2故答案为：16 x2 y2 86．（2022·黑龙江大庆·高二期末（文））设双曲线  1的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线l 4 2 1 2 1 交双曲线左支于A，B两点，则|BF|＋|AF|的最小值为__________． 2 2 【答案】10 x2 y2 【解析】由双曲线的标准方程  1得a＝2,由双曲线的定义可得|AF|－|AF|＝4,|BF|－|BF|＝4,所以| 4 2 2 1 2 1 AF|－|AF|＋|BF|－|BF|＝8.因为|AF|＋|BF|＝|AB|,当直线l过点F,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF|＋| 2 1 2 1 1 1 1 2 2b2 BF|) ＝|AB| ＋8＝ 810 2 min min a 故答案为：10. y2 87．（2022·福建省漳州第一中学高二期末）过双曲线x2 1的左焦点 作一条直线 交双曲线左支于 4 F 1 l ，Q两点，若 PQ 10，F 是双曲线的右焦点，则△PFQ的周长是___________. P 2 2 【答案】24 【解析】由双曲线定义知：|PF ||PF ||QF ||QF |2a2， 2 1 2 1 所以|PF |2|PF |，|QF |2|QF |，而 PQ  PF  QF 10， 2 1 2 1 1 1 故 PF QF 14，故△PFQ的周长为 PQ  PF QF 24. 2 2 2 2 2 故答案为：24 x2 y2 88．（2022·广东深圳·高二期末）P是双曲线  1的右支上一点，M、N分别是圆x52y2 4 和 9 16 x52 y2 1上的点，则 PM  PN 的最大值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D x2 y2 【解析】易得双曲线  1的焦点分别为 (-5，0)， (5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意 9 16 F 1 F 2 可得，当且仅当P与M、F 三点共线以及P与N、F 三点共线时所求的值最大，此时 PM  PN = 1 2 (PF +2)-(PF -1) 2 1(PF +2)-(PF -1)=6+3=9 2 1 x2 y2 89．（2022·陕西·西安中学高二期末（理））已知 是双曲线  1的左焦点， ， 是双曲线右 F 4 12 A(1,4) P 支上的动点，则|PF||PA|的最小值为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A x2 y2 【解析】由  1，得 ，则 ， 4 12 a2 4,b2 12 a2,b2 3,c a2b2 4 所以左焦点为F(4,0)，右焦点F(4,0)， 则由双曲线的定义得 PF  PF 2a4， 因为点A(1,4)在双曲线的两支之间， 所以 PA  PF  AF  3242 5， 所以 PF  PA 9，当且仅当A,P,F三点共线时取等号， 所以|PF||PA|的最小值为9， 故选：A x2 y2 90．（2022·全国·高二期末）若点 P 在曲线C 1 : 16  9 1上，点 Q 在曲线 C 2 :x52 y2 1 上，点 R 在曲 线C :x52y2 1上，则 PQ  PR 的最大值是（ ） 3 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】在双曲线C 中，a4，b3，c5，易知两圆圆心分别为双曲线C 的两个焦点， 1 1 记点F 5,0 、F 5,0 ，当 PQ  PR 取最大值时， 在双曲线C 的左支上， 1 2 P 1 所以， PQ  PR  PF 1PF 1 PF  PF 22a210. 2 1 2 1故选：B. 核心知识12求双曲线的离心率大小及离心率范围问题 x2 y2 91．（2022·河南开封·高二期末（理））已知双曲线C:  1a0,b0 的左、右焦点分别为 ， a2 b2 F 1 F 2 ，过F 2 作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A， B 两点，若   5AF 2 F 2 B，则双曲线C的离心率e为______． 15 【答案】 3 b b 【解析】由题意，双曲线 的渐近线为y x，若过 的直线 与直线y x垂直，垂足为 ，直线 C a F 2 l a A l b 与直线y x交于 ， F c,0， a B 2   因为5AF 2 F 2 B，所以F 2 在A， B 之间， a 如图所示，直线 的方程为y xc ， l b  a y xc   b 由 ，得 ， y b x A   a2c , abc    a a2b2 a2b2   a y xc   b 由 b ，得  a2c abc  ， y x B ,   a a2b2 a2b2  abc abc 5 1 b2 2 由  ，可得5  ，所以  ，所以  ， 5AF F B a2b2 a2b2 a2b2 a2b2 a2 3 2 2 b2 2 15 所以双曲线 的离心率e 1  1  ． C a2 3 3 b 15 同理，过 的直线 与直线y x垂直时，双曲线 的离心率e ．综上所述，双曲线 的离心率 为 F 2 l a C 3 C e 15 ， 315 故答案为： . 3 x2 y2 92．（2022·云南昆明·高二期中）已知 ， 为双曲线C:  1(a,b0)的左右焦点，直线 F 1 F 2 a2 b2 l:y 3x与双曲线C交于A， B 两点，且|AB||F 1 F 2 |，则双曲线C的离心率为_________． 【答案】 31【解析】不妨设A， B 分别在第一、第三象限，则AOF 2 60． 由|AB||FF |2c得|OA||OF |，且四边形AFBF 为矩形． 1 2 2 1 2 c 故△AOF 是正三角形， |AF |c ， |AF | 3c ．由双曲线的定义知 3cc2a ，从而e a  31. 2 2 1 故答案为： 31． y2 93．（2022·上海市崇明中学高二期中）已知直线 与双曲线x2 1(b0)无交点，则该双曲线离 y 2x b2 心率的最大值为_________. 【答案】 3 y2 【解析】双曲线x2 1(b0)的渐近线为： ，因直线 与双曲线无交点， b2 y=bx y 2x 于是得b 2，而双曲线实半轴长为1，则该双曲线离心率e 1b2  3， 所以该双曲线离心率的最大值为 3. 故答案为： 3 x2 y2 94．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线C:  1ba0的左、右焦点分别为 ， a2 b2 F,F 1 2 双曲线上存在点 P （点 P 不与左、右顶点重合），使得PF 2 F 1 3PF 1 F 2 ，则双曲线C的离心率的可能取值为 （ ） 6 10 A． B． C． D．2 2 3 2 【答案】BC b2 【解析】∵ ，则离心率e 1  2，则排除A； ba0 a2 记PFF 045， PF m， PF n， 1 2 1 2 则PF F 3,mn2a， 2 1 m n 2c mn 2a 由正弦定理结合分比定理可知：     ， sin3 sin sin4 sin3sin sin3sin sin4 2sin2cos2   e  2cos 2,2 则 ， sin3sin sin2sin2 所以B，C是正确的，D不正确. 