2006年江西高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_江西

2006 年江西高考文科数学真题及答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合 ，  1 ，则 等于 P{x|x(x1)�0} Qx 0 P  Q ( )  x1  A． B．{x|x�1} C．{x|x1} D．{x|x�1或x0}  2．（5分）函数y4sin(2x )1的最小正周期为( ) 3  A． B． C．2 D．4 2 3．（5 分）在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则 {a } a a2 a 0(n�2) n n1 n n1 S 4n( ) 2n1 A．2 B．0 C．1 D．2 4．（5分）下列四个条件中， p是q的必要不充分条件的是( ) A． ， p:ab q:a2 b2 B． ， p:ab q:2a 2b C． 为双曲线， p:ax2 by2 c q:ab0 c b D． p:ax2 bxc0，q:  a0 x2 x 5．（5分）若 f(x)是定义在R上的可导函数，且满足(x1)f(x)�0，则必有( ) A． f(0) f （2）2f （1） B． f(0) f （2）2f （1） C． f(0) f （2）�2f （1） D． f(0) f （2）�2f （1） 1 6．（5分）若不等式x2 ax1�0对一切x(0, )成立，则a的最小值为( ) 2 5 A．0 B．2 C． D．3 2 2 7．（5分）在( x  )n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于( ) xA．3 B．6 C．9 D．12 8．（5分）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个， 从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A．C1C2C3C4 4 8 12 16 C10 40 B．C2C1C3C4 4 8 12 16 C10 40 C．C2C3C1C4 4 8 12 16 C10 40 D．C1C3C4C2 4 8 12 16 C10 40 9．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的 腰，以下4个命题中，假命题是( ) A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 10．（5分）已知等差数列 的前 项和为 ，若  ，且 、 、 {a } n S OBaOAa OC A B C n n 1 200 三点共线（该直线不过原点 ，则 O) S ( ) 200 A．100 B．101 C．200 D．201 x2 y2 11．（5分）P是双曲线  1的右支上一点，M 、 N分别是圆(x5)2  y2 4和 9 16 上的点，则 的最大值为 (x5)2  y2 1 |PM ||PN| ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 12．（5分）某地一天内的气温 （单位： 与时刻 （单位：时）之间的关系如图所 Q(t) C) t示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差（即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差）． C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是( ) A． B． C．D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）已知向量 a(1,sin) ， b  (1,cos) ，则 |ab  | 的最大值为 ． 14．（4分）设 的反函数为 ，若 ，则 f(x)log (x6) f1(x) [f1(m)6][f1(n)6]27 3 f(mn) ． 15．（4分）如图，已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自 点出 ABCABC A 1 1 1 发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 ． A 1 x2 y2 16．（4分）已知F ，F 为双曲线  1(a0,b0且ab)的两个焦点，P为双曲线 1 2 a2 b2 右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题( ) 、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； A PFF xa 1 2、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； B PFF xb 1 2 、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； C PFF OP 1 2 、△ 的内切圆必通过点 ． D PFF (a,0) 1 2 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）． 