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2006 年福建高考理科数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
(1)设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
(2)在等差数列｛a ｝中，已知a=2,a +a =13，则a +a +a 等于
n 1 2 3 4 5 6
A.40 B.42 C.43 D.45
3
(3)已知∈( ,)，sin= ,则tan( )等于
2 5 4
1 1
A. B.7 C.－ D.－7
7 7
(4)已知全集U=R,且A=｛x︱︱x－1︱>2｝,B=｛x︱x －6x+8<0｝，则( A)∩等于
2
U
A.[－1,4] B. (2,3) C. (2,3) D.(－1,4)
32
(5)已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于
3
A.2 B.2 3 C.4 2 D.4 3
2
3 3 3
(6)在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个
球，至少摸到2个黑球的概率等于
2 3 3 9
A. B. C. D.
7 8 7 28
(7)对于平面和共面的直线m、n，下列命题中真命题是
A.若m⊥，m⊥n，则n∥ B.若m∥，n∥，则m∥n
C.若m，n∥，则m∥n D.若m、n与所成的角相等，则n∥m
x
(8)函数y=㏒ (x﹥1)的反函数是
2 x1
A.y= 2x (x>0) B.y= 2x (x<0)
2x 1 2x 1
C.y=2x 1 (x>0) D. .y=2x 1 (x<0)
2x 2x
(9)已知函数f(x)=2sinx(>0)在区间[ , ]上的最小值是－2，则的最小
3 4
值等于2 3
A. B. C.2 D.3
3 2
(10)已知双曲线 x2 y2 (a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直
1
a2 b2
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
(11)已知︱ ︱=1，︱ ︱= , =0,点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，
OA OB 3 OAOB
m
设OC =mOA+nOB(m、n∈R)，则 等于
n
A.1 B.3 C. 3 D.
3
3 3
(12)对于直角坐标平面内的任意两点A(x, y)、B(x ，y )，定义它们之间的一种
1 1 2 2
“距离”：‖AB‖=︱x－x ︱+︱y－y ︱.
1 2 1 2
给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖2+‖CB‖2=‖AB‖2；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.
其中真命题的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置.
1
(13)(x2－ )2展开式中x2的系数是 (用数字作答)
x
(14)已知直线x－y－1=0与抛物线y=ax2相切，则a=
(15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数 0，两个面上标以数1,一个面上
标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
（16）如图，连结△ABC的各边中点得到一个新的△ABC，又连结的△ABC各边中点
1 1 1 1 1 1
得到，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△ABC，△ABC，…，这一
1 1 1 2 2 2
系列三角形趋向于一个点M，已知A(0,0) ,B(3,0),C(2,2)，则点M的坐标是 .
二、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=sin2x+ xcosx+2cos2x,x R.
3
（I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
（18）（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,CA=CB=CD=BD=2
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
（19）（本小题满分12分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千
1 3
米/小时）的函数解析式可以表示为：y= x2 x8(04时，f(x)在[t，t+1]上单调递减，
h(t)=f(x)=－t2+8t .
t2 6t7, t<3,
综上，h(t)=16, 3≤t≤4,
t2 8t, t>4
（II）函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数
xg(x)－f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∴xx－8x+16ln x+m,
∵′xx－8+6 2x2 8x6 2(x1)(x3)
(x0),
x x x
当x∈(0,1)时，′x，x是增函数；
当x∈(1,3)时，′x，x是减函数；当x∈(3,+∞)时，′x，x是增函数；
当x=1，或x=3时，′x；
∴x 1m－7,x 3m+6ln 3－15.
极大值 极小值
∵当x充分接近时，x，当x充分大时，x>0.
∴要使x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
(x) m70,
极大值 既7