故选：BC. x2 y2 95．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末（理））设 是椭圆C :  1a b 0 与双曲线 F,F 1 a2 b2 1 1 1 2 1 1 x2 y2 C :  1a 0,b 0 的公共焦点，曲线 在第一象限内交于点 ，若椭圆的离心 2 a2 b2 2 2 C ,C M,FMF 90 2 2 1 2 1 2  6  率e  ,1，则双曲线的离心率 的范围是（ ） 1  3   e 2     A． 1, 2  B． 1, 3  C．   3, D．   2, 【答案】A 【解析】由题意可得， MF  MF 2a ， MF  MF 2a ，解得： MF a a ， MF a a ，因为 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2  1   1  F 1 MF 2 90 ，所以 MF 1 2 MF 2 2 4c2 ，即 a 1 2a 2 2 2c2 ，亦即 e 1    e 2   2，所以 1  e   1, 2 2 2   1  ． 2  e  1 故选：A． x2 y2 96．（2022·四川泸州·高二期末（理））双曲线C：  1(a0,b0)的左焦点为F，过原点作一条直线 a2 b2  分别交C的左右两支于A，B两点，若AFB ， BF 2 AF ，则此双曲线的离心率为 3 （ ）A． 2 B． 3 C． 7 D．3 【答案】C 【解析】 设双曲线的右焦点为F ，连接BF， 1 1 根据椭圆的对称性可得 BF  AF ， 1 由双曲线的定义可得 BF  BF 2 AF  AF  AF 2a,所以 BF 4a, 1 AF 2 BF 2 AB2  在 中，cosAFB ，结合AFB ， 可得 ， △AFB 2 AF  BF 3 |BF|2|AF| AB  3|AF|2 3a 所以 BF 2  AF 2 AB2 即 ， AO  3a AF  AB c 在 RtVAFO 中， OF 2  AF 2  AO 2即 c2 4a23a2 ，所以 c 7a ，则e a  7， 故选：C x2 y2 97．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线  1a0,b0的两个顶点分别为 ， a2 b2 A B ，点 P 为双曲线上除A， B 外任意一点，且点 P 与点A， B 连线的斜率为k 1 ，k 2 ，若k 1 k 2 8，则双曲 线的离心率为（ ） A． 2 B． 3 C．2 D．3 【答案】D 【解析】设P(x ,y )， x a ，A(a,0)，B(a,0)， 0 0 0 x2 y2 0  0 1，  a2 b2 a2 x2a2  y2， 0 b2 0 y y y2 b2 k k  0  0  0  8， 1 2 x a x a x2a2 a2 0 0 0 c b2 e  1  183． a a2故选：D． x2 y2 9 98．（2022·贵州铜仁·高二期末（文））点 到双曲线  1的一条渐近线的距离为 ，则双曲线 (3,0) 16 b2 5 的离心率e（ ） 5 5 4 25 A． B． C． D． 4 3 3 16 【答案】A x2 y2 3b 9 【解析】由题意，双曲线 16  b2 1的一条渐近线方程为 bx4y0 ，故 b216  5 ，即 25b2 9  b216 ， 169 5 解得 ，故e  b2 9 16 4 故选：A 核心知识13 双曲线的简单几何性质问题 x2 y2 x2 y2 99．（2022·上海徐汇·高二期末）若椭圆  1(a0)与双曲线  1 (a0)有相同的焦点，则 4 a2 a2 2 实数a的值为___________． 【答案】1 【解析】双曲线的焦点在x轴上，所以4a2 a22，又a0，故解得a1． 故答案为：1． x2 y2 100．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期末（文））已知双曲线E:  1b0的渐近线方程为 3 b2 y 3x，则双曲线E的焦距等于______. 【答案】4 3 x2 y2 【解析】∵双曲线E:  1b0的渐近线方程为 ， 3 b2 y 3x b2  2 ∴  3 ，即 ， 3 b2 9 ∴c2 3b2 12，2c4 3， ∴E的焦距等于4 3. 故答案为：4 3. x2 y2 101．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知曲线C:  1，则 2m 4m （ ）     A．当 m2 时，则C的焦点是F 1 2,0 ，F 2  2,01 B．当 时，则 的渐近线方程为y x m6 C 2 C．当C表示双曲线时，则m的取值范围为m2 D．存在m，使C表示圆 【答案】ABD x2 y2 【解析】对于A，当 时，曲线C:  1，则 的焦点是F  2,0 ，F   2,0 ，所以A正确； m2 4 2 C 1 2 x2 y2 1 对于B，当 时，曲线C:  1，则 的渐近线方程为y x，所以B正确； m6 8 2 C 2 对于C，当C表示双曲线时， 2m4m0，解得：m4或m2，所以C不正确； 对于D，当2m4m，即m1时，曲线C表示圆，所以D正确. 故选：ABD. x2 102．（多选题）（2022·云南·会泽县实验高级中学校高二开学考试）已知双曲线 y2 m2(m0)，则 3 不因m的值改变而改变的是 （ ） A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程 【答案】BD x2 【解析】∵双曲线 y2 m2(m0)， 3 x2 y2 ∴  1， 3m2 m2 c2 m2 该双曲线焦距为：4 m2 ， 2 m2 2 3 离心率为：  ， 3m2 3     顶点坐标为 3m2,0 和  3m2,0 ， 3x 渐近线方程为y ， 3 不因m的值改变而改变的是离心率与渐近线方程. 故选：BD. 103．（多选题）（2022·云南红河·高二期末）已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点A( 5,1)，则 （ ） A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 B．双曲线C的虚轴长为2 C．双曲线C的两条渐近线互相垂直D．F 1 ,F 2 为双曲线C的两个焦点，过F 2 的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则 PF 1 Q的周长为8 【答案】AC 【解析】由题意可设双曲线C的方程为x2y2 (0)， x2 y2 把点 代入上式得双曲线 的方程为  1 A( 5,1) C 4 4 所以双曲线C的虚轴长为4；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直；且渐近线方程为:yx，焦点坐标分别 为(2 2,0)，(2 2,0)，故焦点到渐近线距离为2； 由双曲线定义可知 PFQ的周长为 PF  QF  PQ 2a PF 2a QF  PQ 4a2 PQ 82 PQ ，  1 1 1 2 2 所以BD错. 