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2001 年广东高考数学真题及答案
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间
120分钟.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
S = (c′+c)l
台侧
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V =
台体
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．不等式 ＞０的解集为
A．｛ｘ｜ｘ＜１｝ B．｛ｘ｜ｘ＞３｝
C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝
2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 ，则这个圆锥的全面积是
Ａ．３π Ｂ．３ π Ｃ．6π Ｄ．９π
3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是
A．两条相交直线B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ （ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞
２ａ
0，则ａ的取值范围是
A．（０， ） Ｂ．（０， ] Ｃ．（ ，＋∞） Ｄ．（０，＋∞）
5．已知复数ｚ＝ ，则ａｒｇ 是
A． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是A．ｙ＝ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２） Ｂ．ｙ＝－ｌｏｇ ，ｘ∈（１，
２ ２
２）Ｃ．ｙ＝ｌｏｇ ，ｘ∈（１，２） Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ ，ｘ∈
２ ２
（１，２]
7．若０＜α＜β＜ ，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则
A．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ａｂ＜１ Ｄ．ａｂ＞2
8．在正三棱柱ABC—A ＢＣ 中，若ＡＢ＝ ＢＢ ，则AB 与ＣＢ所成的角的大
１ １ １ １ １ １
小为 A．60° Ｂ．９０° Ｃ．4５° Ｄ．120°
9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题
①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；
②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；
③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；
④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减
其中，正确的命题是
A． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③ Ｄ．②④
10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的
取值范围是
A．（－∞,０） B．（－∞,２） C．［０,２］ D．（０,２）
11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜
记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ、Ｐ、Ｐ
１ ２ ３．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
A．P ＞P ＞P Ｂ．P ＞P ＝P
３ ２ １ ３ ２
１
Ｃ．P ＝Ｐ＞Ｐ Ｄ．P ＝P ＝P
３ ２ １ ３ ２ １
12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的
连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段
网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A
向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时
传递.则单位时间内传递的最大信息量为
A．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组
成共有 种可能(用数字作答)
王新奎新疆屯敞14．双曲线 的两个焦点为Ｆ、Ｆ，点P在双曲线上，若ＰＦ⊥ＰＦ，
１ ２ １ ２
则点P到ｘ轴的距离为
王新奎新疆屯敞
15．设｛ａ ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓ 是它的前ｎ项和．若｛Ｓ ｝是等差数列，
ｎ ｎ ｎ
则ｑ＝
王新奎新疆屯敞
16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为
王新奎新疆屯敞
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．
18．(本小题满分12分)
已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓ，Ｓ＝２５５０．
ｎ k
(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；
(Ⅱ)求
19．(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，
SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝ ．
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
20．(本小题满分12分)
设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，
画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能
使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈ ，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸
张面积最小?
21．(本小题满分14分)
已知椭圆 的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相
交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴求证直线AC经过线段EF的中点．
22．(本小题满分14分)
设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ ，ｘ ∈
１ ２
［０， ］，都有ｆ（ｘ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ），且f(1)=ａ＞０．
１ ２ １ ２
(Ⅰ)求ｆ ；
(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；
（Ⅲ）记ａ＝ｆ（２ｎ＋ ），求 ．
ｎ参考答案
一、选择题
1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D
二、填空题
13.4900 14. 15.1 16.2n(n-1)
三、解答题
17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ
＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ
＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分
＝ 8分
所以最小正周期Ｔ＝π． 10分
18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａ｝，
ｎ
则a ＝ａ，ａ＝４，ａ＝３ａ，Ｓ＝２５５０．
１ ２ ３ ｋ
由已知有a+3a=2×４，解得首项a ＝ａ＝２，
１
公差d=a －ａ＝２． 2分
２ １
代入公式S ＝ｋ·ａ＋ 得
ｋ １
∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０
解得k=50,k=-51(舍去)
∴a=2,k=50. 6分
(Ⅱ)由 得S ＝ｎ（ｎ＋１），
ｎ
9分
12分
19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M =
底面
= 2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分
∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ
∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.
又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥ＳＥ，
所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分
∵ＳＢ＝
∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝
即所求二面角的正切值为 12分
20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分
设纸张面积为S，则有
Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分
将ｘ＝ 代入上式得
Ｓ＝５０００＋４４ 5分
当８ 时，S取得最小值，
此时，高：ｘ＝ cｍ，
宽：λｘ＝ ｃｍ 8分
如果λ∈［ ］，可设 ，则由S的表达式得
Ｓ（λ ）－Ｓ（λ ）＝４４
１ ２
= 10分
由于
因此Ｓ（λ ）－Ｓ（λ ）＜０，
１ ２
所以S（λ）在区间［ ］内单调递增.
从而，对于λ∈［ ］，当λ＝ 时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［
］,当λ＝ 时，所用纸张面积最小.
12分
21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N( ，0) 3分
若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ），Ｂ（１，－ｙ），Ｃ（２，－ｙ），
１ １ １
∴AC中点为N( ，0)，即AC过EF中点N.
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的
方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．
记A（ｘ，ｙ）和Ｂ（ｘ，ｙ），则C（２，ｙ）且ｘ，ｘ满足二次方程
１ 1 ２ ２ ２ １ ２
即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，
∴ｘ＋ｘ＝ １０分
１ ２
又ｘ２ ＝２－２ｙ２ ＜２，得ｘ－ ≠０，
１ １ １
故直线AN，CN的斜率分别为
ｋ＝
１
∴ｋ－ｋ＝２ｋ·
１ ２
∵（ｘ－１）－（ｘ－１）（２ｘ－３）
１ ２ １
＝３（ｘ＋ｘ）－２ｘｘ－４
１ ２ １ ２
＝
∴ｋ－ｋ＝０，即ｋ＝ｋ，故A、C、N三点共线.
１ ２ １ ２
所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14分
22.(Ⅰ)解：因为对ｘ，ｘ∈［０， ］，都有ｆ（ｘ＋ｘ）＝ｆ（ｘ）·ｆ（x
１ ２ １ ２ １
）,
２
所以
ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分
∴ 6分
(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），
即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，
∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，
将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ
这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分
（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］
∵
∴ 12分
∵ｆ（ｘ）的一个周期是2
∴ｆ（２ｎ＋ ）=ｆ（ ）,因此a=
n
14分
