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专项训练七 求阴影部分的面积
1.如图,在☉O中,若∠ACB=30°,OA=6,则扇形OAB(阴影部分)的面积是( )
A.12π B.6π C.4π D.2π
2.生活情境(2024·沧州孟村县模拟)如图是型号为24英寸(车轮的直径为24英寸,约60 cm)的自行
车,现要在自行车两轮的阴影部分(分别以C,D为圆心的两个扇形)装上挡水的铁皮,量出四边形
ABCD中∠DAB=115°,∠ABC=125°,那么安装单侧(阴影部分)需要的铁皮面积约是( )
A.300π cm2 B.500π cm2 C.900π cm2 D.1 200π cm2
3.如图,等圆☉O 和☉O 相交于A,B两点,☉O 经过☉O 的圆心O ,若O O =2,则图中阴影部分的
1 2 1 2 2 1 2
面积为 ( )
4 2
A.2π B. π C.π D. π
3 3
4.(2023·鄂州)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,O为BC的中点,以点O为圆心,OB
的长为半径作半圆,交AC于点D,则图中阴影部分的面积是 ( )
√3
A.5√3- π B.5√3-4π
3
C.5√3-2π D.10√3-2π
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5.(2024·河北三模)如图,将正六边形纸片的空白部分剪下,得到三部分图形,记Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ部分的面积
分别为 S ,S ,S .给出以下结论:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形;②Ⅲ中最大的内角是 150°;
1 Ⅱ Ⅲ
③S =2(S +S ).其中正确的是 ( )
Ⅲ 1 Ⅱ
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
6.把一个圆心角为120°,半径为9 cm的扇形纸片,通过用胶水粘贴制作成了一个底面周长为4π
cm的圆锥侧面,如图所示,则圆锥上粘贴部分(图中阴影部分)的面积是( )
A.8π cm2 B.9π cm2 C.19π cm2 D.27π cm2
7.如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个相邻刻度间的弧长均相等,过9点和11点的位置作
一条线段,则钟面中阴影部分的面积为 ( )
2 √3 2
A. π- B. π-√3
3 2 3
4 4
C. π-2√3 D. π-√3
3 3
8.如图,☉O的半径为3,边长为2的正六边形ABCDEF的中心与O重合,M,N分别是AB,FA的延长
线与☉O的交点,则图中阴影部分的面积是 ( )
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3
A.π-√3 B. π-√3
2
9 9 √3
C. π-√3 D. π-
4 4 2
9.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC= ,以A为圆心,以AB为半径作 ⏜ ;以BC为直径作
√2
BDC
⏜ .则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
CAB
10.如图1是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).
通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1 m,点C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为
m2.
图1 图2
11.(2024·资阳)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.以点A为圆心,AD长为半径作弧交AB于点E,
再以AB为直径作半圆,与 ⏜ 交于点F,则图中阴影部分的面积为 .
DE
12.(2023·郴州)如图,在☉O中,AB是直径,C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D,连接CD,使
∠BCD=∠A.
(1)求证:直线CD是☉O的切线.
(2)若∠ACD=120°,CD=2√3,求图中阴影部分的面积.(结果用含π的式子表示)
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1.(2023·连云港)如图,矩形 ABCD 内接于☉O,分别以 AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若
AB=4,BC=5,则阴影部分的面积是 ( )
41 41
A. π-20 B. π-20
4 2
C.20π D.20
2.如图,某玩具品牌的标志由半径为 1 cm的三个等圆构成,且三个等圆☉O ,☉O ,☉O 相互经过彼
1 2 3
此的圆心,则图中三个阴影部分的面积之和为 ( )
1 1 1
A. π cm2 B. π cm2 C. π cm2 D.π cm2
4 3 2
3.如图,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,∠CAB=∠DBA,连接BC,CD.
(1)求证:CD∥AB.
(2)若AB=4,∠ACD=30°,求阴影部分的面积.