故选：AC x2 y2 x2 y2 104．（2022·河南许昌·高二期末（文））双曲线  1与  1有相同的（ ） 6 2 2 6 A．离心率 B．渐近线 C．实轴长 D．焦点 【答案】D x2 y2 【解析】对于双曲线  1可得：焦点在 轴上， 6 2 x a 1  6,b 1  2,c 1 2 2 c 2 3 b 3 则离心率e  1  ，渐近线y 1 x x，实轴长 ，焦点  1 a 3 a 3 2a 2 6 2 2,0 1 1 1 x2 y2 对于双曲线  1可得：焦点在 轴上， 2 6 x a 2  2,b 2  6,c 2 2 2 c b 则离心率e 2  a 2 2，渐近线y a 2 x 3x，实轴长 2a 2 2 ，焦点 2 2,0  2 2 2 ∴ABC错误，D正确 故选：D． 105．（2022·河南南阳·高二期末（理））王老师在课堂中与学生探究某双曲线的性质时，有四位同学分别 给出了一个结论： 甲：该双曲线的实轴长是4 3； 乙：该双曲线的虚轴长是2； 丙：该双曲线的焦距为8； 2 3 丁：该双曲线的离心率为 ． 3 如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解析】甲：2a4 3,a2 3；乙：2b2,b1； 丙：2c8,c4； c 2 3 2 3 丁：e  ,c a； a 3 3 所以甲、丙、丁三者同时满足， 此时b c2a2  1612 2，所以乙同学结论错误. 故选：B 核心知识14 双曲线的渐近线问题 x2 y2 106．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线 ：  1a0,b0的左焦点 C a2 b2   为F ，过点F 作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B.若FA2AB，则下列说法 正确的是（ ） A．双曲线C的离心率为 3 B．双曲线C的渐近线方程为y 2x b2 C．点 到两渐近线的距离的乘积为 A 4 2 D． 为坐标原点，则tanAOB O 4 【答案】ABD b b 【解析】双曲线的渐近线方程为y x，不妨设过左焦点F的直线与直线y x平行，交C于点A. a a b b b 对于A：设双曲线半焦距为c，过点Fc,0与直线y x平行的直线的方程为y (xc)，与y x a a a  c bc 联立，解得B , ，  2 2a c bc 设 ，由 ，可得(xc,y)2( x, y)， A(x,y) FA2AB 2 2a  2c bc 所以A , ，  3 3a 4c2 c2 c2 所以  1，即 3， 9a2 9a2 a2 所以双曲线C的离心率为e 3，故选项A正确； c2 b2 b 对于B：由 3，可得 2，所以  2， a2 a2 a 所以渐近线方程为y 2x，故选项B正确；bx ay bx ay a2b2 b2 dd  A A A A   对于C：A到两渐近线距离的乘积 1 2  2 c2 3 ，故选项C错误； a2b2 b 2 b 对于D：k   ,k   2,k k 1， OA 2a 2 AB a OA AB 4c2 b2c2 6  c 2  2 bc bc 2 c 所以OA AB,|OA|   c,|AB|   c     ， 9 9a2 3  2 3  2a 3a 2 3 |AB| 2 所以tanAOB  ，故选项D正确． |OA| 4 故选：ABD. x2 y2 107．（多选题）（2022·湖北·高二期末）已知双曲线M:  1(ab0)的焦距为4，两条渐近线的夹角 a2 b2 为60，则下列说法正确的是（ ） 2 3 y2 A．M的离心率为 B．M的标准方程为x2 1 3 3 3 C．M的渐近线方程为y x D．直线 经过M的一个焦点 3 xy20 【答案】ACD x2 y2 【解析】根据题意双曲线 M:  1(ab0) 的焦距为 4 ，两条渐近线的夹角为 ， 有 a2 b2 60 a2b2 c2 4 ，①， 双曲线的两条渐近线的夹角为 60 ， 3 b b 3 则过一三象限的渐近线的斜率为 或 ， 即  3 或  ，② 3 3 a a 3 联立①②可得： a2 1 ， b2 3 ， c2 4 或 a2 3 ， b2 1 ， c2 4 ； x2 因为 ，所以 ， ， ，故双曲线的方程为 y2 1 ab a2 3 b2 1 c2 4 3 4 2 3 对A，则离心率为  ，故 A 正确 . 3 3 x2 对B，双曲线的方程为 y2 1 ，故 B 错误； 3 3 对C，渐近线方程为 y x ，故 C 正确； 3 对D，直线 xy20 经过 M 的一个焦点 (2,0) ，所以 D 正确 . 故选： ACD 108．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）双曲线x2my2 1mR 的右焦点坐标为 2,0 ，则该双曲线 的渐近线方程为（ ）3 1 A．y x B． C． D．y x 3 y3x y 3x 3 【答案】C y2 x2 1 【解析】双曲线 ，即 1 的右焦点坐标为 ， x2my2 1(mR) m 2,0 1 y2 所以1 22，解得m 1 ，所以双曲线方程为x2 1， m 3 3 则双曲线的渐近线为y 3x； 故选：C x2 y2 109．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线C:  1a0,b0 的焦距为 ， a2 b2 2 5 点P2,1 在C的渐近线上，则双曲线C的方程为（ ） x2 y2 A． y2 1 B．x2 1 4 4 x2 y2 x2 y2 C．  1 D．  1 20 5 5 20 【答案】A 【解析】因为焦距为2 5，故半焦距为 5，故a2b2 5， b 因为 在一条渐近线上，故 21，解得 ， P(2,1) a a2,b1 x2 故双曲线方程为： y2 1. 4 故选：A. 110．（2022·四川凉山·高二期末（文））若双曲线C两条渐近线方程是yx，则双曲线C的离心率是 （ ）． A． 2 B． 3 C．2 D． 5 【答案】A b c b2 【解析】由渐近线方程可知 1，则  1  2. a a a2 故选：A. x2 111．（2022·陕西汉中·高二期末（理））已知双曲线 y2 1(a0)的渐近线与圆 相切， a2 x2(y2)2 1 则a=（ ）1 3 A． B． C． D． 3 3 3 3 【答案】B 1 1 【解析】由题意得双曲线的渐近线方程为y x，根据对称性，不妨取y x，即 ， a a xay0 因为渐近线与圆相切， 02a 1 所以圆心（0,2）到直线 的距离d  1，解得a2  ， xay0 1a2 3 3 3 所以a 或a （舍）. 3 3 故选：B 核心知识15 抛物线的定义与方程 112．（2022·湖北黄冈·高二期末）已知抛物线y2 2px(p0)的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线与 1 1  8 两点，且 ，则拋物线的准线方程为________. P,Q PF FQ 1 【答案】x 8  【解析】设直线 与 轴的夹角为(0 )，根据抛物线的对称性，不妨设 ，如图所示.