2006年广东高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_广东

2006 年广东高考文科数学真题及答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的
王新奎新疆屯敞
1、函数 3x2 的定义域是
f(x) lg(3x1)
1x
1 1 1 1 1
A.( ,) B. ( ,1) C. ( , ) D. (, )
3 3 3 3 3
2、若复数z满足方程z2 20，则z3 
A. B. C. D.
2 2 2 2 2 2i 2 2i
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
1
A.yx3 ,xR B. ysinx ,xR C. yx ,xR D. y( )x ,xR
2
A
4、如图1所示， 是 的边 上的中点，则向量
D ABC AB CD
D
 1  1
A.BC BA B. BC BA
2 2 B C
图
 1  1 1
C. BC BA D. BC BA
2 2
5、给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行，
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
y
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
1
4 y  f (x)
其中真命题的个数是
2
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
6、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其 x
1O 3
公差为
图2
A.5 B.4 C. 3 D. 27、函数 的反函数 的图像与 轴交于点 （如图2所示），则方程
y f(x) y f1(x) y P(0,2)
f(x)0在[1,4]上的根是x
A.4 B.3 C. 2 D.1
8、已知双曲线 ，则双曲线右支上的点 到右焦点的距离与点 到右准线的距
3x2  y2 9 P P
离之比等于
2 2
A. 2 B. C. 2 D. 4 y
3
y 2x  4
x0
 x y  s
9、在约束条件
y0
下，当 时，目标函数
 3x5
yxs

 y2x4
O x
z3x2y的最大值的变化范围是
图3
A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]
10、对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定：(a,b)(c,d)，
当且仅当ac,bd ；运算“”为：
(a,b)(c,d)(acbd,bcad)；运算“”为：(a,b)(c,d)(ac,bd)，设 p,qR，
若(1,2)(p,q)(5,0)，则(1,2)(p,q)
A.(4,0) B. (2,0) C. (0,2) D. (0,4)
第二部分 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
4 1
11、lim(  )________.
x2 4x2 2x
12、棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.
2
13、在(x )11的展开式中，x5的系数为________.
x
14、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆
“正三棱锥”形的展品，其中第 1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一

层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第n堆第n层就放一个乒乓球，以 f(n)表
…
图4示第n堆的乒乓球总数，则 f(3)_____； f(n)_____（答案用n表示）.
三解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15、(本题14分)已知函数 f(x)sinxsin(x ),xR.
2
(I)求 f(x)的最小正周期；
(II)求 f(x)的的最大值和最小值；
3
(III)若 f() ，求sin2的值.
4
16、(本题12分)某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：
X 0 6 7 8 9 10

P 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.
(I)求该运动员两次都命中7环的概率
(II)求的分布列
(III) 求的数学期望E.
17、(本题14分)如图5所示， AF 、DE分别世 O
D 1 E
、 的直径， 与两圆所在的平面均垂 直
 O  O 1 AD
AD8.BC是 O的 直 径 ， AB AC 6, C

OE//AD. A F
O
(I)求二面角BADF 的大小； B
图5
(II)求直线BD与EF 所成的角.
18、(本题14分)设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面
f(x)x3 3x2 x、x xoy
1 2
上点 的坐标分别为 、 ，该平面上动点 满足 ,点
A、B （x,f(x )）（x ,f(x )） P  P  A  •  P  B  4 Q
1 1 2 2是点P关于直线y2(x4)的对称点.求
(I)求点A、B的坐标；
(II)求动点Q的轨迹方程.
19、(本题14分)已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列
q(0q1) a 
n
 a2
各项的和为
81
.
n
5
(I)求数列 的首项 和公比 ；
a  a q
n 1
(II)对给定的 ，设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求
k(k 1,2,3,  ,n) T(k) a k 2a k 1 T(2)
的前10项之和；
(III)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，使得
b
i
T(k) i S
n
b
1
b
2


