文档内容
2005 年黑龙江高考理科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至
10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷
注意事项：
1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是 球的体积公式
P，那么n次独立重复试验中恰好发生k
次的概率 其中R表示球的半径
一、选择题：
Y
1．函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是
（ ）
A． B． C．π D．2π
2．正方体ABCD—ABCD 中，P、Q、R分别是AB、AD、BC 的中点。那么，正方体的
1 1 1 1 1 1
过P、Q、R的截面图形是 （ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
3．函数 的反函数是
（ ）A． B．
C． D．
4．已知函数 内是减函数，则
（ ）
A．0< ≤1 B．－1≤ <0 C． ≥1 D． ≤－1
5．设a、b、c、d∈R，若 为实数，则
（ ）
A．bc+ad≠0 B．bc－ad≠0 C．bc－ad=0 D．bc+ad=0
6．已知双曲线 的焦点为F、F，点M在双曲线上且MF⊥x轴，则F 到直线FM
1 2 1 1 2
的距离为
（ ）
A． B． C． D．
7．锐角三角形的内角A、B满足tanA－ =tanB，则有
（ ）
A．sin2A－cosB=0 B．sin2A+cosB=0
C．sin2A－sinB=0 D．sin2A+sinB=0
8．已知点A（ ，1），B（0，0）C（ ，0）.设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，
那么有 等于
（ ）
A．2 B． C．－3 D．－
9．已知集合M={x|x2－3x－28≤0}, N={x|x2－x－6>0}，则M∩N为
（ ）
A．{x|－4≤x<－2或33} D．{x|x<－2或x≥3}
10．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，
且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为
（ ）
A．（－2，4） B．（－30，25） C．（10，－5） D．（5，－10）
11．如果a, a, …,a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则 （
1 2 8
）
A．aa>aa B．aaa+a D．aa=aa
1 8 4 5 1 8 4 5 1 8 4 5 1 8 4 5
12．将半径都为1的4个铅球完全装人形状为正四面体的容品里，这个正四面体的高最小
值为
（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3．本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
Y
13．圆心为（1，2）且与直线5x－12y－7=0相切的圆的方程为 .
14．设 为第四象限的角，若 = .
15．在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共
有 个.
16．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.其
中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.
三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（本小题满分12分）
设函数 的取值范围.18．（本小题满分12分）
已知 是各项均为正数的等差数列， 、 、 成等差数列.又
（Ⅰ）证明 为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列 各项的和 ，求数列 的首项a和公差d.
1
（注：无穷数列各项的和即当 时数列前n项和的极限）
19．（本小题满分12分）
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比
赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令
为本场比赛的局数,求 的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
20．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E、F分别为
CD、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAB；
（Ⅱ）设AB= BC，求AC与平面AEF所成的角的大小.
21．（本小题满分14分）
P、Q、M、N四点都在椭圆 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知
求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.
22．（本小题满分12分）
已知
（Ⅰ）当x为何值时，f (x)取得最小值？证明你的结论；（Ⅱ）设 在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
参考答案
1-6: CDBBCC 7-12: ACACBC
13. ; 14. . 15. 192； 16. ①，④
17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和计算能力，
满分12分
解：由于 是增函数， 等价于 ①
（1） 当 时， ， ①式恒成立。
（2） 当 时， ，①式化为 ，即
（3） 当 时， ，①式无解
综上 的取值范围是
18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。
（Ⅰ）证明： 、 、 成等差数列， ，即
又设等差数列 的公差为 ，则 ，即
， ，
这时 是首项 ，公比为 的等比数列。
（Ⅱ）解：如果无穷等比数列 的公比 ，则当 时其前 项和的极限不存在。
因而 ，这时公比 ， ，这样 的前 项和则
由 得公差 ，首项
19.本小题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的
能力。满分12分
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P（ ＝3）＝
比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，
第4局乙队胜。因而
P（ ＝4）＝ ＋
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。因而
P（ ＝5）＝ ＋
所以 的概率分布为
3 4 5
P 0.28 0.3744 0.3456
的期望 ＝3×P（ ＝3）＋4×P（ ＝4）＋5×P（ ＝5）＝4.0656
20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想
象能力。满分12分。
证明：（Ⅰ）证明：连结EP， 底面ABCD，DE在平面ABCD内， 。
又CE＝ED，PD＝AD＝BC，
F为PB中点，∴ 由三垂线定理得 ，∴在 中，PF＝AF。
又PE＝BE＝EA，
PB、FA为平面PAB内的相交直线，∴EF 平面PAB。
（Ⅱ）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝ ，PA＝ ，AC＝
∴ PAB为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且AF PB。
PB与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直，∴PB 平面AEF。
连结BE交AC于G，作GH∥BP交EF于H，则GH 平面AEF， GAH为AC与平面AEF所成的
角。
由 EGC∽ BGA可知EG＝ ，
由 ECH∽ EBF可知 ，
∴
∴ 与平面 所成的角为
21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等
式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0,1），且PQ MN，直
线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜
率为 。
又PQ过点F（0,1），故PQ方程为 ，
将此式代入椭圆方程得
设P、Q两点的坐标分别为 、 ，
则
，从而 ，
（1）当 时，MN的斜率为－ ，同上可推得
故四边形的面积
令 ，得
因为 ，
当 时， ，且S是以 为自变量的增函数，
所以
（2）当 时，MN为椭圆长轴， ，
综合（1），（2）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为
22．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。
满分12分。
解：（I）对函数 求导数，得
已知 ，函数 ．
（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．
令 ，得 ，从而 ，解得 ， ，其中
当 变化时， 的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
当 在 处取到极大值，在 处取到极小值。
当 时， ， ， 在 上为减函数，在 上为增函数，
而当 时， ；当 时，
所以当 时， 取得最小值。
（II）当 时， 在 上为单调函数的充要条件是 ，
即 ，解得 。
综上， 在 上为单调函数的充要条件 。
即 的取值范围是 。