设 PQ x 2 |PF||QF| 抛物线的准线与x轴的交点为E，过点P作准线与x轴的垂线，垂足分别为P,H， 过点Q分别作准线和x轴的垂线，垂足分别为Q,G. p 由抛物线的定义可知，|PF||PP||EH ||EF||FH | p|PF|cos|PF| ， 1cosp 同理：|QF||QQ||EG||EF||GF| p|QF|cos|QF| , 1cos 1 1 1cos 1cos 2 1 1 于是，     8 p ，则抛物线的准线方程为：x . |PF| |QF| p p p 4 8 1 故答案为：x . 8 113．（2022·云南曲靖·高二期末）过抛物线y2 2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线   于点C，若CB2BF, AF 3，则此抛物线方程为__________． 【答案】y2 3x 【解析】 如图，作 AE⊥ 准线于E，BD准线于D，设 BD a，由抛物线定义得 BD  BF a，CB 2 BF 2a， 故BCD30， 在直角三角形ACE中，因为 AE  AF 3， AC  AF  FC 33a，所以33a6，从而得a1， 1 3 3 设准线与x轴交于 ，则 FG  FC  ，所以p ，因此抛物线方程为 . G 2 2 2 y2 3x 故答案为：y2 3x. 114．（2022·湖南·高二期末）已知抛物线C:y2 2pxp0 的焦点为F ，准线与x轴交于点Q，点M 是 抛物线C上一点，M 到准线的距离为2 3，且MFQ60，则抛物线C的方程为____________. 【答案】y2 6 3x 【解析】依题意可得p QF  MF  MF cos600 3 3，所以抛物线C的方程为y2 6 3x. 故答案为：y2 6 3x115．（2022·福建泉州·高二期末）已知抛物线y2 2px(p0)上有一点M2,y  与焦点之间的距离为3， 0 p 则 ___________. 【答案】2 p p 【解析】由题意可得：准线为x ，故2 3，则 2 2 p2 故答案为：2． 116．（2022·北京二中高二期末）已知抛物线y2 2px过点 1,2 ，则其准线方程为___________. 【答案】x1【解析】 抛物线y2 2px(p0)经过点 1,2 ，  42p  ， 解得：p2， 抛物线y2 4x的准线方程为x1， 故答案为：x1． 117．（2022·湖南·永州市第一中学高二期末）已知抛物线C:y2 2pxp2 的焦点为F，点M为C上一 点，点N为x轴上一点，若 FMN 是边长为2的正三角形，则p的值为______． 【答案】3 【解析】如图，因为 FMN 是边长为2的正三角形，所以可得y  3，  M 当M与焦点F的横坐标相同时， MF  p2， 所以点M位于点F的左侧， p 所以x  1， M 2  p  所以M 1, 3，  2   p  因为点M 1, 3在抛物线上，  2  p  所以32p 1，化简得 ，  2  p22p3 解得p1（舍去），或p3， 故答案为：3 118．（2022·云南·罗平县第一中学高二期末）已知抛物线x2 mym0 上的点 x 0 ，1 到该抛物线焦点F 的 距离为2，则m（ ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C  m m 【解析】由x2 mym0，可得其焦点F0, ，准线方程为y  ，  4  4 因为点 x 0 ，1 到该抛物线焦点F 的距离为2，所以点 x 0 ，1 到抛物线准线的距离为2， m 则1 2，解得 ， 4 m4 故选：C. y 119．（多选题）（2022·江苏镇江·高二期中）下列四个方程所表示的曲线中既关于x轴对称，又关于 轴 对称的是（ ） x2 y2 A．  0 B． C． D． 9 4 2yx2 0 4x29y2 1 x22xy2 0 【答案】AC x2 y2 【解析】对于A选项，对于曲线 9  4 0上的任意点x,y，其关于 x 轴对称的点 x,y 满足方程 x2 y2 x2 y2  0，关于 轴对称的点 也满足方程  0，故满足条件； 9 4 y x,y 9 4 对于B选项，2yx2 0即为x2 2y，表示焦点在y轴正半轴的抛物线，关于y轴对称，但不关于x轴对 称，故不满足； x2 y2  1 对于C选项， 即为 1 1 ，表示焦点在 轴上的椭圆，满足既关于 轴对称，又关于 轴 4x29y2 1 4 9 x x y 对称，故满足条件； 对于D选项，x22xy2 0即为 x12y2 1，表示圆心为1,0，半径为1的圆，其关于x轴对称， y 不关于 轴对称，故不满足条件. 故选：AC 1 120．（2022·湖南衡阳·高二期末）抛物线E:y x2 的焦点到其准线的距离为（ ） 41 1 A． B． C．2 D．4 8 4 【答案】C 1 【解析】抛物线E:y x2，即 ，则 ，所以 ， 4 x2 4y 2p4 p2 所以抛物线的焦点到其准线的距离为p2. 故选：C 121．（2022·北京市十一学校高二期末）以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛 物线方程是（ ） A．y2 8x B．y2 8x C．y2 8x或y2 8xD．x2 8y或x2 =-8y 【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为y2 2pxp0 ． 因为焦点到准线的距离为4， 所以p4，所以2p8， 所以抛物线方程为y2 8x或y2 8x． 故选：C． 核心知识16 抛物线上两点距离的最值问题 122．（2022·辽宁·本溪市第二高级中学高二期末）点M(8,0)到抛物线y2 10x上的点的距离的最小值为 ________. 【答案】 55 n2  【解析】设抛物线 上的点坐标A ,n，则 y2 10x 10  MA    n2 8   2 n2  n4  3 n2 64  1  n2 30 2 55，当 时， 取得最小值，且最小值 10  100 5 100 n2 30 MA 为 55. 故答案为： 55 123．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）已知抛物线y2 2px(p0) 的焦点坐标为(1,0)，则该 抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是___________. [1,) 【答案】 p 【解析】由抛物线 的焦点坐标为 ，可得 1，解得 ， y2 2px(p0) (1,0) 2 p2 设抛物线上的任意一点为M(x,y )(x 0)，焦点为F(1,0)， 1 1 1由抛物线的定义可得 MF x 1， 1 因为x 0，所以 MF 1，所以抛物线上一点到焦点的距离的取值范围是[1,). 1 [1,) 故答案为： . 124．（2022·河北·张家口市第一中学高二期中）已知圆C: x32y2 4，点M 在抛物线T：y2 4x上 运动，过点M 引直线l 1 ，l 2 与圆C相切，切点分别为 P ，Q，则 PQ 的取值范围为__________.  