b
n
S
n
m(m1)
S
lim n 存在且不等于零.
nnm
（注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷等比数列前n项和的极限）
20、(本题12分)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数(x)组成的集合：①对任意的
，都有 ；②存在常数 ，使得对任意的 ，都有
x[1,2] (2x)(1,2) L(0L1) x ,x [1,2]
1 2
.
|(2x)(2x )|L|x x |
1 2 1 2
(I)设 ，证明：
(2x) 31x,x[2,4] (x)A
(II)设 ，如果存在 ，使得 ，那么这样的 是唯一的；
(x)A x (1,2) x (2x ) x
0 0 0 0
(III) 设 ，任取 ，令 ， ，证明：给定正整数 ，
(x)A x (1,2) x (2x ) n1,2, k
1 n1 n 
Lk1
对任意的正整数 p，成立不等式|x x | |x x |
kp k 1L 2 1
2006年广东高考文科数学真题参考答案第一部分 选择题（50分）
3x2
1、函数 的定义域是
f(x)  lg(3x1)
1x
1 1 1 1 1
A.( ,) B. ( ,1) C. ( , ) D. (, )
3 3 3 3 3
1x 0 1
1、解：由 ，故选B.
    x 1
3x10 3
2、若复数 满足方程 ，则
z z2 2 0 z3 
A. B. C. D.
2 2 2 2 2 2 i 2 2 i
2、由 ，故选D.
z2 2  0 z   2i  z3  2 2i
3、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
y  x3,xR y sinx,xR y  x,xR
1 x
y ( ) ,xR
2
3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其
定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
4、如图1所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量
CD 
1 1
A. BC  BA B. BC  BA
2 2
1 1
C. BC  BA D. BC  BA
2 2
1
4、CD CBBD  BC  BA，故选A.
2
5、给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线
和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面;
③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直.
其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
5、①②④正确，故选B.
6、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是
A.5 B.4 C. 3 D.2
5a 20d 15
6、  1  d 3，故选C.
5a 25d 30

1
7、函数 的反函数 的图象与y轴交于点 (如图2所示)，
y  f(x) y  f 1(x) P(0,2)
则方程 的根是
f(x) 0 x 
A. 4 B. 3 C. 2 D.1
7、 的根是 2，故选C
f(x) 0 x 
8、已知双曲线 ,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距
3x2  y2 9
离之比等于
A. B.2 3 C. 2 D.4
2
3
c 2 3
8、依题意可知 ， ，故选C.
a  3,c  a2 b2  39  2 3 e    2
a 3
x 0

y 0
9、在约束条件  下，当3 s 5时，
x y  s

 y2x  4
目标函数 的最大值的变化范围是
z 3x2y
A. B. C. D.
[6,15] [7,15] [6,8] [7,8]
x y  s x  4s
9、由    交点为 A(0,2),B(4s,2s4),C(0,s),C(0,4) ，
y2x  4 y  2s4（1） 当3 s  4时可行域是四边形OABC，此时，7 z 8
（2） 当 时可行域是△OA 此时，
4 s 5 C z 8
max
故选D.
10、对于任意的两个实数对（a,b）和(c,d),规定（a,b）＝(c,d)当且仅当a＝c,b＝d;运
算 “ ” 为 ： ， 运 算 “ ” 为 ：
 (a,b)(c,d) (acbd,bcad) 
，设 ，若
(a,b)(c,d)  (ac,bd) p,qR
则
(1,2)(p,q) (5,0) (1,2)(p,q) 
A. B. C. D.
(4,0) (2,0) (0,2) (0,4)
p2q 5 p 1
10、由 得 ,
(1,2)(p,q) (5,0)   
2pq 0 q  2
所以 ,故选B.
(1,2)(p,q) (1,2)(1,2) (2,0)
第二部分 非选择题（100分）
二、填空题
11、 4 1
lim(  ) 
x2 4 x2 2 x
11、 4 1 1 1
lim(  )  lim 
x2 4 x2 2 x x22 x 4
12、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为
12、 3 3
d 3 3  R   S  4R2  27
2
11
13、在 2 的展开式中， 的系数为
x  x5
 x
2
13、T C11rxr( )11r (2)11rC11rx2r11  2r 115 r 8
r1 11 11
x所以 的系数为
x5 (2)11rC11r  (2)3C3  1320
11 11
14、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准
“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第 2、3、4、…堆最底层
（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的
小球自然垒放在下一层之上，第 n堆第n层就放一个乒乓球，以
表示第 n 堆的乒乓球总数，则 ；
f(n) f(3)  f(n) 
（答案用n表示） .
n(n1)(n2)
14、 f(3) 10， f(n) 
6
三、解答题
15、（本小题满分14分）

