2006年湖南高考文科数学真题及答案_全国卷+地方卷_2.数学_1.数学高考真题试卷_1990-2007年各地高考历年真题_湖南

2006 年湖南高考文科数学真题及答案 本试题卷他选择题和非选择题（包括填空题和解答题）两部分. 选择题部分1至2页. 非选择题部分3至5页. 时量120分钟. 满分150分. 参考公式: 如果事件 、 互斥，那么 A B P(AB) P(A)P(B) 如果事件 、 相互独立，那么 A B P(AB)  P(A)P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的 概率是 P (k)CkPk(1P)nk n n 4 球的体积公式 V  R3,球的表面积公式S 4R2，其中R表示球的半径 3 一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1．函数 的定义域是 y  log x 2 A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞) 2．已知向量 a   (2,t),b   (1,2), 若 t t 时， a ∥ b  ； t t 时， a  b ，则 1 2 A． B. t  4,t  1 t  4,t 1 1 2 1 2 C. D. t  4,t  1 t  4,t 1 1 2 1 2 3. 若 的展开式中 的系数是80，则实数a的值是 (ax1)5 x3 A．-2 B. C. D. 2 2 2 3 4 4．过半径为12的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是60°则该截 面的面积是 A．π B. 2π C. 3π D. 2 3 5．“a=1”是“函数 在区间［1，＋∞）上为增函数”的 f(x) xa A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6．在数字1,2，3与符号＋，－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排 列个数是 A．6 B. 12 C. 18 D. 247．圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 x2 y2 4x4y100 xy140 A．36 B. 18 C. D. 6 2 5 2 8．设点P是函数 f(x)sinx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距  离的最小值 ，则 f(x)的最小正周期是 4   A．2π B. π C. D. 2 4 y2 9．过双曲线M：x2  1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线 h2 分别相交于点B、C，且 ，则双曲线M的离心率是 AB  BC 5 10 A． B. C. 5 D. 10 2 3 10. 如图1：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且 B ，则实数对（x,y）可以是 OPxOAyOB M 1 3 2 2 A．( , ) B. ( , ) A O 4 4 3 3 图1 1 3 1 7 C. ( , ) D. ( , ) 4 4 5 5 二．填空题：本大题共5小题，每小题４分，共20分，把答案填在答题上部 对应题 号的横上. 11. 若数列 a  满足：a 1,a 2a .n1，2，3….则a a  a  . n 1 n1 n 1 2  n 12. 某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班 的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建 模兴趣班的平均成绩是 分. x1 13. 已知 则 的最小值是 . xy10 x2 y2  2xy20 14. 过三棱柱 ABC－ABC的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABBA平行的直线共有 1 1 1 1 1 条.   15. 若 f(x)asin(x )3sin(x )是偶函数，则a= . 4 4 三．解答题：本大题共６小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）  sin( 2) 已知 2 求θ的值. 3sin cos1,(0,), cos()17.（本小题满分１２分） 某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检). 若安检不合格，则必 须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的 且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算(结果精确 到0.01)： (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率； (Ⅱ)某煤矿不被关闭的概率； (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. P 18.（本小题满分１4分） 如图2，已知两个正四棱锥P-ABCD与 D C Q-ABCD的高都是2，AB=4. B (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； A (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. Q 19.（本小题满分14分） 图2 3 已知函数 f(x)ax3 3x2 1 . a （Ｉ）讨论函数 f(x)的单调性； （Ⅱ）若曲线y f(x)上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点， 求实数a的取值范围. 20.