【答案】 2 2,4  【解析】如图，连接CP，CQ，CM，依题意，CPMP,CQMQ，而|CP||CQ|2， 而|MP||MQ|，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为Rt  CPM 面积的2倍， 1 1 2|CP||MP| 4 |CM |2 |CP|2 4 从而得 |PQ||CM |2 |CP||MP|，即|PQ|  4 1 ， 2 2 |CM | |CM | |CM |2 设点M(t,s)，而C(3,0)，s2 4tt0 ，则|CM |2(t3)2s2 t22t9(t1)288， 当且仅当t=1时取“=”，t0,|CM |2[8,)， 4 1 1 4 因此得0  ，即 1 1，得 ， |CM |2 2 2 |CM |2 2 2|PQ|4 所以 PQ 的取值范围为[2 2,4).  故答案为： 2 2,4  125．（2022·北京八中高二期末）已知曲线W : x2y2|y|1，则曲线W上的点到原点距离的最小值是 （ ） 2 A．1 B． C． D． 2 2 2 2 21 【答案】A 【解析】 x2y2|y|1即为 x2y2 1|y|， 两边平方，可得x2y2 1y22|y|，1 1 即有 ，则  y ,1 x1 x2 12|y| 2 2 作出曲线W 的图形，如下： 1 1 则点 与点(0, )或(0, )的距离最小，且为1 ． O 2 2 2 故选：A． 126．（2022·四川泸州·高二期末（理））动点P，Q分别在抛物线x2 4y和圆x2 y28y130上，则 |PQ|的最小值为（ ） 1 3 A． B． C． 3 D． 3 2 3 3 2 2 【答案】B  1  【解析】设Px , x 2 ，圆化简为 ，即圆心为（0,4），半径为 ，  0 4 0  x2(y4)2 3 3 所以点P到圆心的距离d  x 02   1 x 24   2  1  x 22 x 216， 0 4 0  16 0 0 令t x 2，则t0， 0 1 令 f(t) t2t16， ，为开口向上，对称轴为 的抛物线， 16 t0 t8 所以 f(t)的最小值为 f 812， 所以d  12 2 3， min 所以|PQ|的最小值为d  32 3 3 3. min 故选：B C0,4 127．（2022·四川泸州·高二期末（文））动点 在抛物线x2 4y上，则点 到点 的距离的最小值 P P 为（ ） 1 A． B． C． 3 D．12 3 2 3 2 【答案】B 【解析】设 P    x, x 4 2   ，则 PC  x2    x 4 2 4    2  1 1 6  x28 2 12，当 x2 8 时， PC 取得最小值，最小值为2 3 故选：B 128．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知点P在抛物线y2x上，点Q在圆C:x32 y2 1 上，则 PQ 的最小值为（ ） 112 132 A． B． C． D． 21 52 2 2 【答案】C 【解析】设 Px,y ，由圆心 C(3,0) ，得 PC2 x32y2 x25x9    x 5 2    2  1 4 1 x0， 5 11 112 ∴x 时， PC  ，∴ PQ  ． 2 min 2 min 2 故选：C. 核心知识17 抛物线中焦点三角形的问题及焦半径公式 129．（2022·贵州黔西·高二期末（理））设点A n n,y n  nN* 在抛物线y2 6x上，F 是焦点，则 AF  A F  A F （ ） 1 2 40 A．880 B．878 C．876 D．882 【答案】A p 3 【解析】由条件可知，抛物线开口向左，焦半径公式 A F  n n， n 2 2 3 所以 AF  A F  A F  4012...40 1 2 40 2 40140 60 880. 2 故选：A 130．（2022·新疆·乌市八中高二期末（理））过抛物线y2 4x焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若 |AF |3，则 BF 的值为（ ） 5 3 A． B．2 C． D．1 2 2 2 【答案】C 【解析】如图所示，设AFx,(0,)， BF m， 因为|AF |3，所以点A到准线l:x1的距离为3， 1 所以 ，得cos ， 323cos 3因为m2mcos()， 所以m2mcos， 1 3 所以m2 m，得m ， 3 2 3 所以 的值为 ， BF 2 故选：C 131．（2022·北京二中高二期末）已知抛物线C:y2 4x的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y   轴于点Q，若PF  3FQ，则点P到准线l的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由抛物线C:y2 4x，可知F(1,0)，准线l的方程为x1， 过点P作 y 轴的垂线，垂足为N ， |OF| |FQ| 1 因为 ，所以   ， OF∥PN |PN| |QP| 4 所以|PN|4|FO|4， 所以点P到准线l的距离为415． 故选：C．132．（2022·河南开封·高二期末（理））设F为抛物线C:y2 4x的焦点，A是C上一点，O是坐标原点， 若tanAOF 2，则|AF |（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】设Ax ,y  ， 0 0 y 2 则x  0 ， 0 4 y y 4 tanAOF  0  0  2 故 x y 2 y ， 0 0 0 4 所以 y 0 2，则x 0 1， 所以|AF|x 12. 0 故选：B. 核心知识18 抛物线上两线段的和差最值问题 133．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知M为抛物线y2 4x上的动点，F为抛物线的焦点，P3,1，则 MP  MF 的最小值为___________. 【答案】4 【解析】如图所示： 设点M在准线上的射影为D， 由抛物线的定义知 MF  MD ， ∴要求 MP  MF 的最小值，即求 MP  MD 的最小值， 当D，M，P三点共线时， MP  MD 最小， 最小值为314. 故答案为：4 134．（2022·山东淄博·高二期末）若点P是抛物线x2 8y上的动点，则点P到点A4,0 的距离与到直线 y2的距离之和的最小值是______. 【答案】2 5 【解析】抛物线x2 8y的焦点F0,2 ，准线方程为y2 抛物线x2 8y上动点 到直线y2的距离即动点 到焦点F0,2 的距离， P P 故点P到点A4,0 的距离与到直线y2的距离之和的最小值为 FA 2 5. 故答案为：2 5． 135．（2022·全国·高二期中）已知抛物线的方程为y2 4x，焦点为F，点A的坐标为 3,4 ，若点P在此 抛物线上移动，记P到其准线的距离为d，则d PA的最小值为______，此时P的坐标为______．3 5  【答案】  ,1 5   2 2 5   【解析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为H ，连接PF，作图如下： 根据抛物线的定义，d  PH  PF ， 数形结合可知，当且仅当A,P,F三点共线，且P在A,F之间时取得最小值； 即d PA的最小值为 AF ，又A3,4,F1,0，故 AF  312 42 2 5； 此时直线AF 的方程为：y2x1 ，联立抛物线方程y2 4x， 3 5 3 5 可得： ，解得x （舍）或x ，此时 ， x23x10 2 2 y1 5 3 5  即此时点 的坐标为  ,1 5 . 