2006年北京高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_北京

2006 年北京高考文科数学真题及答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）设集合 ， ，则 等于 A{x|2x13} B{x|3x2} A B ( )  A．{x|3x1} B．{x|1x2} C．{x|x3} D．{x|x1} 2．（5分）函数y1cosx的图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称  C．关于原点对称 D．关于直线x 对称 2 3．（5分）若 a 与 b  c 都是非零向量，则“ a b  a c ”是“ a(b  c) ”的 ( )   A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和 为奇数的共有( ) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 5．（5分）已知 (3a1)x4a,x�1是 上的减函数，那么 的取值范围是 f(x) (,) a ( log x,x1 a ) 1 1 1 1 A．(0,1) B．(0, ) C．[ , ) D．[ ,1) 3 7 3 7 6．（5分）如果1，a，b，c，9成等比数列，那么( ) A．b3，ac9 B．b3，ac9 C．b3，ac9 D．b3，ac9 7．（5分）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC 与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC 与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB AC，DBDC ，则ADBC D．若AB AC，DBDC ，则ADBC 8．（5分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A， ， 的机动车辆数如图所示，图中 ， ， 分别表示该时段单位时间通过路段 B C x x x 1 2 3的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出 AB,BC,CA 的车辆数相等），则( ) A． B． C． D． x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于 ． 2 10．（5分）在(x )7的展开式中，x3的系数是 ．（用数字作答） x 11．（5分）已知函数 的反函数的图象经过点 ，那么 的值等于 f(x)ax 4a3 (1,2) a ． 12．（5分）已知向量 a(cos,sin) ， b  (cos,sin) ，且 ab  ，那么 ab  与 ab  的夹角的大小是 ． 13．（5 分）在 ABC 中， A， B， C所对的边长分别为 a， b， c．若 sinA:sinB:sinC 5:7:8，则a:b:c ，B的大小是 ． x y�4 14．（5分）已知点 的坐标满足条件 ，点 为坐标原点，那么 的最小 P(x,y) y�x O |PO|  x�1 值等于 ，最大值 等于 ． 三、解答题（共6小题，满分80分） 1sin2x 15．（12分）已知函数 f(x) cosx （Ⅰ）求 f(x)的定义域；4 （Ⅱ）设是第四象限的角，且tan ，求 f()的值． 3 16．（13分）已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的 f(x)ax3 bx2 cx x y f(x) 0 图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： （Ⅰ） 的值； x 0 （Ⅱ）a，b，c的值． 17．（14分）如图， 是正四棱柱． ABCDABCD 1 1 1 1 （Ⅰ）求证： 平面 ； BD ACC A 1 1 （Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的大小． C BDC 60 BC AC 1 1 18．（13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及 格相互之间没有影响． （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由） x2 y2 19．（14分）已知椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在此椭圆 a2 b2 1 2 4 14 上，且PF FF ，|PF | ，|PF | ． 1 1 2 1 3 2 3 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 过圆 的圆心 且交椭圆于 ， 两点，且 ， 关于 l x2  y2 4x2y0 M A B A B 点M 对称，求直线l的方程． 20．