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1997 年江苏高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8
页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共65分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共15小题；第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题每小题5分，
共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
(1) 设集合M={x|0≤x<2}，集合N={x|x2－2x－3<0}，集合M∩N= ( )
(A) {x|0≤x<1} (B) {x|0≤x<2}
(C) {x|0≤x≤1} (D) {x|0≤x≤2}
(2) 如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a= ( )
(A) －3 (B) －6 (C) － (D)
(3) 函数y=tg 在一个周期内的图像是 ( )
(4) 已知三棱锥D—ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC= ，BC=2，则以BC为棱，
以面BCD与面BCA为面的二面角的大小是 ( )
(A) (B) (C) (D)(5) 函数y=sin( －2x)+sin2x的最小正周期是 ( )
(A) (B)π (C) 2π (D) 4π
(6) 满足tg a≥ctg a的角a的一个取值区间是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(7) 设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于 (
)
(A) 直线y=0对称 (B) 直线x=0对称
(C) 直线y=1对称 (D) 直线x=1对称
(8) 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3，4，5且它的八个顶点都在同一个球面上，
这个球的表面积是 ( )
(A) 20 π (B) 25 π (C) 50π (D) 200π
(9) 如果直线l将圆：x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率的取
值范围是 ( )
(A) [0，2] (B) [0，1] (C) [0， ] (D)
(10) 函数y=cos2x－3cosx+2的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 0 (C) － (D) 6
(11) 椭圆C与椭圆 关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是 (
)
(A) (B)
(C) (D)
(12) 圆台上、下底面积分别为π、4π，侧面积为6π，这个圆台的体积是 ( )
(A) (B) (C) (D)
(13) 定义在区间(－∞，+∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间
的图像与f(x)的图像重合．设a>b>0，给出下列不等式 ( )
① f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)；② f(b)－f(－a) < g(a)－g(－b)；③ f(a)－f(－b)>g(b)－g(－a)；④ f(a)－f(－b)<g(b)－g(a)．
(A) ①与④ (B) ②与③ (C) ①与③ (D) ②与④
(14) 不等式组 的解集是 ( )
(A) {x|0<x<2} (B) {x|0<x<2．5}
(C) {x|0<x< } (D) {x|0<x<3}
(15) 四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在
同一平面上，不同的取法有 ( )
(A) 30种 (B) 33种 (C) 36种 (D) 39种
第Ⅱ卷(非选择题 共85分)
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
(16)已知 的展开式中x3的系数为 ，常数a的值为___________
王新奎新疆屯敞
(17)已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段的中点坐标是_______
王新奎新疆屯敞
(18) 的值为__________
王新奎新疆屯敞
(19)已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线；
③若m α，l β，且l⊥m，则α⊥β；
④若l β，且l⊥α，则α⊥β；
⑤若m α，l β，且α∥β，则m∥l．
其中正确的命题的序号是___________ (注：把你认为正确的命题的序号都填上)
王新奎新疆屯敞
三、解答题：本大题共6小题；共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(20)(本小题满分10分)
已知复数 ， ．求复数 的模及辐角主值．
(21)(本小题满分11分)设S是等差数列{a}前n项的和．已知 与 的等比中项为 ， 与
n n
的等差中项为1．求等差数列{a}的通项a．
n n
(22)(本小题满分12分)
甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知
汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千
米/时)的平方成正比，且比例系数为b；固定部分为a元．
(Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
(Ⅱ)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
(23)(本小题满分12分)
如图，在正方体ABCD－ABCD中，E、F分别是BB、CD的中
1 1 1 1 1
点．
(Ⅰ)证明AD⊥DF；
1
(Ⅱ)求AE与DF所成的角；
1
(Ⅲ)证明面AED⊥面AFD；
1 1
(Ⅳ)设AA=2，求三棱锥E－AAF的体积 ．
1 1
(24)(本小题满分12分)
已知过原点O的一条直线与函数y=logx的图像交于A、B两点，分别过点A、B作y轴
8
的平行线与函数的y=logx的图像交于C、D两点．
2
(Ⅰ)证明点C、D和原点O在同一条直线上；