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【详解答案】
基础夯实
1.B 解析:∵ ⏜ ⏜ ,∠ACB=30°,∴∠AOB=2∠ACB=60°.
AB=AB
60π
∴S = ×62=6π.故选B.
扇形OAB
360
2.A 解析:∵四边形ABCD中∠DAB=115°,∠ABC=125°,
∴∠ADC+∠BCD=120°,
∵车轮的直径为24英寸,约60 cm,
120×π×30×30
∴需要的铁皮面积约是 =300π(cm2).故选A.
360
3.D 解析:如图,连接OB,OB,令AB与OO 交于点C.
2 1 1 2
∵ 等 圆 ☉ O 和 ☉ O 相 交 于 A,B 两 点 ,∴ OO⊥ AB,AC=BC,OC=OC.∵ ☉ O 和 ☉ O 是 等 圆 ,
1 2 1 2 1 2 1 2
∴ OA=OO=OB=OB.∴ △ OOB 是 等 边 三 角 形 .
1 1 2 1 2 1 2
∴∠OOB=60°.∵∠ACO =∠BCO =90°,AC=BC,OC=OC,∴△ACO ≌△BCO (SAS).∴ ,S =
1 2 1 2 1 2 1 2 S =S 阴影
△ACO △BCO
1 2
60π×22 2π
S = = .故选D.
扇形BO 1 O 2 360 3
4.C 解析:如图,连接OD,BD,作OH⊥CD交CD于点H.
AB AB 4
= =
∵在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,∴BC=tan∠ACB tan30° √3=4√3.∵O为BC的中点,以
3
1
点 O 为圆心,OB 的长为半径作半圆,∴BC 是半圆的直径.∴∠CDB=90°.∵∠ACB=30°,∴BD= BC=2√3
2
√3 1
,CD=BC·cos∠BCD=4√3× =6.又∵OB=OC=OD= BC=2√3,∴OB=OD=BD.∴△OBD 是等边三角形.
2 2
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1 1 1
∴∠BOD=60°.∵OH⊥CD,∠OCH=30°,∴OH= OC=√3.∴S
阴影
=S
△ACB
-S
△COD
-S
扇形ODB
= ×4×4√3− ×√3×6-
2 2 2
60π×(2√3)2
=5√3-2π.故选C.
360
5.B 解析:如图,将如图的正六边形可以分割成6个全等的三角形,
于是Ⅰ部分、Ⅱ部分相当于其中的1个三角形,Ⅲ部分相当于4个这样的三角形,
(6-2)×180°
因此:①Ⅰ和Ⅱ合在一起能拼成一个菱形是正确的;②Ⅲ中最大的内角是 =120°,因此②不正确
6
的;③S =2(S+S )是正确的.
Ⅲ 1 Ⅱ
综上所述,正确的有①③.故选B.
6.B 解析:∵圆锥的底面周长为4π cm,
∴围成圆锥的扇形弧长为4π cm,
120π×9
∵扇形的弧长为 =6π(cm),
180
∴粘贴部分的弧长为6π-4π=2π(cm),
1
∴圆锥上粘贴部分的面积是 ×2π×9=9π(cm2).故选B.
2
7.B 解析:如图,连接OA,OB,过点O作OC⊥AB,
由题意可知
∠AOB=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB为等边三角形,
∴AB=AO=BO=2,
60π×22 2
∴S = = π,
扇形AOB
360 3
∵OC⊥AB,
∴∠OCA=90°,AC=1,
∴OC=√3,
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1
∴S = ×2×√3=√3,
△AOB 2
2
∴阴影部分的面积为 π-√3.故选B.
