文档内容
2007 年湖南高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.
参考公式:
如果事件 、 互斥，那么
如果事件 、 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的
概率是
球的体积公式 ,球的表面积公式 ，其中 表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．不等式 的解集是
A． B.
C. D.
2．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是
A． B.
C. D.
3. 设 ， 有实根，则 是
的
A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．在等比数列 中，若 ，则该数列的前10项和为
A． B. C. D.
5．在 的二项展开式中，若只有 的系数最大，则
A．8 B. 9 C. 10 D.11
6．如图1，在正四棱柱 中，E、F分别是 的中点，则以下结论中不成立的是
A． B.
C. D.
图1
7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图 2），
从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是
A．48米 B. 49米 C. 50米 D. 51米
8．函数 的图象和函数 的图象的交点个数是
A．1 B.2 C.3 D. 4
9．设 分别是椭圆 的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为
（ 为半焦距）的点，且 ，则椭圆的离心率是
A． B. C. D.
10. 设集合 ， 的含两个元素的子集，且满
足 ： 对 任 意 的 ， 都 有
.则 的最大值
是
A．10 B.11 C. 12 D. 13二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.
11. 圆心为 且与直线 相切的圆的方程是 .
12. 在 中，角A、B、C所对的边分别为 ，若 ，则
A= .
13. 若 .
14. 设集合 ，
（1） 的取值范围是 .
（2）若 且 的最大值为9，则 的值是 .
15.棱长为1的正方形 的8个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积
是 ；设 分别是该正方形的棱 的中点，则直线 被球O截得的线段
长为 .
三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分１２分）
已知函数 .求：
(Ⅰ)函数 的最小正周期；
（Ⅱ）函数 的单调增区间.
17.（本小题满分１２分）
某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名
下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有
60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的
选择相互之间没有影响.
(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.
18.（本小题满分１4分）如 图 3 ， 已 知 直 二 面 角 ， ， ， ， ，
，直线CA和平面 所成的角为 .
(Ⅰ)证明 ；
(Ⅱ)求二面角 的大小.
19.（本小题满分13分）
已知双曲线 的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交与A、B两点，点
C的坐标是（1，0）.
（Ｉ）证明 为常数；
（Ⅱ）若动点 （其中 为坐标原点），
求点 的轨迹方程.
20.（本小题满分13分）设 是数列 的前 项和， ，且 ， ，
。
（Ⅰ）证明数列 是常数数列；
（Ⅱ）试找出一个奇数 ，使以18为首项，7为公比的等比数列 中的所有项
都是数列 中的项，并指出 是数列 中的第几项.
21.（本小题满分13分）
已知函数 在区间 内各有一个极值点.
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）当 时，设函数 在点 处的切线为 ，若在点A处穿
过 的图象（即动点在点A附近沿曲线 运动，经过点A时，从
的一侧进入另一侧），求函数 的表达式.
参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
1.D 2.B 3.A 4.B 5.C
6.D 7.C 8.C 9.D 10.B
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．
11. 12. 13.314.（1） （2） 15. ，
三、解答题
16.解：
(Ⅰ) 函数 的最小正周期是
（Ⅱ）当 ，即 （ ）时，
函数 是增函数，
故函数 的单调增区间是 （ ）
17. (Ⅰ)解法一 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
解法二 任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是
该人参加过两项培训的概率是
所以该人参加过培训的概率是
(Ⅱ) 解法一 任选3名下岗人员，这3人中只有2人参加过培训的概率是
3人都参加过培训的概率是
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是
解法二 任选3名下岗人员，这3人中只有1人参加过培训的概率是
3人都没有参加过培训的概率是
所以3人中至少有2人参加过培训的概率是
18. (Ⅰ)证明：在平面 内过点C作CO⊥PQ于点O，连结OB，
因为 ， ，所以
又因为CA=CB，所以OA=OB，
而 ，所以 ， ，
从而BO⊥PQ，又CO⊥PQ，
所以PQ⊥平面OBC，
因为 平面OBC，故
(Ⅱ)解：解法一 由(Ⅰ)知，BO⊥PQ，又 ， ， ，所以
过点O作OH⊥AC于点H，连结BH，由三垂线定理知：BH⊥AC，
故 是二面角 的平面角。
由(Ⅰ)知， ，所以 是CA和平面 所成的角，即
不妨设AC=2，则 ，
在 中， ，所以
于是在 中，
故二面角 的大小为
解法二 由(Ⅰ)知： ， ， ，
故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为 轴、 轴、
轴建立空间直角坐标系（如图）。
因为 ，所以 是CA和平面 所成
的角，即 ，
不妨设AC=2，则 ，
在 中， ，
所以
则 相 关 各 点 的 坐 标 分 别 是 ，
， ，
所以 ，
设 是平面ABC的一个法向量，由 得：
取 ，得 。易知 是平面 的一个法向量
设二面角 的平面角为 ，由图可知，
所以
故二面角 的大小为
19. 解：由条件知 ，设 ，（Ｉ）当AB与 轴垂直时，可设点A、B的坐标分别为 、 ，
此时
当AB不与 轴垂直时，设直线AB的方程是
代入 ，有
则 ， 是上述方程的两实根，所以 ，
于是
综上所述， 为常数
（Ⅱ）解法一 设 ，则 ， ， ，
，由 得：
，即
于是AB的中点坐标为
当AB不与 轴垂直时， ，即
又因为A、B两点在双曲线上，所以 ，两式相减得
，即
将 代入上式，化简得
当AB与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程
所以点 的轨迹方程是：解法二 同解法一得 ①
当AB不与 轴垂直时，由（Ｉ）有 ②
③
由①②③得： ， ④ ⑤
当 时， ，由④、⑤得： ，将其代入⑤有
，整理得：
当 时，点M的坐标为 ，满足上述方程
当AB与 轴垂直时， ，求得 ，也满足上述方程
故点 的轨迹方程是：
20. 解：（Ⅰ）当 时，由已知得
， ①
于是 ②
由②—①得： ③
于是 ④
由④—③得： ⑤
即数列 是常数数列。
（Ⅱ）由①有 ，所以
由③有 ，所以
而⑤表明：数列 和 分别是以 、 为首项，6为公差的等差数列，
所 以 ， ，由题设知，
当 为奇数时， 为奇数，而 为偶数，所以 不是数列 中的项， 只可能是
中的项。
若 是数列 中的第 项，由 得 ，
取 得： ，此时 ，由 得 ，
，从而 是数列 中的第 项。
（注：考生取满足 ， 的任一奇数，说明 是数列 中的第
项即可）
21. 解：（Ⅰ）因为函数 在区间 内分别有一个极值
点，
所以 在区间 内分别有一个实根。
设两实根为 ， （ < ），则 ，且
于是 ， ，
且当 ， ，即 ， 时等号成立。
故 的最大值是16
（Ⅱ）解法一 由 知 在点 处的切线 的方程是
，即
因为切线 在点A处穿过 的图象
所以 在 两边附近的函数值异号，
则 不是 的极值点。
而 ，
且
若 ，则 和 都是 的极值点，所以 ，即 ，又由 得
故
解法二 同解法一得
因为切线 在点A处穿过 的图象，所以 在 两边附近的函数值异号，
于是存在 ， （ ），
当 时， ，当 时，
或当 时， ，当 时，
设 ，则
当 时， ，当 时，
或当 时， ，当 时，
由 知 是 的极值点，则 ，
所以 ，又由 得 ， 故