三、解答题（共6小题，满分74分） 2 17．（12分）已知函数 f(x)x3 ax2 bxc在x 与x1时都取得极值． 3 （1）求a、b的值与函数 f(x)的单调区间； （2）若对 ， ，不等式 恒成立，求 的取值范围． x[1 2] f(x)c2 c 18．（12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子 中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球 获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 19．（12 分）在锐角 ABC 中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 2 2 sinA ， 3 BC A （1）求tan2 sin2 的值； 2 2 （2）若 ， ，求 的值． a2 S  2 b ABC 20．（12分）如图，已知三棱锥OABC 的侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA1， OBOC 2，E是OC 的中点． （1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角EABC的大小．x2 y2 21．（12分）如图，椭圆Q:  1(ab0)的右焦点为F(c,0)，过点F 的一动直线 a2 b2 m绕点F 转动， 并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H 的方程；  （2）若在Q的方程中，令a2 1cossin，b2 sin(0� )． 2 设轨迹H 的最高点和最低点分别为M 和N．当为何值时，MNF为一个正三角形？ 2a a 22．（14分）已知各项均为正数的数列{a }，满足：a 3，且 n1 n a a ，nN*． n 1 2a a n n1 n n1 （1）求数列 的通项公式； {a } n 1 1 1 （2）设S a2 a2 a2，T   a ，求S T ，并确定最小正整数n， n 1 2 n n a2 a2 a2 n n 1 2 n 使 为整数． S T n n 2006年江西高考文科数学真题参考答案 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合 ，  1 ，则 等于 P{x|x(x1)�0} Qx 0 P  Q ( )  x1 A． B．{x|x�1} C．{x|x1} D．{x|x�1或x0} 【解答】解： 或 ， ，所以 P{x|x�1 x�0} Q{x|x1} P Q{x|x1}  故选：C．  2．（5分）函数y4sin(2x )1的最小正周期为( ) 3  A． B． C．2 D．4 2  【解答】解：  y4sin(2x )1 3 2 T  ， 2 故选：B． 3．（5 分）在各项均不为零的等差数列 中，若 ，则 {a } a a2 a 0(n�2) n n1 n n1 S 4n( ) 2n1 A．2 B．0 C．1 D．2 【解答】解：设公差为 ，则 ， ， d a a d a a d n1 n n1 n 由 可得 ， a a2 a 0(n�2) 2a a2 0 n1 n n1 n n 解得 （零解舍去）， a 2 n 故 ， S 4n2(2n1)4n2 2n1 故选：A． 4．（5分）下列四个条件中， p是q的必要不充分条件的是( ) A． ， p:ab q:a2 b2 B． ， p:ab q:2a 2b C． 为双曲线， p:ax2 by2 c q:ab0 c b D． p:ax2 bxc0，q:  a0 x2 x【解答】解： A． p不是q的充分条件，也不是必要条件； B． p是q的充要条件； C． p是q的充分条件，不是必要条件； D．正确 故选：D． 5．（5分）若 f(x)是定义在R上的可导函数，且满足(x1)f(x)�0，则必有( ) A． f(0) f （2）2f （1） B． f(0) f （2）2f （1） C． f(0) f （2）�2f （1） D． f(0) f （2）�2f （1） 【解答】解： (x1)f(x)�0 x1时， f(x)�0；x1时， f(x)�0 f(x)在(1,)为增函数；在(,1)上为减函数 f （2）�f （1） f(0)�f （1） f(0) f （2）�2f （1） 故选：D． 1 6．（5分）若不等式x2 ax1�0对一切x(0, )成立，则a的最小值为( ) 2 5 A．0 B．2 C． D．