2   P 3 5  故答案为： ；  ,1 5 . 2 2 5   136．（2022·湖南·高二期中）已知抛物线C :y2 8x的焦点为F ，圆C :(x2)2 y2 16与抛物线C 在第 1 2 1 一象限的交点为Ax 0 ,y 0  ，直线l:yt0t y 0  与抛物线C 1 的交点为 B ，直线l与圆C 2 在第一象限的交 点为D，则y 0 _______； C 2 DB周长的取值范围为____________． 【答案】 4 (8,12) (x2)2y2 16 x2 【解析】 y2 8x    y4 ,  y 0 0,y 0 4 设l:yt0t y 0  与抛物线的准线x2交于点 P ，则|BP| BC 2  C 2 DB周长为 BC 2 |BD| DC 2 |DP|4 又|DP|(4,8)∴周长(8,12). 故答案为：4； 8,121 137．（2022·河北·深州长江中学高二期末）已知抛物线y  x2，P是抛物线上一点，F为焦点，一个定 4 点A3,6 ，则 PA  PF 的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 1 p 【解析】由抛物线y  4 x2，化为 x2 4y ，得到 2 1，焦点 F0，1，准线 l：y1 ， 过点P作PM l，垂足为M，则 PM  PF ． PA  PF  PA  PM  AM ，又 AM 617， 当A，P，M共线时， PA  PF 取最小值7， 故选：C． 138．（2022·贵州·遵义四中高二期末）点F是抛物线y2 8x的焦点，点A(4,2)，P为抛物线上一点，P不 在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（ ） A．4 B．6 C．62 2 D．6 2 【答案】C 【解析】抛物线y2 8x的焦点F(2,0)，准线为x2 过P点作PH 准线l于点H ，故△PAF的周长为|PH ||PA||AF|， |AF|2 2，可知当A,P,H 三点共线时周长最小，为62 2 故选：C 139．（2022·安徽池州·高二期中）已知点F 是抛物线y2 4x的焦点，点M为抛物线上的任意一点， P3,1 为平面上定点，则|MP||MF|的最小值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意得F1,0 ，准线方程为x1，设点 M 在准线上的射影为D， 根据抛物线的定义可知 MF  MD ， 要求|MP||MF|取得最小值，即求 MP  MD 取得最小， 当D，M，P三点共线时 MP  MD 最小，即为314. 所以|MP||MF|的最小值为4. 故选：B. 140．（2022·贵州·贵阳市白云区第二高级中学高二期末（理））抛物线y2 4x的焦点为F ，其准线与x 轴的交点为N ，过点F 做直线与此抛物线交于A， B 两点，若NB AB，则 AF  BF （ ）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由y2 4x，则焦点F1,0 ，且准线方程为直线x1，即N1,0 ， ykx1 设过点 的直线方程为  ，联立抛物线可得： ， F y  k x 1 y2 4x 消去y可得：k2x12 4x，化简得：k2x2  2k24  xk2 0， 因为NB AB，且直线AB过点F ，所以NBFB， 即点B位于以线段NF 为直径的圆上， 易知以线段NF 为直径的圆的方程为x2y2 1， 将y2 4x代入上式，可得x24x1，解得x  52，x 2 5（舍去）， 1 2 则点 B 的横坐标x B  52，设点A的横坐标x A ， 1 由韦达定理可得： ，则x   52， x x 1 A 52 A B 根据抛物线的定义，可得AF  521，BF  521， 则AFBF 4， 故选：B. 核心知识19 抛物线的范围与最值问题 141．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知M(2,0)，N(3,0)，P是抛物线C：y2 3x上一点，则   PMPN的最小值是______． 【答案】5   【解析】设P(x,y)，则PM (2x,y)，PN (3x,y)，   从而PMPN (3x)(2x)y2 x25x6y2． 因为点 P 在抛物线C上，所以y2 3x，   所以PMPN (3x)(2x)y2  x25x63xx2 2x65，当且仅当x1时取等号． 故答案为：5 142．（2022·吉林油田高级中学高二期中）已知抛物线C:y2 2pxp0 与直线x2相交于A，B两点，   O为坐标原点，OAOB4. (1)求抛物线C的方程； (2)若点F是抛物线C的焦点，点P是抛物线C上任意一点，点Q是线段PF的中点，求直线OQ斜率的取 值范围.   【解析】(1)由题意，设A2,m，B2,m，则OAOB2,m2,m4m2 4，解得m2 2. 将点A或点B坐标代入抛物线方程得：84p，所以p2.所以抛物线C的方程为y2 4x.  y2  (2)由抛物线C的方程可知： F1,0，不妨设P  4 1 ,y 1   y 1 R . 1 y2 y  因为Q是线段PF的中点，则Q  1 , 1 . 2 8 2  y 1 所以直线OQ的斜率k  2  4y 1 y R . 1 y2 4y2 1  1 1 2 8 当y 0时，k 0； 1 4 4 k   1 当 时， 4 y 2 4 y （当且仅当 时等号成立），又 ， y 1 0 y 1 1 y 1 1 y 1 2 k 0 所以0k 1. 4 4 k   1 当 y 1 0 时，     y 4 1    y 1  2     y 4 1    y 1  （当且仅当 y 1 2 时等号成立），又 k 0 ， 所以1k 0. 综上，直线OQ斜率的取值范围是 1,1 . 143．（2022·浙江·宁波市北仑中学高二期中）已知抛物线x2=2py（p>0）上一点R(m，2)到它的准线的距离 为3.若点A，B，C分别在抛物线上，且点A、C在y轴右侧，点B在y轴左侧，△ABC的重心G在y轴上， 直线AB交y轴于点M且满足3|AM|<2|BM|，直线BC交y轴于点N.记△ABC，△AMG，△CNG的面积分别 为S，S，S. 1 2 3 （1）求p的值及抛物线的准线方程； S 1 （2）求 的取值范围. S S 2 3 p p 【解析】（1）有题意知，2 3， ，所以准线方程：y 1 2 p2 2（2）设点A(x,y ),B(x ,y ),C(x ,y )，x 0,x 0,x 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 S AM S CN AMG  , CNG  , S AB S BC ABG CBG 点G为ABC的重心，且在y轴上， 1 AM 1 CN 所以S ABG S CBG = 1 3 S ABC ，且 x x x 0 ，则S 2  3  AB S 1 ,S 3  3  BC S 1 ，且由相似三角形可知 1 2 3 AM x CN x  1 ,  3 AB x x BC x x 1 2 3 2 S S 1 AM CN 1 x x 1 x x x 1 x x x 所以 2 3  (  ) ( 1  3 )  ( 1  1 2 ) ( 1  1 2 ) S 3 AB BC 3 x x x x 3 x x x 2x 3 x x x 2x 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x S S 1 u u1 1 1 1 令u 1 ， 2 3  (  ) (2  ) x S 3 u1 u2 3 u1 u2 2 1 1 3  (2 ) 3 (u1)(u2) 2  9  因为 3 AM 2 BM ，所以 3x 1 2x 2 ，故 3 u0,(u1)(u2)u2u2    4 ,2  ，则 S S 1 2 2 3 ,  S 6 9 1 S 9  故 1   ,6 S S 2  2 3 144．