2006年内蒙古高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_内蒙古

2006 年内蒙古高考文科数学真题及答案 本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷 ３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ｉ卷（选择题） 一．选择题 (1)已知向量＝（4，2），向量 ＝（ ，3），且// ,则 ＝ x x a b a b （A）9 (B)6 (C)5 (D)3 M {x|x3},N x|log x1 M N  （2）已知集合 2 ，则  x|0 x3  （A） （B） x|1 x3 x|2 x3 （C） （D） y sin2xcos2x （3）函数 的最小正周期是   （A） 2 （B） 4 （C） 4 （D） 2 y  f(x) y  f(x) (4）如果函数 的图像与函数 y32x的图像关于坐标原点对称，则 的表达式为 （A） （B） y 2x3 y 2x3 （C） （D） y 2x3 y 2x3 x2  y2 1 ABC 3 （5）已知 的顶点B、C在椭圆 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 ABC 外一个焦点在BC边上，则 的周长是 2 3 4 3 （A） （B）6 （C） （D）12 （6）已知等差数列a 中， a 7,a 15 ，则前10项的和 S ＝ n 2 4 10 （A）100 (B)210 (C)380 (D)400   A,B,AB   （7）如图，平面 平面 ， 与两平面 、 所成的角分别为  A B' B  A'  4 和 6 。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A'、 B', 若AB=12,则 A'B' （A）4 （B）6 （C）8 （D）9 （8）已知函数 ，则 的反函数为 f(x)lnx1(x0) f(x) y ex1(xR) y ex1(xR) （A） （B） y ex1(x1) y ex1(x1) （C） （D） x2 y2 4  1 y  x （9）已知双曲线 a2 b2 的一条渐近线方程为 3 ，则双曲线的离心率为 5 4 5 3 （A）3 （B）3 （C）4 （D）2 f(sinx)3cos2x, f(cosx) （10）若 则 3cos2x 3sin2x （A） （B） 3cos2x 3sin2x （C） （D） （11）过点（－1，0）作抛物线 的切线，则其中一条切线为 y  x2 x1 （A） （B） （C） （D） 2x y20 3x y30 x y10 x y10 （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有 （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 注意事项： 本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 1 (x4  )10 （13）在 x 的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答） （14）圆 是以 为半径的球 的小圆，若圆 的面积 和球 的表面积 的比为 o R O o S O S 1 1 1 ，则圆心 到球心 的距离与球半径的比 ＿＿＿＿＿。 S :S 2:9 o O OO :R  1 1 1(1, 2) l (x2)2  y2 4 （15）过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小 l k  ____. 时，直线 的斜率 （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的 频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要 [2500,3000) 从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在 （元）月收 入段应抽出＿＿＿＿＿人。 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入（元） 10001500200025003000 35004000 三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分１２分） 在 2 5 ,求 ABC中，B45,AC  10,cosC  5 （1）BC ? (2)若点 D是AB的中点，求中线CD的长度。 （18）（本小题满分１２分） 设等比数列a 的前n项和为 S ， S 1,S 17,求通项公式a ? n n 4 8 n （19）（本小题满分１２分） 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意 出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为 一等品。 （I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。 （II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批 产品被用户拒绝的概率。 （20）（本小题１２分） C 如图，在直三棱柱 ABCA 1 B 1 C 1中， AB  BC,D 、 E分别为 1 B 1 A 1 BB AC 1、 1的中点。 D E B C ABB AC （I）证明：ED为异面直线 1与 1的公垂线； AA  AC  2AB, A ADC （II）设 1 求二面角 1 1的大小 (21）（本小题满分为１４分） 设 ， 函 数 若 的 解 集 为 A ， aR f(x)ax2 2x2a. f(x)0 a Bx|1 x3,A B  ，求实数 的取值范围。  （22）（本小题满分１２分）   x2 4y AF FB(0). 已知抛物线 的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且 过A、 B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明 为定值； FM AB  （II）设ABM 的面积为S，写出 S  f() 的表达式，并求S的最小值。 2006年内蒙古高考文科数学真题参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D D C B B B A C D A 二、填空题 1 2 （13）45；（14）3；（15） 2 ；（16）25 一．选择题     a b x a b x （1）已知向量 ＝（4，2），向量 ＝（ ，3），且 // ,则 ＝( B ) （A）9 (B)6 (C)5 (D)3   a b 解： // 4×3－2x＝0，解得x＝6，选B M {x|x3},N x|log x1 M N  （2）已知集合 2 ，则  ( D ) x|0 x3 x|1 x3 x|2 x3  （A） （B） （C） （D） 解：    ,用数轴表示可得答案D N  x log x1  x x2 2y sin2xcos2x （3）函数 的最小正周期是(D )   （A）2 （B）4 （C） 4 （D） 2 1 2  解析: y sin2xcos2x sin4x所以最小正周期为T   ,故选D 2 4 2 y  f(x) y32x y  f(x) （4）如果函数 的图像与函数 的图像关于坐标原点对称，则 的表达式为( D ) y 2x3 y 2x3 y 2x3 y 2x3 （A） （B） （C） （D） y32x y y  f(x) y 2x3 解：以－y，－x代替函数 中的x， ，得 的表达式为 ，选D x2  y2 1 （5）已知ABC的顶点B、C在椭圆 3 上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的 ABC 另外一个焦点在BC边上，则 的周长是( C ) 2 3 4 3 （A） （B）6 （C） （D）12 解：(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a,可得ABC 的周长为4a= ,所以选C 4 3 a  a 7,a 15 S （6）已知等差数列 n 中， 2 4 ，则前10项的和 10＝(B ) （A）100 (B)210 (C)380 (D)400 a a 157 4 2  4 a S 解：d＝ 42 2 ， ＝3，所以 ＝210，选B 1 10   A,B,AB   （7）如图，平面 平面 ， 与两平面 、    A 所成的角分别为 4 和 6 。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为 B' B  A' A' B', A'B' 、 若AB=12,则 ( A ) （A）4 （B）6 （C）8 （D）9  解 ： 连 接 AB和AB, 设 AB=a, 可 得 AB 与 平 面 所 成 的 角 为 BAB , 在 42 ,同理可 得 AB 与平面 所成的角为 ,所以 Rt BAB中有AB a  ABA  2 6 1 , 因 此 在 2 1 1 , 所 以 AA a Rt AAB中AB ( a)2 ( a)2  a  2 2 2 2 1 AB:A'B'a: a 2:1,故选A 2 f(x)lnx1(x0) f(x) （8）已知函数 ，则 的反函数为(B ) y ex1(xR) y ex1(xR) （A） （B） y ex1(x1) y ex1(x1) （C） （D） 解： 所以反函数为 故 y lnx1(x0)lnx y1 xey1(yR) y ex1(xR) 选B x2 y2 4  1 y  x （9）已知双曲线a2 b2 的一条渐近线方程为 3 ，则双曲线的离心率为( A ) 5 4 5 3 （A）3 （B）3 （C）4 （D）2 解：双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得b 4 c 32 42 5,故选A  ,可得e   a 3 a 3 3 f(sinx)3cos2x, f(cosx) （10）若 则 (C ) 3cos2x 3sin2x 3cos2x 3sin2x （A） （B） （C） （D） 解： f(sinx)3cos2x3(12sin2 x)2sin2 x2 所以 ,因此 故选C f(x)2x2 2 f(cosx)2cos2 x2(2cos2 x1)33cos2x y  x2 x1 （11）过点（－1，0）作抛物线 的切线，则其中一条切线为( D ) 2x y20 3x y30 x y10 x y10 （A） （B） （C） （D） y2x1 (x ,y ) x 1 y  x2 x 1 解： ，设切点坐标为 0 0 ，则切线的斜率为2 0 ，且 0 0 0yx2 x 1(2x 1)(xx ) 于是切线方程为 0 0 0 0 ，因为点（－1，0）在切线上，可解得 x 0＝0或－4，代入可验正D正确。