3 2 a 【解答】解：设 f(x)x2 ax1，则对称轴为x 2 a 1 1 若 � ，即a� 1时，则 f(x)在[0， ]上是减函数， 2 2 2 1 5 应有 f( )厔0 a� 1 2 2 a 1 若 �0，即a�0时，则 f(x)在[0， ]上是增函数， 2 2 应有 f(0)10恒成立， 故a�0 a 1 若0剟 ，即1剟a 0， 2 2 a a2 a2 a2 则应有 f( )  11 �0恒成立， 2 4 2 4故1剟a 0 5 综上，有 �a． 2 故选：C． 2 7．（5分）在( x  )n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于( ) x A．3 B．6 C．9 D．12 2 n3r 【解答】解：T Cr( x)nr ( )r 2rCrx 2 ，nN*，rN* r1 n x n 由n3r0 ，解得 ，  n6 2rCr 60 n 故选：B． 8．（5分）袋中有40个小球，其中红色球16个、蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个， 从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为( ) A．C1C2C3C4 4 8 12 16 C10 40 B．C2C1C3C4 4 8 12 16 C10 40 C．C2C3C1C4 4 8 12 16 C10 40 D．C1C3C4C2 4 8 12 16 C10 40 【解答】解：这个样本要恰好是按分层抽样方法得到的概率 依题意各层次数量之比为4:3:2:1， 即红球抽4个，蓝球抽3个，白球抽2个，黄球抽一个， 根据古典概型公式得到结果为C1C2C3C4 ； 4 8 12 16 C10 40 故选：A． 9．（5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( ) A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【解答】解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等， 所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等， 故A，C正确， 且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等， 故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立． 故选：B． 10．（5分）已知等差数列 的前 项和为 ，若  ，且 、 、 {a } n S OBaOAa OC A B C n n 1 200 三点共线（该直线不过原点 ，则 O) S ( ) 200 A．100 B．101 C．200 D．201 【解答】解： A，B，C三点共线  a a 1 1 200 200(a a ) 又 s  1 200 200 2 s 100 200 故选：A． x2 y2 11．（5分）P是双曲线  1的右支上一点，M 、 N分别是圆(x5)2  y2 4和 9 16 上的点，则 的最大值为 (x5)2  y2 1 |PM ||PN| ( ) A．6 B．7 C．8 D．9 x2 y2 【解答】解：双曲线  1中，如图： 9 16 a3，b4，c5，  ， ， F(5,0) F (5,0) 1 2， |PF ||PF |2a6  1 2 ， ， |MP|� |PF ||MF | |PN|� |PF ||NF | 1 1 2 2 ， |PN|�|PF ||NF | 2 2 所以， |PM ||PN|� |PF ||MF ||PF ||NF | 1 1 2 2 612 9． 故选：D． 12．（5分）某地一天内的气温 （单位： 与时刻 （单位：时）之间的关系如图所 Q(t) C) t 示，令C(t)表示时间段[0，t]内的温差（即时间段[0，t]内最高温度与最低温度的差）． C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是( )A． B． C． D． 【解答】解：根据气温 （单位： 与时刻 （单位：时）之间的关系如图， Q(t) C) t t 0时，C(t)2，在[0，4]上，C(t)不断增大； 在[4，8]上，C(t)是个定值， 在[8，12]上，C(t)不断增大； 在[12，20]上，C(t)是个定值， 在[20，24]上，C(t)不断增大．故选：D． 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分） 13．（4分）已知向量 a(1,sin) ， b  (1,cos) ，则 |ab  | 的最大值为 2 ． 【解答】解：  a(1,sin) ， b  (1,cos) |ab  ||sincos| 2|sin(  )| 4 R    2sin( )[ 2, 2] 4 |ab  |� 2 ， 故答案为： ． 2 14．（4分）设 的反函数为 ，若 ，则 f(x)log (x6) f1(x) [f1(m)6][f1(n)6]27 3 f(mn) 2 ． 