（14分）设等差数列 的首项 及公差 都为整数，前 项和为 ． {a } a d n S n 1 n （Ⅰ）若 ， ，求数列 的通项公式； a 0 S 98 {a } 11 14 n （Ⅱ）若 ， ， ，求所有可能的数列 的通项公式． a�6 a 0 S �77 {a } 1 11 14 n 2006年北京高考文科数学真题参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1．（5分）设集合 ， ，则 等于 A{x|2x13} B{x|3x2} A B ( )  A．{x|3x1} B．{x|1x2} C．{x|x3} D．{x|x1} 【解答】解： A{x|2x13}{x|x1}，B{x|3x2}， A B{x|3x1}  故选：A． 2．（5分）函数y1cosx的图象( ) A．关于x轴对称 B．关于y轴对称  C．关于原点对称 D．关于直线x 对称 2 【解答】解：余弦函数ycosx是偶函数 函数y1cos是偶函数，故关于y轴对称， 故选：B．3．（5分）若 a 与 b  c 都是非零向量，则“ a b  a c ”是“ a(b  c) ”的 ( )   A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：a  b  a  c a b  a c0   a (b  c)0  a(b  c) ， 由于本过程可逆， 故选：C． 4．（5分）在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和 为奇数的共有( ) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题， 各位数字之和为奇数的有两类： ①两个偶数一个奇数：有 个； C1A3 18 3 3 ②三个都是奇数：有 个． A3 6 3 根据分类计数原理知共有18624个． 故选：B． 5．（5分）已知 (3a1)x4a,x�1是 上的减函数，那么 的取值范围是 f(x) (,) a ( log x,x1 a ) 1 1 1 1 A．(0,1) B．(0, ) C．[ , ) D．[ ,1) 3 7 3 7 【解答】解：依题意，有0a1且3a10， 1 解得0a ， 3 又当x1时，(3a1)x4a7a1， 当 时， ， x1 log x0 a1 因为 f(x)在R上单调递减，所以7a1�0解得a� 7 1 1 综上： �a 7 3 故选：C． 6．（5分）如果1，a，b，c，9成等比数列，那么( ) A．b3，ac9 B．b3，ac9 C．b3，ac9 D．b3，ac9 【解答】解：由等比数列的性质可得ac(1)(9)9， bb9且b与奇数项的符号相同， b3， 故选：B． 7．（5分）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A．若AC 与BD共面，则AD与BC共面 B．若AC 与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线 C．若AB AC，DBDC ，则ADBC D．若AB AC，DBDC ，则ADBC 【解答】解：A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC 与BD共面与条 件矛盾 C不正确，如图所示： D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明． 故选：C． 8．（5分）如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 A， ， 的机动车辆数如图所示，图中 ， ， 分别表示该时段单位时间通过路段 B C x x x 1 2 3 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出 AB,BC,CA 的车辆数相等），则( )A． B． C． D． x x x x x x x x x x x x 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 2 1 【解答】解：依题意，有 ， x 50x 55x 5 1 3 3 ， x x 1 3 同理， x 30x 20x 10 2 1 1 ， x x 1 2 同理， x 30x 35x 5 3 2 2 x x 3 2 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9．（5分）若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共线，则a的值等于 4 ． 【解答】解： ， ， AB(a2,2) AC (2,2) 依题意，向量 与 共线，   AB AC 故有2(a2)40， 得a4 故答案为4 2 10．（5分）在(x )7的展开式中，x3的系数是 8 4 ．（用数字作答） x 2 【解答】解：T Crx7r( )r (2)rCrx72r， r1 7 x 7令72r 3， 解得r 2， 故所求的系数为 (2)2C2 84 7 故答案为84 11．（5分）已知函数 的反函数的图象经过点 ，那么 的值等于 f(x)ax 4a3 (1,2) a 2 ． 【解答】解：依题意，点 在函数 的反函数的图象上， (1,2) f(x)ax 4a3 则点 在函数 的图象上 (2,1) f(x)ax 4a3 将 ， ，代入 中，解得 x2 y1 yax 4a3 a2 故答案为：2 12．