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2004 年北京高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至9页。共150分。
考试时间120分钟。
第I卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再
选涂其他答案，不能答在试题卷上。
3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
（1）设 ， ，则 等于
A. B. C. D.
（2）满足条件 的复数 在复平面上对应点的轨迹是
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
（3）设m、n是两条不同的直线， 是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ，则
其中正确命题的序号是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
（4）已知a、b、c满足 ，且 ，那么下列选项中一定成立的是
A. B. C. D.
（5）从长度分别为1，2，3，4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种，在这些取法中，以取
出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则 等于
A. 0 B. C. D.
（6）如图，在正方体 中，P是侧面
D C
1 1
A B
内一动点，若P到直线BC与直线 的距离相等， 1 1
P
则动点P的轨迹所在的曲线是 D C
A 直线 B 圆 C双曲线 D抛物线 A B
（7）函数 在区间［1，2］上存在反函数的充分必要
条件是
A. B. C. D.
（ 8 ） 函 数 ， 其 中 P 、 M 为 实 数 集 R 的 两 个 非 空 子 集 ， 又 规 定
， ，给出下列四个判断：其中正确的有:
①若 ，则 ②若 ，则
③若 ，则 ④若 ，则
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中的横线上。（9）函数 的最小正周期是______________
（10）方程 的解是______________
（11）圆 的圆心坐标是______________，如果直线 与该圆有公共点，那么
实数a的取值范围是______________
（12）某地球仪上北纬 纬线的长度为 ，该地球仪的半径是_______cm，表面积是______cm2
（13）在函数 中，若a，b，c成等比数列且 ，则 有最_______值
（填“大”或“小”），且该值为______________
（14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个
数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。 已知数列 是等和数列，且 ，公和为
5，那么 的值为______________，且这个数列的前21项和 的值为______________
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
在 中， ， ， ，求 的值和 的面积
（16）（本小题满分14分）如图，在正三棱柱 中，AB＝2， ，由顶点B沿棱柱侧面
经过棱 到顶点 的最短路线与 的交点记为M，求： （I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及 的值 （III）平面 与平面ABC所成二面角（锐角）的大小
A 1 C 1
B
1
M
C
A
B
（17）（本小题满分14分）
如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（ ），B（ ）均在抛
物线上。（I）写出该抛物线的方程及其准线方程
（II）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值及直线AB的斜率
（18）（本小题满分14分）
函数 定义在［0，1］上，满足 且 ，在每个区间 （ 1，
2……）上， 的图象都是平行于x轴的直线的一部分。
（I）求 及 ， 的值，并归纳出 的表达式（II）设直线 ， ，x轴及 的图象围成的矩形的面积为 （ 1，2……），求
及 的值
（19）（本小题满分12分）
某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=15km，BC=3km，在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A
站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，
在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度 匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应
时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差。
（I）分别写出列车在B、C两站的运行误差
（II）若要求列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，求 的取值范围
（20）（本小题满分12分）
给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，
每组数之和不大于150且分组的步骤是：
首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差 与所有可能的其他选择
相比是最小的， 称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方
式构成第二组，这时的余差为 ；如此继续构成第三组（余差为 ）、第四组（余差为 ）、……，直至
第N组（余差为 ）把这些数全部分完为止。
（I）判断 的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数
（II）当构成第n（n<N）组后，指出余下的每个数与 的大小关系，并证明
（III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：2004年普通高等学校招生北京卷文史类数学试题
参考答案
一. 选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分40分。1-6:DCAABDCB
二. 填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。
（9） （10） （11）（0，-1），
（12） （13）大 -3 （14）3 52
三. 解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，考查运算能力。满分14分。
解法一：
又
解法二： （1）
（2）
（1）+（2）得： （1）－（2）得：
（以下同解法一）
（16）本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力
和运算能力。满分14分。
解：（I）正三棱柱 的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形,其对角线长为
（II）如图，将侧面 绕棱 旋转 使其与侧面 在同一平面上，点B运动到点D
的位置，连接 交 于M，则 就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱 到顶点C 的最短路线，其长为
1
， 故A
1 C
1
B
1
M
A C
D
B
（III）连接DB， ，则DB就是平面 与平面ABC的交线
在 中
又 由三垂线定理得 就是平面 与平面ABC所成二面角
的平面角（锐角） 侧面 是正方形
故平面 与平面ABC所成的二面角（锐角）为
（17）本小题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的
方法分析问题和解决问题的能力，满分14分。
解：（I）由已知条件，可设抛物线的方程为
点P（1，2）在抛物线上 ，得 故所求抛物线的方程是
准线方程是
（II）设直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 则 ，
PA与PB的斜率存在且倾斜角互补 由A（ ），B（ ）在抛物线上，得
（1）; （2）
由（1）-（2）得直线AB的斜率
（18）本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力。满分14分。
解：（I）由 ，得 由 及 ，得
同理， 归纳得
（II）当 时，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列, 所以（19）本小题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。满分12分。
解：（I）列车在B，C两站的运行误差（单位：分钟）分别是 和
（II）由于列车在B，C两站的运行误差之和不超过2分钟，所以 （*）
当 时，（*）式变形为 解得
当 时，（*）式变形为 解得
当 时，（*）式变形为 解得
综上所述， 的取值范围是[39， ]
（20） 解：（I） 。除第N组外的每组至少含有 个数
（II）当第n组形成后，因为 ，所以还有数没分完，这时余下的每个数必大于余差 ，余下数
之和也大于第n组的余差 ，即
由此可得 因为 ，所以
（III）用反证法证明结论，假设 ，即第11组形成后，还有数没分完，由（I）和（II）可知，
余下的每个数都大于第11组的余差 ，且 故余下的每个数
（*）因为第11组数中至少含有3个数，所以第11组数之和大于 , 此时第11组的余差
这与（*）式中 矛盾，所以