（本小题满分14分） 在m（m≥2）个不同数的排列PP…P中，若1≤i＜j≤m时P＞P（即前面某数大于后 1 2 n i j 面某数），则称P与P构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. i j 记排列(n1)n(n1)  321的逆序数为a n ，如排列21的逆序数a 1 1，排列321的逆序数 a 6. 3 （Ⅰ）求a、a，并写出a的表达式； 4 5 n a a （Ⅱ）令b  n  n1 ，证明2nb b  b 2n3，n=1,2,…. n a a 1 2  n n1 n 21.（本小题满分14分） x2 y2 已知椭圆C：  1，抛物线C：(ym)2 2px(p0)，且C、C的公共弦AB过 1 2 1 2 4 3 椭圆C的右焦点. 1 （Ⅰ）当ABx轴时，求p、m的值，并判断抛物线C的焦点是否在直线AB上； 2 4 （Ⅱ）若 p 且抛物线C的焦点在直线AB上，求m的值及直线AB的方程. 2 3 2006年湖南高考文科数学真题参考答案 1－10：DCDAABCBCDC11.2n 1 12. 85 13. 5 14. 6 15. -3 . cos2 16. 解 由已知条件得 3sin cos1. cos 即 . 3sin2sin20 3 解得sin 或sin0. 2 3  2 由0＜θ＜π知sin ，从而 或 . 2 3 3 17. 解 （Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是 1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 5 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P C2(10.5)20.53  0.31. 1 5 16 （Ⅱ）解法一 某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格， 所以该煤矿被关闭的概率是P (10.5)(10.8)0.1，从而煤矿不被关闭的概率是0.90. 2 解法二 某煤矿不被关闭包括两种情况：（i）该煤矿第一次安检合格；（ii）该煤矿 第一次安检不合格，但整改后合格. 所以该煤矿不被关闭的概率是P 0.5(10.5)0.80.90. 2 (Ⅲ)由题设（Ⅱ）可知，每家煤矿不被关闭的概率是0.9，且每家煤矿是否被关闭是 相互独立的，所以到少关闭一家煤矿的概率是 . P 10.95 0.41 3 18. 解法一 （Ⅰ）连结AC、BD，设AC BDO.  由P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD. 从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）由题设知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分别以直线CA、DB、QP为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系（如图），由题条件，相关各点的坐标分别是P（0，0，2），A（ ，0， 2 2 0），Q（0，0，－2），B（0， ，0）. z 2 2 P 所以 AQ(2 2,0,2) D C O PB(0,2 2,2) A B x y AQPB 4 1 于是cos AQ,PB   . AQ PB 2 32 3 3 Q 1 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos . 3 (Ⅲ)由（Ⅱ），点D的坐标是（0，－ ，0）， ， 2 2 AD(2 2,2 2,0) ，设 是平面QAD的一个法向量，由 PQ(0,0,4) n(x,y,z) nAQ0 得 2xz0 .   nAD0 xy0 取x=1，得 . n(1,1, 2) PQn 所以点P到平面QAD的距离 . d  2 2 n 解法二 （Ⅰ）取AD的中点，连结PM，QM. 因为P－ABCD与Q－ABCD都是正四棱锥， 所以AD⊥PM，AD⊥QM. 从而AD⊥平面PQM. 又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD. 同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结AC、BD设AC BDO，由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，  从而P、A、Q、C四点共面. P 因为OA＝OC，OP＝OQ，所以PAQC为平行四边形， AQ∥PC. 从而∠BPC（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的 D C 角. M O B A 因为 ， PBPC  OC2 OP2  (2 2)2 22 2 3 所以 PB2＋PC2 BC2 121216 1 . cosBPC＝   Q 2PBPC 22 32 3 3 1 从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos . 3 1 1 (Ⅲ)连结OM，则OM  AB2 PQ. 2 2 所以∠PMQ＝90°，即PM⊥MQ. 由（Ⅰ）知AD⊥PM，所以PM⊥平面QAD. 从而PM的长是点P到平面QAD的距离. 在直角△PMO中， . PM  PO2 OM2  22 22 2 2 即点P到平面QAD的距离是 . 2 2 2 19. 解 （Ⅰ）由题设知a0, f(x)3ax2 6x3ax(x ). a 2 令 f(x)0得x 0,x  . 