（2022·广东·高二期末）已知过点 2,0 的直线与抛物线y2 2x相交于 ，Q两点，点A2,2 ，若 P 直线 ，AQ的斜率分别为k ，k ，则k k 的取值范围是（ ） AP 1 2 1 2  1 1  2 2 A．  , B． ,    2 2    2 2   1 1  2 2 C．  , D． ,    4 4    4 4  【答案】C【解析】因为过点 2,0 的直线与抛物线y2 2x相交于 ，Q两点， P 所以可设Px,y  ，Qx ,y  ，直线PQ的方程为：xmy2， 1 1 2 2 xmy2 由 得 ，因此 ， ， y2 2x y22my40 y y 2m y y 4 1 2 1 2 且4m2160， 又直线 ，AQ的斜率分别为k ，k ，点A2,2 ， AP 1 2 y 2 y 2 y 2 y 2 所以k  1  1 ，k  2  2 ， 1 x 2 my 4 2 x 2 my 4 1 1 2 2 y 2 y 2 y y 2y y 4 44m4 m 因此k k  1  2  1 2 1 2   ， 1 2 my 4 my 4 m2y y 4my y 16 4m28m216 m24 1 2 1 2 1 2 当m0时，k k 0； 1 2 m 当 时，k k  0， m0 1 2 m24 m 1 1 1 k k     且 1 2 m24 4 4 4， m 2 m m m 4 当且仅当m ，即 时，等号成立； m m2 1 所以 k k 0； 4 1 2 m 当 时，k k  0， m0 1 2 m24 m 1 1 1 k k     且 1 2 m24 m   4   2 m   4   4，  m  m 4 当且仅当m ，即 时，等号成立； m m2 1 所以0k k  ， 1 2 4  1 1 综上k 1 k 2     4 , 4   . 故选：C. 核心知识20 抛物线的简单几何性质问题 145．（多选题）（2022·浙江·嘉兴市第五高级中学高二期中）关于抛物线y2 2x，下列说法正确的是 （ ） A．开口向左 B．焦点坐标为 1,0 C．准线为x1 D．对称轴为x轴【答案】AD 【解析】对选项A，y2 2x，开口向左，故A正确；  1  对选项B， ，焦点为 ,0，故B错误； y2 2x  2  1 对选项C， ，准线方程为x ，故C错误； y2 2x 2 对选项D，y2 2x，对称轴为x轴，故D正确. 故选：AD 146．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知mn0，则方程mx2ny2 1与ny2 mx在同一坐标系内对 应的图形编号可能是（ ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【解析】对于①：由双曲线的图像可知：m0,n0；由抛物线的图像可知：m,n同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：m0,n0；由抛物线的图像可知：m,n异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：m0,n0；由抛物线的图像可知：m,n同号，且抛物线的焦点在x轴上， 符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：m0,n0；由抛物线的图像可知：m,n同号，且抛物线的焦点在x轴上， 矛盾.故④错误； 故选：B 1 147．（2022·江苏省仪征中学高二期中）对抛物线y x2 ，下列描述正确的是（ ） 8  1  A．开口向上，焦点为0，2 B．开口向上，焦点为  0， 32    1  C．开口向右，焦点为2，0 D．开口向右，焦点为 32 ，0  【答案】A 【解析】由题知，该抛物线的标准方程为x2 8y， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为 0,2 .故选：A. 148．（2022·浙江·高二期末）下列命题中正确的是（ ） A．抛物线 C:y2 4x的焦点坐标为 1，0 ． B．抛物线 C:y2 4x的准线方程为 x =−1． C．抛物线 C:y2 2px的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 C:y2 2px的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【解析】抛物线 C:y2 4x的焦点坐标为 1，0 ，故A错误； 抛物线 C:y2 4x的准线方程为x1，故B错误； 抛物线 C:y2 2px的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 149．（2022·陕西安康·高二期末（文））已知抛物线C:y2 4x与圆E:(x1)2 y2 4交于A，B两点，则 |AB|（ ） A．2 B．2 2 C．4 D．4 2 【答案】C y2 4x  【解析】由对称性易得A，B横坐标相等且大于0，联立 得 ，解得  x12 y2 4 x22x30 x 3,x 1， 1 2 则x x 1，将x1代入y2 4x可得y2，则|AB|4. A B 故选：C. 150．（2022·江苏省响水中学高二期中）已知抛物线y2 2px(p0)上一点M 到其准线及对称轴的距离分 别为3和2 2，则p（ ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】因为抛物线y2 2px(p0)上一点M 到其准线及对称轴的距离分别为3和2 2， y 2 2 y 2 2  M  M 所以 p ，即 p ，代入抛物线方程可得  p， x  3 x 3 82p3   M 2  M 2  2 整理得p26p80，解得p2或p4. 故选：B. 151．（2022·四川省内江市第六中学高二期中（理））已知抛物线C:y2 2pxp0 的焦点为F ，O为坐标原点． (1)过F 作垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点， AOB的面积为2．求抛物线C的标准方程； (2)抛物线上有M,N两点，若△MON 为正三角形，求△MON 的边长．  