选D （12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共 有( A ) （A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 解：人数分配上有两种方式即1,2,2与1,1,3 C3C1C1 C1C2C2 5 2 1 A3 5 4 2 A3 若是1,2,2，则有 A2 3 ＝60种，若是1,1,3，则有 A2 3＝90种 2 2 所以共有150种，选A 第Ⅱ卷 二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。 1 (x4  )10 （13）在 x 的展开式中常数项是45。（用数字作答） 1 解： T Cr (x4)10r( )r Cr x405r要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可 r1 10 x 10 得 T C8 C2 45 r1 10 10 （14）圆 O 1是以 R 为半径的球 O 的小圆，若圆 O 1的面积 S 1和球 O 的表面积 S 的比为 S :S 2:9 O O OO :R  1 ，则圆心 1到球心 的距离与球半径的比 1 1  3。 O S r2 S 4R2 S :S 2:9 2 2 解：设圆 1的半径为r，则 1＝ ， ＝ ，由 1 得r  R＝  3 r2 OO2  R2 OO :R  又 1 ，可得 1 1  3 (1, 2) l (x2)2  y2 4 （15）过点 的直线 将圆 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小 l k  ____. 时，直线 的斜率 解：(数形结合)由图形可知点A 在圆 的内部, 圆心为O(2,0)要使 (1, 2) (x2)2  y2 4 1 1 2 得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线 ,所以 l OA k    l k  2 2 OA （16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系， [2500,3000) 要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在 （元） 月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。 解：由直方图可得 （元）月收入段共有 人 [2500,3000) 100000.00055002500 100 按分层抽样应抽出2500 25人 10000 频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入（元） 10001500200025003000 35004000 三、解答题 2 5 5 cosC  得sinC  17、解：（1）由 5 5 2 3 10 sinAsin(180 45 C) (cosCsinC) 2 10 AC 10 3 10 BC  sinA  3 2 sinB 2 10 由正弦定理知 2 AC 10 5 AB sinC   2 sinB 2 5 （2） 2 1 BD AB1 2 由余弦定理知 CD BD2 BC2 2BDBCcosB 2  118213 2  13 2{a } S 1,S 17知q1 （18）解：设 n 的公比为q，由 4 8 ，所以得 a (q4 1) 1 1 q1 ……………………………………① a (q8 1) 1 17 q1 ……………………………………② 由①、②式得 q8 1 17 整理得q4 1 q4 16 解得 所以 q＝2或q＝－2 1 将q＝2代入①式得a  ， 1 15 2n1 a 所以 15 1 将q＝－2代入①式得a  ， 1 5 (1)n2n1 a  所以 n 5 A 19解：设 i表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1； B i表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2； （1）依题意所求的概率为 C1 C2 C2 C1C1 12  4  3  4  3 2  P P(A B )P(A B ) P(A)P(B )P(A )P(B) C2 C2 C2 C2 25 i 1 0 0 1 1 0 0 1 5 5 5 5 C2 C2 12 7 1 4  3   (2)解法一：所求的概率为P 1P(A B )P C2 C2 25 50 2 0 0 1 5 5 解法二：所求的概率为 P2P(A B)P(A B )P(A B ) 1 1 0 2 1 2 P(A)P(B)P(A )P(B )P(A)P(B ) 1 1 0 2 1 2C1 C1C1 C2 C2 C1 C2 17  4  3 2  4  2  4  2  C2 C2 C2 C2 C2 C2 50 5 5 5 5 5 5 20．