(Ⅱ)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．
(25)(本小题满分12分)
已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；
③圆心到直线l：x－2y=0的距离为 ．求该圆的方程．
1997年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(文史类)参考解答及评分标准
说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(15)题
每小题5分．满分65分．
(1)B (2)B (3)A (4)C (5)B (6)C (7)D (8)C (9)A (10)B (11)A (12)D
(13)C (14)C (15)B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(16)4 (17) (4，2) (18)2－ (19)①，④
注：第(19)题多填、漏填和错填均给0分．
三、解答题
(20)本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算等基础知识，考查利用三角公式进
行变形的技能和运算能力．满分10分．
解法一：将已知复数化为复数三角形式：
，
依题意有zω+zω
3
=(cos +isin )+(cos +isin )
=(cos +cos )+i(sin +sin )
=2cos (cos +isin )
故复数zω+zω3的模为 ，辐角主值为 ．解法二：zω+zω3
= zω(1+ω2)
=( + i)( + i)(1+i)
= (－ i+ i)
= (cos +isin )
(21)本小题主要考查等差数列、等比数列、方程组等基础知识，考查运算能力．满分
11分．
解：设等差数列{a}的首项a=a，公差为d，则通项为
n 1
a =a+(n－1)d，
n
前n项和为
，
依题意有
其中S≠0．
5
由此可得
整理得
解方程组得
由此得
a=1；
n
或 a=4－ (n－1)
n= － n．
经验证知时a=1，S=5，或 时，S=－4，均适合题意．
n 5 5
故所求等差数列的通项为a=1，或 ．
n
(22)本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查
综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．满分12分．
解：(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ，全程运输成本为
y=a· +bv2· =S( +bv)
故所求函数及其定义域为
y = S( +bv)，v∈
(Ⅱ)依题意知S、a、b、v都为正数，故有
S( +bv)≥2 ．
当且仅当 ，即 时上式中等号成立．
若 ，则当 时，全程运输成本y最小．
若 ，当 时，有
S( +bv)－S( +bc)= S[( － )+(bv－bc)]= (c－v)(a－bcv)．
因为c－v≥0，且a>bc，故有
2
a－bcv≥a－bc2>0，
所以S( +bv)≥S( +bc)，且仅当v=c时等号成立．
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当 时行驶速度应为 ；当
时行驶速度应为．
(23)本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查逻辑推理和空间想象能力．满分12分．
解：(Ⅰ) ∵ AC是正方体，
1
∴ AD⊥面DC．
1
又DF 面DC，
1 1
∴ AD⊥DF．
1
(Ⅱ)取AB中点G，连结AG，FG．
1
因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又AD、AD平行且相等，所以GF、AD
1 1 1 1
平行且相等，故GFDA是平行四边形，
1 1
AG∥DF．
1 1
设AG与AE相交于点H，∠AHA是AE与DF所成的角．
1 1 1
因为E是BB的中点，所以
1
Rt△AAG≌Rt△ABE，∠GAA=∠GAH，
1 1
从而∠AHA=90º，
1
也即直线AE与DF所成的角为直角．
1
(Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥DF，由(Ⅱ)知AE⊥DF，又AD∩AE=A，
1 1
所以DF⊥面AED．
1
又因为DF 面AFD，所以面AED⊥面AFD．
1 1 1 1 1
(Ⅳ)∵ 体积 ，
又FG⊥面ABBA，三棱锥F－AAE的高FG=AA=2，
1 1 1 1
面积 = S = ×22=2．
□
∴ = × ×FG= ×2×2=
(24)本小题主要考查对数函数图像、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，
考查运算能力和分析问题的能力，满分12分．
解：(Ⅰ)设点A、B的横坐标分别为x、x由题设知，x>1，x>1．则点A、B纵坐标分
1 2 1 2
别为logx、logx．
8 1 8 2
因为A、B在过点O的直线上，所以，
点C、D坐标分别为(x，logx)，(x，logx)．
1 2 1 2 2 2由于logx= －3 logx，
2 1 8 1
logx= =3logx
2 2 8 2
OC的斜率 ，
OD的斜率 ．
由此可知，k=k，
1 2
即O、C、D在同一条直线上．
(Ⅱ)由于BC平行于x轴知
logx= logx，
2 1 8 2
即得 logx= logx，
2 1 2 2
∴ x= ．
2
代入xlogx=xlogx得
2 8 1 1 8 2
logx=3xlogx．
8 1 1 8 1
由于x>1知logx≠0，
1 8 1
∴ =3x．
1
考虑x>1解得x= ．
1 1
于是点A的坐标为( ，log )．
8
(25)本小题主要考查轨迹的思想，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．满分12分．
解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为 ，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|
a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90º，知圆P截x轴所得的弦长为 ．故
r=2b2
2
又圆P被y轴所截得的弦长为2，所以有
r2=a2+1．
从而得2b2－a2=1．又因为P(a，b)到直线x－2y=0的距离为 ，所以 ，
即有 a－2b=±1，
由此有
解方程组得
于是r2=2b2=2，
所求圆的方程是
(x+1)2+(y+1)2=2，或(x－1)2+(y－1)2=2．