【解答】解： f1(x)3x 6  故 ， [f1(m)6][f1(x)6]3m 3n 3mn 27   mn3， ． f(mn)log (36)2 3 故答案为 2． 15．（4分）如图，已知正三棱柱 的底面边长为1，高为8，一质点自 点出 ABCABC A 1 1 1 发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为 1 0 ． A 1【解答】解：将正三棱柱 沿侧棱 展开，在拼接一次， ABCABC CC 1 1 1 1 其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论． 故答案为：10 x2 y2 16．（4分）已知F ，F 为双曲线  1(a0,b0且ab)的两个焦点，P为双曲线 1 2 a2 b2 右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．下面四个命题( ) 、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； A PFF xa 1 2 、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； B PFF xb 1 2 、△ 的内切圆的圆心必在直线 上； C PFF OP 1 2 、△ 的内切圆必通过点 ． D PFF (a,0) 1 2 其中真命题的代号是 A，D （写出所有真命题的代号）．【解答】解：设△ 的内切圆分别与 、 切于点 、 ，与 切于点 ， PFF PF PF A B FF M 1 2 1 2 1 2 则 ， ， ， |PA||PB| |FA||FM | |F B||FM | 1 1 2 2 又点P在双曲线右支上， 所以 ，故 ，而 ， |PF ||PF |2a |FM ||FM |2a |FM ||FM |2c 1 2 1 2 1 2 设M 点坐标为(x,0)， 则由 可得 |FM ||FM |2a (xc)(cx)2a 1 2 解得xa，显然内切圆的圆心与点M 的连线垂直于x轴， 故A、D正确． 三、解答题（共6小题，满分74分） 2 17．（12分）已知函数 f(x)x3 ax2 bxc在x 与x1时都取得极值． 3 （1）求a、b的值与函数 f(x)的单调区间； （2）若对 ， ，不等式 恒成立，求 的取值范围． x[1 2] f(x)c2 c 【解答】解；（1） ， f(x)x3 ax2 bxc f(x)3x2 2axb  2 12 4  1 f( )  ab0 a 由 3 9 3 解得， 2  f(1)32ab0  b2 ，函数 的单调区间如下表： f(x)3x2 x2(3x2)(x1) f(x) x 2 2 2 1 (1,) (, )  ( ，1) 3 3 3 f(x)  0  0  f(x)  极大值  极小值  2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(, )和(1,)，递减区间是( ，1)． 3 3 1 （2） f(x)x3  x2 2xc,x[1,2]， 2 2 22 当x 时， f(x) c为极大值，而 f （2）2c，所以 f （2）2c为最大值． 3 27要使 对 ， 恒成立，须且只需 （2） ． f(x)c2 x[1 2] c2  f 2c 解得c1或c2． 18．（12分）某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子 中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球获得二得奖；摸出两个红球 获得一等奖．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次．求 （1）甲、乙两人都没有中奖的概率； （2）甲、两人中至少有一人获二等奖的概率． 9 9 729 【解答】解：（1）P  ( )2  1 10 10 1000 1 9 1 1 9 18 1 18 131 （2）法一：P  ( )2  ( )2      2 10 10 10 10 10 102 10 102 500 1 1 9 1 1 9 131 法二：P  2   2   2 10 10 10 10 10 10 500 9 1 1 9 9 131 法三：P 1 (    ) 2 10 10 10 10 10 500 19．（12 分）在锐角 ABC 中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 2 2 sinA ， 3 BC A （1）求tan2 sin2 的值； 2 2 （2）若 ， ，求 的值． a2 S  2 b ABC 2 2 【解答】解：（1）因为锐角ABC 中，ABC ，sinA ， 3 1 所以cosA ， 3 BC sin2 则 tan2 BC sin2 A  2 sin2 A 2 2 BC 2 cos2 2 1cos(BC) 1 1cosA 1 7   (1cosA)   1cos(BC) 2 1cosA 3 3 1 1 2 2 （2）因为S  2,又S  bcsinA bc ，则bc3． ABC ABC 2 2 31 3 将a2，cosA ，c 代入余弦定理：a2 b2 c2 2bccosA中得b4 6b2 90 3 b 解得 b 3 20．