解法一： （Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO\s\up(∥)CC，又CC\s\up(∥)BB，所以 1 1 1 EO\s\up(∥)DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分 ∵AB＝BC，∴BO⊥AC， C 1 B 1 又平面ABC⊥平面ACCA，BO面ABC，故BO⊥平面ACCA， A 1 1 1 1 1 ∴ED⊥平面ACCA，BD⊥AC，ED⊥CC， D 1 1 1 1 E ∴ED⊥BB，ED为异面直线AC与BB的公垂线．……6分 F 1 1 1 （Ⅱ）连接A 1 E，由AA 1 ＝AC＝AB可知，A 1 ACC 1 为正方形， C B ∴AE⊥AC，又由ED⊥平面ACCA和ED平面ADC知平面 O 1 1 1 1 1 A ADC⊥平面AACC，∴AE⊥平面ADC．作EF⊥AD，垂足为F，连接AF，则AF⊥AD，∠AFE 1 1 1 1 1 1 1 1 为二面角A－AD－C的平面角． 1 1 不妨设AA＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝， 1 tan∠AFE＝，∴∠AFE＝60°． 1 1 所以二面角A－AD－C为60°． ………12分 1 1 解法二： （Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点． 设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B(0，b，2c)． 1 则C(－a，0，0)，C(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分 1 ED＝（0，b，0），BB\S\do(1)＝(0，0，2c)． z ED·BB\S\do(1)＝0，∴ED⊥BB 1 ． C 1 B 1 又AC\S\do(1)＝(－2a，0，2c)， A 1 ED·AC\S\do(1)＝0，∴ED⊥AC 1 ， ……6分 D 所以ED是异面直线BB与AC的公垂线． E 1 1 y （Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A(1，0，2)， C 1 B BC＝(－1，－1，0)，AB＝(－1，1，0)，AA\S\do(1)＝O(0，0，2)， BC·AB＝0，BC·AA\S\do(1)＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA，又 A AB∩AAx＝A， 1 1 ∴BC⊥平面AAD． 1 又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)， EC＝(－1，0，－1)，AE＝(－1，0，1)，ED＝(0，1，0)， EC·AE＝0，EC·ED＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E， ∴ EC⊥面CAD． ……10分 1 cos＜EC，BC＞＝＝，即得EC和BC的夹角为60°． 所以二面角A－AD－C为60°． ………12分 1 1 （21）解：由f（x）为二次函数知a0 1 1 1 1 x   2 ,x   2 令f（x）＝0解得其两根为 1 a a2 2 a a2x 0,x 0 由此可知 1 2 a0 A{x|xx}{x|xx } （i）当 时， 1 2 1 1 6  2 3 a AB的充要条件是x 3，即a a2 解得 7 2 a0 A{x|x xx } （ii）当 时， 1 2 1 1  2 1 AB的充要条件是x 1，即a a2 解得a2 2 6 综上，使 成立的a的取值范围为(,2)( ,) AB 7 22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0． 设A(x，y)，B(x，y)．由AF＝λFB， 1 1 2 2 即得 (－x，1－y)＝λ(x，y－1)， 1 2 2 将①式两边平方并把y＝x2，y＝x2代入得 y＝λ2y ③ 1 1 2 2 1 2 解②、③式得y＝λ，y＝，且有xx＝－λx2＝－4λy＝－4， 1 2 1 2 2 2 抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x． 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y＝x(x－x)＋y，y＝x(x－x)＋y， 1 1 1 2 2 2 即y＝xx－x2，y＝xx－x2． 1 1 2 2 解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分 所以FM·AB＝(，－2)·(x－x，y－y)＝(x2－x2)－2(x2－x2)＝0 2 1 2 1 2 1 2 1 所以FM·AB为定值，其值为0． ……7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． |FM|＝＝ ＝ ＝＝＋． 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以 |AB|＝|AF|＋|BF|＝y＋y＋2＝λ＋＋2＝(＋)2． 1 2 于是 S＝|AB||FM|＝(＋)3， 由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．