1 2 a 当（i）a>0时， 2 若x(,0)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(, )上是增函数； a 2 2 若x(0, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0, )上是减函数； a a2 2 若x( ,)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间( ,)上是增函数； a a （i i）当a＜0时， 2 2 若x(, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(, )上是减函数； a a 2 2 若x(0, )，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0, )上是减函数； a a 2 2 若x( ,0)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间( ,0)上是增函数； a a 若x(0,)，则 f(x)0，所以 f(x)在区间(0,)上是减函数. （Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线 y f(x)上的两点A、B的纵坐标为函数的极值， 2 3 2 4 3 且函数y f(x)在x0,x 处分别是取得极值 f(0)1 ， f( )  1. a a a a2 a 2 因为线段AB与x轴有公共点，所以 f(0) f( )0. a 4 3 3 (a1)(a3)(a4) 即(  1)(1 )0.所以 0. a2 a a a2 故(a1)(a3)(a4)0,且a0. 解得 －1≤a＜0或3≤a≤4. 即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4]. 20. 解 （Ⅰ）由已知得a 10,a 15， 4 5 n(n1) a n(n1) 21 . n  2 （Ⅱ）因为 a a n n2 n n2 ， b  n  n1   2  2,n1,2, n a a n2 n n2 n  n1 n 所以b b  b 2n. 1 2  n n n2 2 2 又因为b   2  ,n1,2, ， n n2 n n n2  1 1 1 1 1 1 所以b b  b 2n2[(  )(  ) (  )] 1 2  n  1 3 2 4 n n2 2 2 =2n3  2n3. n1 n2 综上，2nb b  b 2n3,n1,2, . 1 2  n  21. 解 （Ⅰ）当AB⊥x轴时，点A、B关于x轴对称，所以m＝0，直线AB的方程为 3 3 x=1，从而点A的坐标为（1， ）或（1，－ ）. 2 2 9 9 因为点A在抛物线上，所以 2p，即 p . 4 8 9 此时C的焦点坐标为（ ，0），该焦点不在直线AB上. 2 16 （Ⅱ）解法一 当C的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB 2 的方程为yk(x1).yk(x1) 由 消去y得 . ……① x2 y2 (34k2)x2 8k2x4k2 120   1  4 3 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 8k2 则x,x是方程①的两根，x＋x＝ . 1 2 1 2 34k2 因为AB既是过C 1 的右焦点的弦，又是过C 2 的焦点的弦， y 1 1 1 所以 AB (2 x )(2 x )4 (x x )，且 A 1 2 1 2 2 2 2 AB (x  p )(x  p )x x  px x  4 . O x 1 2 1 2 1 2 2 2 3 4 1 B 从而x x  4 (x x ). 1 2 1 2 3 2 16 8k2 16 所以x x  ，即  . 1 2 9 34k2 9 解得 . k2 6,即k  6 2 1 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上，所以m k. 2 3 3 6 6 即m 或m . 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3 解法二 当C的焦点在AB时，由（Ⅰ）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程 2 为yk(x1).  8 (ym)2  x 8 由 3 消去y得(kxkm)2  x. ……①  yk(x1) 3 2 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上， 2 3 2 1 2k 8 所以mk( 1)，即m k.代入①有(kx )2  x. 3 3 3 3 4 4k2 即k2x2  (k2 2)x 0. ……② 3 9 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 4(k2 2) 则x,x是方程②的两根，x＋x＝ . 1 2 1 2 3k2 yk(x1) 由 消去y得 . ……③ x2 y2 (34k2)x2 8k2x4k2 120   1  4 38k2 由于x,x也是方程③的两根，所以x＋x＝ . 1 2 1 2 34k2 4(k2 2) 8k2 从而 ＝ . 解得k2 6,即k  6 . 3k2 34k2 2 1 因为C的焦点F( ,m)在直线yk(x1)上，所以m k. 2 3 3 6 6 即m 或m . 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3 解法三 设A、B的坐标分别为（x,y）, （x,y）, 1 1 2 2 2 因为AB既过C的右焦点F(1,0)，又是过C的焦点F( ,m)， 1 2 3 p p 1 1 所以 AB (x  )(x  )x x  p(2 x )(2 x ). 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 16 即x x  (4p) . ……① 1 2 3 9 y y m0 k  2 1  3m 由（Ⅰ）知x 1  x 2 ，于是直线AB的斜率 x 2 x 1 2 1 ， ……② 3 且直线AB的方程是y3m(x1), 2m 所以y y 3m(x x 2) . ……③ 1 2 1 2 3 又因为  3x 1 2 4y 1 2 12 ，所以 3(x 1 x 2 )4(y 1 y 2 ) y 2 y 1 0 . ……④ 3x 2 2 4y 2 2 12 x 2 x 1 2 6 6 将①、②、③代入④得m2  ，即m 或m . 3 3 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1)； 3 6 当m 时，直线AB的方程为y 6(x1). 3