（12分）如图，已知三棱锥OABC 的侧棱OA，OB，OC 两两垂直，且OA1， OBOC 2，E是OC 的中点． （1）求O点到面ABC的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角EABC的大小． 【解答】解：（1）取BC的中点D，连AD、OD 因为OBOC，则ODBC、ADBC， BC 面OAD． 过O点作OH  AD于H ，则OH 面ABC，OH 的长就 是所求的距离．又 ， BC 2 2 OD OC2 CD2 ，又 ，  2 OAOB OAOC OA面OBC，则OAOD ，在直角三角形 中， AD OA2 OD2  3 OAD 有 OAOD 2 6 OH     AD 3 3 （2）取OA的中点M ，连EM 、BM ， 则EM //AC，DBEM 是异面直线BE 与AC 5 所成的角，易求得EM  ，BE 5， 2 17 2 BM  ．由余弦定理可求得cosDBEM  ， 2 52 BEM arccos 5 （3）连CH 并延长交AB于F ，连OF 、EF ． 由OC 面OAB，得OC  AB，又OH 面ABC，所以CF  AB，EF  AB， 则DEFC就是所求的二面角的平面角． 作EGCF 于G ，则EG 1 OH  6 ，在RtOAB中，OF  OA  OB  2 2 6 AB 5 在 中， 4 3 RtOEF EF  OE2 OF2  1  5 5 6 EG 6 30 sinEFG   EF 3 18 5 30 30  EFGarcsin ． 18 18 x2 y2 21．（12分）如图，椭圆Q:  1(ab0)的右焦点为F(c,0)，过点F 的一动直线 a2 b2 m绕点F 转动， 并且交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点． （1）求点P的轨迹H 的方程；  （2）若在Q的方程中，令a2 1cossin，b2 sin(0� )． 2 设轨迹H 的最高点和最低点分别为M 和N．当为何值时，MNF为一个正三角形？x2 y2 【解答】解：（1）设椭圆Q:  1(ab0) a2 b2 上的点 ， 、 ， ，又设 点坐标为 ， A(x y ) B(x y ) P P(x,y) 1 1 2 2 则 b2x2 a2y2 a2b2(1)  1 1 b2x2 a2y2 a2b2(2) 2 2 当 不垂直 轴时， ， 1 AB x x1x 1 2 由（1）（2）得 b2(x x )2xa2(y  y )2y0 1 2 1 2 y  y b2x y  1 2   x x a2y xc 1 2 （3） b2x2 a2y2 b2cx0 2当AB垂直于x轴时，点P即为点F ，满足方程（3） 故所求点 的轨迹方程为： P b2x2 a2y2 b2cx0 c (x )2 （2）因为轨迹 H 的方程可化为： 2  y2 ( c )2 a2 b2 2a c bc c bc M( ， )，N( ， )，F(c,0)， 2 2a 2 2a 使MNF为一个正三角形时， bc 则  2a b ，即 ． tan   a2 3b2 6 c a 2 由于a2 1cossin，b2 sin(0� )， 2 则1cosqsinq3sin， 4 得arctan 3 2a a 22．（14分）已知各项均为正数的数列{a }，满足：a 3，且 n1 n a a ，nN*． n 1 2a a n n1 n n1 （1）求数列 的通项公式； {a } n 1 1 1 （2）设S a2 a2 a2，T   a ，求S T ，并确定最小正整数n， n 1 2 n n a2 a2 a2 n n 1 2 n 使 为整数． S T n n 1 1 【解答】解：（1）条件可化为a  2(a  )， n1 a n a n1 n 1 1 8 因此{a  }为一个等比数列，其公比为2，首项为a   ， n a 1 a 3 n 1 所以 1 8 2n2 ① a   2n1  (nN*) n a 3 3 n 1 因a 0，由①式解出a  (2n1 22n2 9)② n n 3 1 1 1 （2）由①式有S T (a  )2 (a  )2 (a  )2 2n n n 1 a 2 a n a 1 2 n 23 24 25 2n2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 2n 3 3 3 3 64  (4n 1)2n(nN*) 27 64 为使S T  (4n 1)2n(nN*)为整数， n n 27 4n 1 当且仅当 为整数． 27 当 ，2时，显然 不为整数， n1 S T n n 当 时， n33 4n 1(13)n 1痧13 232 33(痧3 3n3 n) n n n n3C1 32C2 n 3n1 只需 n n  为整数，  27 9 2 因为3n1与3互质， 所以为9的整数倍． n 3n1 当n9时， 13为整数，  9 2 故n的最小值为9．