文档内容
2007 年湖北高考理科数学真题及答案
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条
形码粘贴在答题卡上指定位置.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效．
3．将填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上每题
对应的答题区域内．答在试题卷上无效．
4．考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数 的最小值为（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
2．将 的图象按向量 平移，则平移后所得图象的解析式为（
）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3．设 和 是两个集合，定义集合 ，如果 ，
，那么 等于（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
4．平面 外有两条直线 和 ，如果 和 在平面 内的射影分别是 和 ，给出下列
四个命题：
① ；
② ；
③ 与 相交 与 相交或重合；
④ 与 平行 与 平行或重合．
其中不正确的命题个数是（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
5．已知 和 是两个不相等的正整数，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
6．若数列 满足 （ 为正常数， ），则称 为“等方比数列”．
甲：数列 是等方比数列； 乙：数列 是等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．双曲线 的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；
抛物线 的准线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（
）
A． B． C． D．
8．已知两个等差数列 和 的前 项和分别为A 和 ，且 ，则使得
为整数的正整数 的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．连掷两次骰子得到的点数分别为 和 ，记向量 与向量 的夹角
为 ，则 的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线 （ 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的横
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）A．60条 B．66条 C．72条 D．78条
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．
11．已知函数 的反函数是 ，则 ； ．
12．复数 ，且 ，若 是实数，则有序实数对 可
以是 ．（写出一个有序实数对即可）
13．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为
．
14．某篮运动员在三分线投球的命中率是 ，他投球10次，恰好投进3个球的概率
．（用数值作答）
（毫克）
15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 （毫克）与 1
时间 （小时）成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式
为 （ 为常数），如图所示．据图中提供的信息，
回答下列问题：
O0.1
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 （毫克）与 （小时）
时间 （小时）之间的函数关系式为 ；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下时，学生方可进教室，那
么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知 的面积为 ，且满足 ，设 和 的夹角为 ．
（I）求 的取值范围；
（II）求函数 的最
分组 频数
大值与最小值．
17．（本小题满分12分）
在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗
细的一种量）共有100个数据，将数据分组如右表：
（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标
系中画出频率分布直方图； 合计
（II）估计纤度落在 中的概率及纤度小于的概率是多少？
（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间 的中点
值是 ）作为代表．据此，估计纤度的期望．
18．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥 中， 底面 ， ， 是 的中点，且
， ．
（I）求证：平面 ；
（II）当解 变化时，求直线 与平面 所成的角的取值范围．
V
C
B
D
A
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，过定点 作直线与抛物线 （ ）相交于
两点．
（I）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；
（II）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若
存在，求出 的方程；若不存在，说明理由．
y
C B
A
x
O
N
（此题不要求在答题卡上画图）
20．（本小题满分13分）
已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设
两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用 表示 ，并求 的最大值；
（II）求证： （ ）．
21．（本小题满分14分）
已知 为正整数，
（I）用数学归纳法证明：当 时， ；
（II）对于 ，已知 ，求证 ，
求证 ， ；
（III）求出满足等式 的所有正整数 ．
2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1．Ｂ 2．Ａ 3．Ｂ 4．Ｄ 5．Ｃ
6．Ｂ 7．Ａ 8．Ｄ 9．Ｃ 10．Ａ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分25分．
11． 12． （或满足 的任一组非零实数对 ）
13． 14． 15． ；0.6
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基
本知识，考查推理和运算能力．
解：（Ⅰ）设 中角 的对边分别为 ，
则由 ， ，可得 ， ．
（Ⅱ）．
， ， ．
即当 时， ；当 时， ．
17．本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统