（5分）已知向量 a(cos,sin) ， b  (cos,sin) ，且 ab  ，那么 ab  与 ab   的夹角的大小是 ． 2 【解答】解： ab  (coscos,sinsin) ， ab  (coscos,sinsin) ， (ab  ) (ab  )(coscos)(coscos)(sinsin)(sinsin)  cos2 cos2 sin2 sin2 110 设ab  与ab  的夹角为， 则cos0，  故 ， 2  故答案为： ． 2 13．（5 分）在 ABC 中， A， B， C所对的边长分别为 a， b， c．若 sinA:sinB:sinC 5:7:8，则a:b:c 5:7:8 ，B的大小是 ． 【解答】解：由正弦定理得sinA:sinB:sinC 5:7:8a:b:c5:7:8 设a5k，b7k，c8k， a2 c2 b2 25k2 64k2 49k2 1 由余弦定理cosB   2ac 2 5k 8k 2    B ． 3  故答案为：5:7:8， 3 x y�4 14．（5分）已知点 的坐标满足条件 ，点 为坐标原点，那么 的最小 P(x,y) y�x O |PO|  x�1 值等于 ，最大值 2 等于 ． 【解答】解：画出可行域，如图所示：易得 ， ， A(2,2) OA2 2B(1,3) ； ， OB 10 C(1,1) OC  2 故 的最大值为 ， |OP| 10 最小值为 ． 2 故填： ． 2 10 三、解答题（共6小题，满分80分）1sin2x 15．（12分）已知函数 f(x) cosx （Ⅰ）求 f(x)的定义域； 4 （Ⅱ）设是第四象限的角，且tan ，求 f()的值． 3  【解答】解：（Ⅰ）由cosx0得xk (kZ)， 2  故 f(x)的定义域为{|x|xk ，kZ}． 2 4 （Ⅱ）因为tan ，且是第四象限的角， 3 4 3 所以sin ，cos ， 5 5 4 3 12( ) 故 1sin2 12sincos 5 5 49 ． f()    cos cos 3 15 5 16．（13分）已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数 的 f(x)ax3 bx2 cx x y f(x) 0 图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： （Ⅰ） 的值； x 0 （Ⅱ）a，b，c的值． 【解答】解：（Ⅰ）由图象可知，在(,1)上 f(x)0，在(1,2)上 f(x)0． 在(2,)上 f(x)0． 故 f(x)在(,1)，(2,)上递增，在(1,2)上递减． 因此 在 处取得极大值，所以 ． f(x) x1 x 1 0（Ⅱ） ， f(x)3ax2 2bxc 由 f（1）0， f（2）0， f （1）5， 3a2bc0 得 12a4bc0  abc5 解得a2，b9，c12． 17．（14分）如图， 是正四棱柱． ABCDABCD 1 1 1 1 （Ⅰ）求证： 平面 ； BD ACC A 1 1 （Ⅱ）若二面角 的大小为 ，求异面直线 与 所成角的大小． C BDC 60 BC AC 1 1 【解答】解：法一： （Ⅰ） 是正四棱柱， ABCDABCD  1 1 1 1 平面 ， CC  ABCD 1 BDCC 1 ABCD是正方形BD AC  又 ， 平面 ，且 ，  AC CC 1  ACC 1 A 1 AC  CC 1 C 平面 ． BD ACC A 1 1 （Ⅱ）设 与 相交于 ，连接 ． BD AC O CO 1 平面 CC  ADCD  1BD AC， ， BDCO 1 是二面角 的平面角， COC C BDC 1 1 ．连接 ． COC 60 AB 1 1 ， AC //AC  1 1 是 与 所成的角． ACB BC AC 1 1 1 设BC a，则 2 10 CO2 a,CC CO tan60 ABBC  a AC  2a． 2 1   1 1 2  1 1 在△ 中，由余弦定理得 AC2 BC2 AB2 5 ， ABC cosACB 1 1 1 1  1 1 1 1 2AC BC 5 1 1 1 5 ACBarccos 1 1 5 5 异面直线BC 与AC 所成角的大小为arccos ． 1 5 法二： （Ⅰ）建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 设 ， ，则有 ，0， ， ，0， ， ， ， ， ， ， ， ADa DD b D(0 0) A(a 0) B(a a 0) C(0 a 0) 1 ， ， ， C (0 a b) 1    ，0， ，     ， BD(a,a,0),AC (a,a,0),CC (0 b) BD AC 0,BD CC 0 1   1 ， ， BD AC BDCC 1 又 ， 平面 ，且 ，  AC CC 1  ACC 1 A 1 AC  CC 1 C 平面 ． BD ACC A 1 1（Ⅱ）设 与 相交于 ，连接 ， BD AC O CO 1 a a  a a 则点O坐标为( , ,0),OC ( , ,b)， 2 2 1 2 2   ， ，又 ，  BD  OC 1 0 BDC 1 O  BDCO 是二面角 的平面角， ， COC CBDC COC 60 1 1 1 CC b  tanC 1 OC  OC 1  2  3 ，b 6 a． a 2 2   ，0， ，  AC (a,a,0),BC (a b) 1   cos  A  C  ,  B  C   AC  BC 1  5 ， 1 |  A  C  ||  B  C  | 5  1 5 异面直线BC 与AC 所成角的大小为arccos ． 