3
8.B 解析:如图,延长BC,CD,DE,EF分别交☉O于点I,J,K,H,过点O作OQ⊥CD于点Q,
∵正六边形ABCDEF的中心为O,
360°
∴∠COD= =60°,
6
∵OC=OD,
1 1
∴CQ= CD=1,∠COQ= ∠COD=30°,
2 2
∴OC=2CQ=2,
在Rt△OCQ中,
OQ= ,
√OC2-CQ2=√22-12=√3
1
∴S = CD·OQ=√3,
△OCD 2
∴S =6S =6√3,
正六边形ABCDEF △OCD
1 1 3
∴图中阴影部分的面积= ×(S -S )= ·(9π-6√3)= π-√3.故选B.
6 ☉O 正六边形ABCDEF 6 2
9.π-2 解析:如图,取BC的中点O,连接OA.
∵∠CAB=90°,AC=AB=√2,
∴BC=√2AB=2,
∴OA=OB=OC=1,
1 1 90π×(√2)2 1
∴S =S -S +S −S = ·π×12- ×√2×√2+ − ×√2×√2=π-2.
阴影 半圆 △ABC 扇形ACB △ACB 2 2 360 2
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10.(π 1) 解析:由题知,
-
4 8
90·π·12 π
S = = (m2),
扇形OAB
360 4
∵点C,D分别是OA,OB的中点,
1
∴OC=OD= m,
2
1 1 1 1
∴S = × × = (m2),
△OCD
2 2 2 8
∴花窗的面积为(π 1)m2.
-
4 8
2
11.√3+ π 解析:如图,连接AF,EF.
3
由题意易知△AEF是等边三角形,
S =S -S −S =2π-
阴影 半圆 扇形AEF 弓形AF
60π·22 (60π·22 1 √3 )= +2π.
− - ×2× ×2 √3
360 360 2 2 3
12.解:(1)证明:如图,连接OC.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°.
∵OA=OC,∴∠OCA=∠A.
∵∠BCD=∠A,
∴∠OCA=∠A=∠BCD.
∴∠BCD+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°.∴OC⊥CD.
∵OC是☉O的半径,
∴直线CD是☉O的切线.
(2)∵∠ACD=120°,∠ACB=90°,
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∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°.
∴∠BOC=2∠A=60°.
CD
∵在Rt△OCD中,tan∠BOC= =tan 60°,CD=2√3,
OC
2√3
∴ =√3.解得OC=2.
OC
1 60×π×22 2π
∴S =S -S = ×2√3×2- =2√3− .
阴影 △OCD 扇形BOC
2 360 3
能力提升
1.D 解析:如图,连接AC.∵矩形ABCD内接于☉O,AB=4,BC=5,∴AC2=AB2+BC2.∴阴影部分的面积是 S
矩形
+π× AB 2+π× BC 2-π AC 2=S +π×1(AB2+BC2-AC2)=S =4×5=20.故选D.
ABCD 矩形ABCD 矩形ABCD
2 2 2 4
2.C 解析:根据圆的对称性可知,图中三个阴影部分的面积相等 .如图,连接 AO,AO,OO,则
1 2 1 2
AO=AO=OO.∵△AOO 是等边三角形,∴∠AOO=60°,弓形AO,AO,OO 的面积相等.∴阴影AOO 的面积=
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
60π×12 1 1 1
扇形AOO 的面积= = π(cm2).∴图中三个阴影部分的面积之和为3× π= π(cm2).故选C.
1 2 360 6 6 2
3.解:(1)证明:∵ ⏜ ⏜ ,
AD=AD
∴∠ACD=∠DBA,
又∵∠CAB=∠DBA,
∴∠CAB=∠ACD,
∴CD∥AB.
(2)如图,连接OD,过点D作DE⊥AB,垂足为E.
∵∠ACD=30°,
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∴∠AOD=60°,
∴∠BOD=180°-∠AOD=120°,
nπr2 120×π×22 4
∴S = = = π.
扇形BOD 360 360 3
在Rt△ODE中,
√3
∵DE=sin 60°·OD= ×2=√3,
2
1 1
∴S = OB·DE= ×2×√3=√3,
△BOD 2 2
4
∴S
阴影
=S
扇形BOD
−S
△BOD
=
3
π-√3.
10