计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）
分组 频数 频率
4 0.04
25 0.25
30 0.30
29 0.29
10 0.10
2 0.02
合计 100 1.00
频率/组距
1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54
样本数据
（Ⅱ）纤度落在 中的概率约为 ，纤度小于1.40的概
率约为 ．
（Ⅲ）总体数据的期望约为
．
18．本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理
运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．解法1：（Ⅰ） ， 是等腰三角形，又 是 的中点，
，又 底面 ． ．于是 平面 ．
又 平面 ， 平面 平面 ．
（Ⅱ） 过点 在平面 内作 于 ，则由（Ⅰ）知 平面 ．
连接 ，于是 就是直线 与平面 所成的角．
在 中， ；
设 ，在 中， ， ．
，
V
， ．
又 ， ．
H
C
B
即直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
D
A
解法2：（Ⅰ）以 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系，则 ，
于是， ， ， ．
从而 ，即 ．
同理 ，
即 ．又 ， 平面 ．
又 平面 ．
平面 平面 ．
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 的一个法向量为 ，
z
V
则由 ．
C
B y
D
A
x得
可取 ，又 ，
于是 ，
， ， ．
又 ， ．
即直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
解法3：（Ⅰ）以点 为原点，以 所在的直线分别为 轴、 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，则 ，
，于是 ， ，
．
从而 ，即 ．
同理 ，即 ．
又 ， 平面 ．
又 平面 ，
平面 平面 ．
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 ，平面 的一个法向量为 ，
则由 ，得V
可取 ，又 ，
于是 ，
C y
B
D
x
A
， ， ．
又 ， ，
即直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
解法4：以 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐
标系，则 ．
设 ．
（ Ⅰ ）
z
V
，
，
C
即 ． B y
D
， A
x
即 ．
又 ， 平面 ．
又 平面 ，
平面 平面 ．
（Ⅱ）设直线 与平面 所成的角为 ，
设 是平面 的一个非零法向量，
则 取 ，得 ．可取 ，又 ，
于是 ，
， 关于 递增．
， ．
即直线 与平面 所成角的取值范围为 ．
19．本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知
识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
解法1：（Ⅰ）依题意，点 的坐标为 ，可设 ，
直 线 的 方 程 为 ， 与 联 立 得 消 去 得
．
y
由韦达定理得 ， ．
B
C
于是 ．
A
O
x
N
，
当 时， ．
（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，
的中点为 ， 与 为直径的圆相交于点 ， 的中点为 ，
则 ， 点的坐标为 ．
y
， B
C
O
l A
O
x
N，
，
．
令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为
，
即抛物线的通径所在的直线．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得
，
又由点到直线的距离公式得 ．
从而 ，
当 时， ．
（Ⅱ）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，则以 为直径的圆的方程为
，
将直线方程 代入得 ，
则 ．
设直线 与以 为直径的圆的交点为 ，
则有 ．
令 ，得 ，此时 为定值，故满足条件的直线 存在，其方程为，
即抛物线的通径所在的直线．
20．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题
的能力．
解：（Ⅰ）设 与 在公共点 处的切线相同．
， ，由题意 ， ．
即 由 得： ，或 （舍去）．
即有 ．
令 ，则 ．于是
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
故 在 为增函数，在 为减函数，
于是 在 的最大值为 ．
（Ⅱ）设 ，
则 ．
故 在 为减函数，在 为增函数，
于是函数 在 上的最小值是 ．
故当 时，有 ，即当 时， ．
21．本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查
分析问题能力和推理能力．
解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当 时，原不等式成立；当 时，左边 ，右边 ，
因为 ，所以左边 右边，原不等式成立；
（ⅱ）假设当 时，不等式成立，即 ，则当 时，
， ，于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数 ，不等式都成立．
（Ⅱ）证：当 时，由（Ⅰ）得 ，
于是 ， ．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当 时，
，
．
即 ．即当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
故只需要讨论 的情形：
当 时， ，等式不成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， ，等式成立；
当 时， 为偶数，而 为奇数，故 ，等式不成
立；
当 时，同 的情形可分析出，等式不成立．
综上，所求的 只有 ．
解法2：（Ⅰ）证：当 或 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：
当 ，且 时， ， ． ①（ⅰ）当 时，左边 ，右边 ，因为 ，所以 ，即左边
右边，不等式①成立；
（ⅱ）假设当 时，不等式①成立，即 ，则当 时，
因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．
于是在不等式 两边同乘以 得
，
所以 ．即当 时，不等式①也成立．
综上所述，所证不等式成立．
（Ⅱ）证：当 ， 时， ， ，
而由（Ⅰ）， ，
．
（Ⅲ）解：假设存在正整数 使等式 成立，
即有 ． ②
又由（Ⅱ）可得
，与②式矛盾．
故当 时，不存在满足该等式的正整数 ．
下同解法1．