1 5 18．（13分）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 a，b，c，且三门课程考试是否及 格相互之间没有影响． （Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率； （Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小．（说明理由） 【解答】解：设三门考试课程考试通过的事件分别为A，B，C，相应的概率为a，b， c （1）考试三门课程，至少有两门及格的事件可表示为 ABC ABC ABC ABC，设其概 率为 ，则 P P ab(1c)a(1b)c(1a)bcabcabacbc2abc 1 1 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为 ， P 2 1 1 1 则P  ab ac bc 2 3 3 3 1 1 1 （2）P P (abacbc2abc)( ab ac bc) 1 2 3 3 3 2 2 2  ab ac bc2abc 3 3 3 2  (abacbc3abc) 3 2  [ab(1c)ac(1b)bc(1a)]0 3 即用方案一的概率大于用方案二的概率． P P 1 2 x2 y2 19．（14分）已知椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P在此椭圆 a2 b2 1 2 4 14 上，且PF FF ，|PF | ，|PF | ． 1 1 2 1 3 2 3 （1）求椭圆的方程； （2）若直线 过圆 的圆心 且交椭圆于 ， 两点，且 ， 关于 l x2  y2 4x2y0 M A B A B 点M 对称，求直线l的方程． 【解答】解：（Ⅰ）因为点 在椭圆 上，所以 ， ． P C 2a|PF ||PF |6 a3 1 2在 △ 中， ， Rt PFF |FF | |PF |2 |PF |2 2 5 1 2 1 2 2 1 故椭圆的半焦距 ， c 5 从而b2 a2 c2 4， x2 y2 所以椭圆C的方程为  1． 9 4 （Ⅱ）解法一： 设 ， 的坐标分别为 ， 、 ， ． A B (x y ) (x y ) 1 1 2 2 已知圆的方程为 ， (x2)2 (y1)2 5 所以圆心M 的坐标为(2,1)． 从而可设直线l的方程为 yk(x2)1， 代入椭圆C的方程得 ． (49k2)x2 (36k2 18k)x36k2 36k270 因为A，B关于点M 对称． x x 18k2 9k 所以 1 2  2． 2 49k2 8 解得k  ， 9 8 所以直线l的方程为y (x2)1， 9 即8x9y250． （经检验，所求直线方程符合题意） （Ⅱ）解法二： 已知圆的方程为 ， (x2)2 (y1)2 5 所以圆心M 的坐标为(2,1)． 设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ． A B (x y ) (x y ) 1 1 2 2 x2 y2 x 2 y 2 由题意x  x 且 1  1 1，① 2  2 1，② 1 2 9 4 9 4(x x )(x x ) (y  y )(y  y ) 由①②得 1 2 1 2  1 2 1 2 0．③ 9 4 因为A、B关于点M 对称， 所以 ， ， x x 4 y  y 2 1 2 1 2 y  y 8 代入③得 1 2  ， x x 9 1 2 8 即直线l的斜率为 ， 9 8 所以直线l的方程为y1 (x2)， 9 即8x9y250． （经检验，所求直线方程符合题意．) 20．（14分）设等差数列 的首项 及公差 都为整数，前 项和为 ． {a } a d n S n 1 n （Ⅰ）若 ， ，求数列 的通项公式； a 0 S 98 {a } 11 14 n （Ⅱ）若 ， ， ，求所有可能的数列 的通项公式． a�6 a 0 S �77 {a } 1 11 14 n 【解答】解：（Ⅰ）由 得 ， S 98 2a 13d 14 14 1 又 ， a a 10d 0 11 1 解得 ， ．  d 2 a 20 1 的通项公式是 ， {a } a 222n n n S �77 14 （Ⅱ）由 a 0 11  a�6 1 2a 13d�11 1 得 a 10d0 1  a�6 12a 13d�11 1 即 2a 20d0 1  2a� 12 1 由①②得7d 11． 11 即d  ． 7 由①③得13d� 1 1 即d�  13 11 1 于是 d�  7 13 又dZ ，故 d 1④ 将④代入①②得 ． 10a�12 1 又 ，故 或 ． a Z a 11 a 12 1 1 1 所有可能的数列 的通项公式是  {a } n 和 ， a 12n a 13n n n