已知函数 f(x) sinxsin(x ),xR
2
（Ⅰ）求 的最小正周期；
f(x)
（Ⅱ）求 的最大值和最小值；
f(x)
3
（Ⅲ）若 f()  ，求sin2的值.
4
 
15解： f(x) sinxsin(x ) sinxcosx  2sin(x )
2 4
2
（Ⅰ） f(x)的最小正周期为T   2;
1
（Ⅱ） 的最大值为 和最小值 ；
f(x) 2  2
3 3 7
（ Ⅲ ） 因 为 f()  ， 即 sincos ① 2sincos  , 即
4 4 16
7
sin2 
16
16、（本小题满分12分）
某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X 0-6 7 8 9 10
Y 0 0.2 0.3 0.3 0.2
现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为 .

(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率；
(Ⅱ)求 分布列；

(Ⅲ) 求 的数学希望.

16解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为 ；
P(7) 0.20.2 0.04
(Ⅱ) 的可能取值为7、8、9、10

P(7) 0.04 P(8)  20.20.30.32  0.21
P(9)  20.20.320.30.30.32  0.39
P(10)  20.20.220.30.220.30.20.22  0.36
分布列为

 7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
(Ⅲ) 的数学希望为 .
 E 70.0480.2190.39100.36 9.07
17、（本小题满分14分）
如图5所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O 的直径.AD与两圆所在的平面
1
均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.
17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.即二面角B—AD—F的大小为450；
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则
O（0，0，0），A（0， ，0），B（ ，0，0）,D（0， ，8），E（0，0，
3 2 3 2 3 2
8），F（0， ，0）
3 2
所以，
BD  (3 2,3 2,8),FE  (0,3 2,8)
BDFE 01864 82
cos BD,EF   
| BD|| FE| 100 82 10
设 异 面 直 线 BD 与 EF 所 成 角 为 ， 则
82
cos|cos BD,EF |
10
直线BD与EF所成的角为 82
arccos
10
18、（本小题满分14分）
设函数 f(x)  x3 3x2 分别在x 1 、 x 2 处取得极小值、极大值.xoy平面上点A、B
的坐标分别为 、 ,该平面上动点P满足 ,点Q是点P关
(x 1 , f(x 1 )) (x 2 , f(x 2 )) PA PB  4
于直线 的对称点.求(Ⅰ)点A、B的坐标 ；
y  2(x4)
(Ⅱ)动点Q的轨迹方程
18解: (Ⅰ)令 解得
f (x)  (x3 3x2) 3x2 3 0 x 1或x  1
当 时, , 当 时, ,当 时,
x  1 f (x)0 1 x 1 f (x) 0 x 1 f (x)0所 以 , 函 数 在 处 取 得 极 小 值 , 在 取 得 极 大 值 , 故 ,
x  1 x 1 x  1,x 1
1 2
f(1)  0, f(1)  4
所以, 点A、B的坐标为 .
A(1,0),B(1,4)
(Ⅱ ) 设 ， ，
p(m,n) Q(x,y)
PA PB   1m,n    1m,4n   m2 1n2 4n  4
1 yn 1
k   ， 所 以   ， 又 PQ 的 中 点 在 y  2(x4)上 ， 所 以
PQ 2 xm 2
ym xn 
 2 4
2  2 
消去m,n得
x8
2