p  【解析】（1）由抛物线方程知：F ,0， 为抛物线的通径，则 ，  2  AB AB 2p 1 1 p 1 S  OF  AB   2p p2 2，解得： ， 抛物线 的标准方程为： . AOB 2 2 2 2 p2  C y2 4x （2） MON 为正三角形，OM  ON  MN ，由抛物线对称性可知：MN x轴，设MN:xt，则  1 MN ，解得： ， ， ， 2 2pt 3 ，解得： tan30    y2 2pt y  2pt y  2pt MN 2 2pt t t 3 1 2 t 6p，MN 4 3p，即△MON 的边长为4 3p. 核心知识21 轨迹问题 152．（2022·四川·高二期末（文））若动点Px,y满足方程 x22 y2  x22 y2 8，则动点P 的轨迹方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．   1 D．  1 16 12 16 4 8 4 16 12 【答案】A 【解析】由题意得：Px,y 到A2,0 与B2,0 的距离之和为8，且8>4，故动点P的轨迹方程是以 A2,0 与B2,0 为焦点的椭圆方程，故2a8，c2，所以a4，b2 a2c2 16412，所以椭圆 x2 y2 方程为  1. 16 12 故选：A 153．（2022·广东广州·高二期末）已知  ABC的周长为14，顶点 B 、C的坐标分别为 0,3 、 0,3 ，则 点A的轨迹方程为（ ） x2 y2 y2 x2 A．  1x0 B．  1y0 16 7 16 7 x2 y2 y2 x2 C．  1y0 D．  1x0 16 7 16 7 【答案】D 【解析】由已知可得 BC 6， AB  AC 14 BC 8 BC ，且A、 B 、C三点不共线， 故点A的轨迹是以B、C为焦点，且除去长轴端点的椭圆， 由已知可得2a8，得a4， c3，则b a2c2  7， y2 x2 因此，点 的轨迹方程为  1x0. A 16 7 故选：D.   154．（2022·广西·田东中学高二期末（理））在平面直角坐标系中，已知定点A 0, 2 、B(0, 2)，直 线PA与直线PB的斜率之积为2，则动点P的轨迹方程为（ ） y2 y2 y2 y2 A． x2 1 B． x2 1(x0) C． x2 1 D． x2 1(y 0) 2 2 2 2 【答案】B y 2 y 2 y2 【解析】设动点P的坐标为 ，则由条件得  2．即 x2 1(x0)． (x,y) x x 2 y2 所以动点P的轨迹C的方程为 x2 1(x0)． 2 故选：B． 155．（2022·福建福州·高二期末）动圆M与圆C ： x42y2 1，圆C ：x2y28x70，都外切， 1 2 则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） x2 y2 y2 y2 A．  y2 1 B．x2 1 C．x2 1x1 D．x2 1x1 15 15 15 15 【答案】D 【解析】圆C ： x42y2 1，圆心C 4,0，半径 r 1. 1 1 1 圆C ：x2y28x70x42 y2 9，圆心C 4,0，半径 r 3. 2 2 2 设Mx,y ，半径为 ，因为动圆 与圆C ，C 都外切， r M 1 2 MC r1 所以 1  MC  MC 2 CC ，  MC 2 r3 2 1 1 2 所以M 的轨迹为以C 1 ,C 2 为焦点，2a2的双曲线左支. 所以a1，c4，解得b 161 15， y2 即 的轨迹方程为：x2 1x1. M 15 故选：D 156．（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C的方程为 x12 y2 16，B1,0，A为圆C 上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 16 9 16 9 4 3 4 3 【答案】C【解析】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以 PA  PB ， 所以 PB  PC  PA  PC  AC 4，而 BC 2， x2 y2 所以 点轨迹是以 为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为  1(ab0)， P B,C a2 b2 2a4，a2，c1，则b a2c2  3， x2 y2 所以 点轨迹方程是  1． P 4 3 故选：C． 157．（2022·新疆·博尔塔拉蒙古自治州蒙古中学高二期中）动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2， 则点P的轨迹是（ ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 【答案】D 【解析】由已知， PM  PN 2 MN ，所以点 P 的轨迹是一条以N 为端点向x轴正方向的射线. 故选：D. 158．（2022·河南洛阳·高二期末（文））在平面直角坐标系中，已知 ABC的顶点A3,0 ，B3,0 ，其  内切圆圆心在直线x2上，则顶点C的轨迹方程为（ ） x2 y2 x2 y2 A．  1x2 B．  1x3 4 5 9 5 x2 y2 x2 y2 C．  10 x2 D．  10 x3 9 5 9 4 【答案】A 【解析】如图设 ABC与圆的切点分别为D、E、F ， 则有|AD||AE|5，|BF||BE|1，|CD||CF|， 所以|CA||CB|514． 根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支（右顶点除外）， 即c3、a2，又c2 a2b2，所以b2 5， x2 y2 所以方程为  1x2． 4 5 故选：A．159．（2022·甘肃兰州·高二期末（理））已知圆C ：(x＋3)2＋y2＝1和圆C ：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时 1 2 与圆C 及圆C 相外切，求动圆圆心M的轨迹方程（ ） 1 2 y2 y2 A．x2－ ＝1(x≤－1) B．x2－ ＝1 8 8 y2 y2 C．x2－ ＝1(x 1) D． －x2＝1 8  8 【答案】A 【解析】|MC |r1,|MC |r3,则|MC ||MC |2 1 2 2 1 y2 根据双曲线定义知 的轨迹为x2 1的左半支 M 8 故选：A 160．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知圆C ：x2y32 9和圆C ：x2y32 1， 1 2 动圆M同时与圆C 及圆C 外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______. 1 2 x2 【答案】y2 1y1 8 【解析】由题，设动圆M 的半径为r，圆C 1 的半径为r 1 3，圆C 2 的半径为r 2 1, 当动圆M 与圆C 1 ，圆C 2 外切时, MC 1 3r, MC 2 1r, 所以 MC  MC 3r1r2, 1 2 因为圆心C 0,3 ,C 0,3 ，即CC 6，又2 CC 1 2 1 2 1 2 根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的上支，其中a1，c3， x2 所以 ,则动圆圆心 的轨迹方程是y2 1y1； b2 c2a2 8 M 8x2 故答案为：y2 1y1 8