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1995 年福建高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
王新奎新疆屯敞
1．已知I为全集，集合M，N I，若M∩N=N，则( )
(A) (B) (C) (D)
2．函数y= 的图像是( )
3．函数y=4sin(3x+ )+3cos(3x+ )的最小正周期是( )
(A) 6π (B) 2π (C) (D)
4．正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( )
(A) (B) (C) 2πa2 (D) 3πa2
5．若图中的直线l，l，l的斜率分别为k，k，k，则( )
1 2 3 1 2 3
(A) k<k<k (B) k< k< k
1 2 3 3 1 2
(C) k< k< k (D) k< k< k
3 2 1 1 3 2
6．在(1－x3)(1+x)10的展开式中，x5的系数是( )
(A) －297 (B) －252 (C) 297 (D) 207
7．使arcsinx>arccosx成立的x的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)
8．双曲线3x2－y2=3的渐近线方程是( )
(A) y=±3x (B) y=± x (C) y=± x (D) y=± x
9．已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ= ，那么sin2θ等于( )
(A) (B) (C) (D)
10．已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题：
①α∥β l⊥m ②α⊥β l∥m ③l∥m α⊥β ④l⊥m α∥β
其中正确的两个命题是( )
(A) ①与② (B) ③与④ (C) ②与④ (D) ①与③
11．已知y=log(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )
a
(A) (0，1) (B) (1，2) (C) (0，2) (D)
12．等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S与T，若 ，则 等于(
n n n n
)
(A) 1 (B) (C) (D)
13．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共( )
(A) 24个 (B) 30个 (C) 40个 (D) 60个
14．在极坐标系中，椭圆的二焦点分别在极点和点(2c，0)，离心率为e，则它的极坐
标方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
15．如图，ABC－ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D，F分别是AB，AC的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
若BC=CA=CC，则BD与AF所成的角的余弦值是( )
1 1 1
(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷(非选择题，共85分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上)
16．不等式 的解集是__________
王新奎新疆屯敞
17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成的角为
，则圆台的体积与球体积之比为_____________
王新奎新疆屯敞
18．函数y=sin(x－ )cosx的最小值是____________
王新奎新疆屯敞
19．直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点，并且与x轴垂直，若l被抛物线截得的
线段长为4，则a=
王新奎新疆屯敞
20．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有
__________种(用数字作答)
王新奎新疆屯敞
三、解答题(本大题共6小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
21．(本小题满分7分)
在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z，Z，Z，O (其中O是
1 2 3
原点)，已知Z对应复数 ．求Z和Z对应的复数．
2 1 3
22．(本小题满分10分)求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．
23．(本小题满分12分)
如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，
AF⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE
与平面ABCD所成的角．
24．(本小题满分12分)
某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供
政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当
8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，
Q=500 (8≤x≤14)．
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元?
25．(本小题满分12分)
设{a}是由正数组成的等比数列，S是其前n项和．
n n
(1)证明 ；
(2)是否存在常数c>0，使得 成立?并证明你
的结论．
26．(本小题满分12分)
已知椭圆 ，直线 ．
P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP
上且满足|OQ|·|OP|=|OR|，当点P在l上移动
时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．B 3．C 4．B 5．D 6．D 7．B 8．C 9 . A
10．D 11．B 12．C 13．A 14．D 15．A
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)
16．{x|－2<x<4} 17． 18． 19．4 20．144
三、解答题
21．本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．
解：设Z，Z对应的复数分别为z，z，依题设得
1 3 1 3=
22．本小题主要考查三角恒等式和运算能力．
解： 原式
23．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB 平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF 平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．∵DB 平面DEB，
∴AF⊥DB．
(2)解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH．根据圆柱性 质 ，
平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH 平面ABE，所以EH⊥ 平
面ABCD．
又DH 平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从 而
∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是
V圆柱=2πR3，
由V ：V =3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，
圆柱 D－ABE
AH=R，
DH=
∴∠EDH=arcctg =arcctg ，
24．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、
方程和不等式的解法等基础知识和方法．
解：(1)依题设有
1000(x+t－8)=500 ，
化简得 5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0．
当判别式△=800－16t2≥0时，
可得 x=8－ ± ．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①
②
解不等式组①，得0≤t≤ ，不等式组②无解．故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0， ]．(2)为使x≤10，应有
8 ≤10
化简得 t2+4t－5≥0．
解得t≥1或t≤－5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．
25．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识，考查推理能力以及分析问
题和解决问题的能力．
(1)证明：设{a}的公比为q，由题设a>0，q>0．
n 1
(i)当q=1时，S=na，从而
n 1
S·S －
n n+2
=na·(n+2)a－(n+1)2
1 1
=－ <0
(ⅱ)当q≠1时， ，从而
S·S －
n n+2
= ．
由(i)和(ii)得S·S － ．根据对数函数的单调性，知
n n+2
lg(S·S )<lg ，
n n+2
即 ．
(2)解：不存在．
证明一：要使
．成立，则有①
②
分两种情况讨论：
(i)当q=1时，
(S—c)( S —c) =( S —c)2
n n+2 n+1
=(na－c)[(n+2)a－c]－[(n+1)a－c]2
1 1 1
= <0．
可知，不满足条件①，即不存在常数c>0，使结论成立．
(ii)当q≠1时，若条件①成立，因为
(S—c)( S —c)－( S —c)2
n n+2 n+1
=
=－aqn[a－c(1－q)]，
1 1
且aqn≠0，故只能有a－c(1－q)=0，即
1 1
此时，因为c>0，a>0，所以0<q<1．
1
但0<q<1时， ，不满足条件②，即不存在常数c>0，使结论成
立．
综合(i)、(ii)，同时满足条件①、②的常数c>0不存在，即不存在常数c>0，使
．
证法二：用反证法，假设存在常数c>0，使
，
则有
①
②
③
由④得
④
SS － =c (S + S －2 S )． ⑤
n n+2 n n+2 n+1根据平均值不等式及①、②、③、④知
S + S －2 S
n n+2 n+1
=(S—c)+( S —c)－2(S —c) ≥2 －2( S —c)=0．
n n+2 n+1 n+1
因为c>0，故⑤式右端非负，而由(1)知，⑤式左端小于零，矛盾．故不存在常数
c>0，使
=lg( S —c)
n+1
26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和
性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，
利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思
想和综合运用知识的能力．
解法一：由题设知点Q不在原点．设P、
R、Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，(x，
P P R R
y)，其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组
解得
①
②
由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组
解得 ③
④
当点P在y轴上时，经验证①－④式也成立．
由题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得将①－④代入上式，化简整理得
因x与x同号或y与yp同号，以及③、④知2x+3y>0，故点Q的轨迹方程为
p
(其中x，y不同时为零)．
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为 和 且长轴与x轴平行
的椭圆、去掉坐标原点．
解法二：由题设知点Q不在原点．设P，R，Q的坐标分别为(x，y)，(x，y)，(x，
p p R R
y)，其中x，y不同时为零．
设OP与x轴正方向的夹角为α，则有
x=|OP|cosα，y=|OP|sinα；
p p
x=|OR|cosα，y=|OR|sinα；
R R
x=|OQ|cosα，y=|OQ|sinα；
由上式及题设|OQ|·|OP|=|OR|2，得
①
②
由点P在直线l上，点R在椭圆上，得方程组
， ⑤ ③
， ⑥ ④
将①，②，③，④代入⑤，⑥，整理得点Q的轨迹方程为
(其中x，y不同时为零)．
所以点Q的轨迹是以(1，1)为中心，长、短半轴分别为 和 且长轴与x轴平行
的椭圆、去掉坐标原点．