y2
2
9
19、（本小题满分14分）
已知公比为 的无穷等比数列 各项的和为9，无穷等比数列 各项的
q(0 q 1) {a } {a2 }
n n
81
和为 .
5
(Ⅰ)求数列 的首项 和公比 ；
{a } a q
n 1
(Ⅱ)对给定的 ,设 是首项为 ，公差为 的等差数列.求数列
k(k 1,2,3,,n) T(k) a 2a 1
k k
的前10项之和；
T(k)
(Ⅲ)设 为数列 的第 项， ，求 ，并求正整数 ，
b T(i) i S b b b S m(m 1)
i n 1 2 n n
使得
S 存在且不等于零.
lim n
n m(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前n项和的极限)
 a
1 9
 a 3
1q 1
 
19解: (Ⅰ)依题意可知,   2
a2 81 q 
 1 
  3
 1q2 5
n1
(Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 ,
2
, 所 以 数 列 的 的 首 项 为 , 公 差
a 3  T(2) t  a  2
n 1 2
3
,
d  2a 13
2
1
S 102 1093155,即数列T(2)的前10项之和为155.
10
2
i1
(Ⅲ) b = a   i1  2a 1 = 2i1  a   i1 = 32i1  2    i1，
i i i i
3
S 45 18n27  2   n  nn1 ， lim S n =lim 45  18n27  2   n  n  n1 
n 3 2 nnm n nm nm 3 2nm
当m=2时， S =－1 ，当m>2时， S =0，所以m=2
lim n lim n
nnm 2 nnm
20、（本小题满分12分）
A是由定义在 上且满足如下条件的函数 组成的集合：①对任意 ，都
[2,4] (x) x[1,2]
有 ； ②存在常数 ，使得对任意的 ，都有
(2x)(1,2) L(0 L 1) x ,x [1,2]
1 2
|(2x )(2x )| L| x  x |
1 2 1 2
（Ⅰ）设 ，证明：
(x)  31 x,x[2,4] (x)A
(Ⅱ)设 ,如果存在 ,使得 ,那么这样的 是唯一的;
(x)A x (1,2) x (2x ) x
0 0 0 0(Ⅲ)设 ,任取 ,令 证明:给定正整数k,对任意
(x)A x (1,2) x (2x ),n 1,2,,
l n1 n
的正整数p,成立不等式
Lk1
| x x | | x x |
kl k 2 1
1L
解：对任意 , , , ,
x[1,2] (2x)  3 12x,x[1,2] 3 3 (2x)  3 5 1 3 3  3 5  2
所以
(2x)(1,2)
对 任 意 的 ，
x ,x [1,2]
1 2
2
|(2x )(2x )|| x x | ，
1 2 1 2 3  12x 2 3  12x  1 x  3  1 x 2
1 1 2 2
3 3  12x 2 3  12x  1x  3  1x ， 所 以 0<
1 1 2 2
2
3  12x 2 3  12x  1x  3  1x 2
1 1 2 2
2
2
 , 令 = L ， 0 L 1 ，
3 3  12x 2 3  12x  1x  3  1x 2
1 1 2 2
|(2x )(2x )| L| x  x |
1 2 1 2
所以
(x)A
反证法:设存在两个 使得 , 则
x ,x (1,2),x  x x (2x ) x (2x)
0 0 0 0 0 0 0 0
由 |(2x ) (2x /) | L | x  x / | ，得 | x  x / | L| x  x / | ，所以 L 1
0 0 0 0 0 0 0 0
矛盾，故结论成立。
x  x  (2x )(2x )  Lx  x ，所以 x  x  Ln1 x  x
3 2 2 1 2 1 n1 n 2 1     
Lk1
|x x | x x  x x  x x  |x x |
kp k kp kp1 kp1 kp2  k1 k 1L 2 1
 x x  x x  x x  Lkp2 x  x Lkp3 x  x +…
kp kp1 kp1 kp2  k1 k 2 1 2 1
LK1
Lk1 x  x  x x
2 1 1L 2 1