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2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1. 集合 , ,若 ,则 的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
2. 复数 等于（ ）
A． B. C. D.
3. 将函数 的图象向左平移 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数
解析式是( )
A. B. C. D.
4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
2 2
2
俯视图
5.在 R 上定义
2
运算⊙: ⊙
2
,则满足 ⊙ <0的实数 的取值范( ).
正 ( 主 ) 视 侧 ( 左 ) 视
A . 图(0 ,2 ) B . (- 2,1) C图. D.(-1,2)
6. 函数 的图像 大 致为( ).
y y y
y
1 1 1
1
O 1 x O1 x O 1 x O 1 x
D
7. 定义 在
A
R 上的函数f(x)满足 f
B
( x ) =
C
，则f（3）的 值 为 ( )
A.- 1 B. -2 C.1 D. 2
B
A
第 8
P
题 图
C8.设P是△ABC所在平面内的一点， ，则（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，
则“ ”是“ ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 设斜率为2的直线 过抛物线 的焦点F,且和 轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的
面积为4,则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
11.在区间 上随机取一个数x， 的值介于0到 之间的概率为( ).
A. B. C. D.
12. 已知定义在R上的奇函数 ，满足 ,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).
A. B.
C. D.
开始
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
S=0, T = 0,n=
0
13.在等差数列 中, ,
是
T>S
则 .
否
S=S+5
输 出
14.若函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点，
T
则实数a的取值范围是 .
n = n + 2
结 束
15.执行右边的程序框图，输出的T= . T = T +n
16.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天 能 生 产 A 类产品5件和B类产品10件,乙
种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
17.(本小题满分12分)设函数f(x)=2 在 处取最小值.
(1) 求 的值;
(2) 在 ABC中, 分别是角A,B,C的对边,已知 ,求角C.
18.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA
D C
1 1
=2, E、E 分别是棱AD、AA 的中点 A 1 B 1
（Ⅰ）设F是棱AB的中点,证明：直线EE //平面FCC E ； 1 D C
E
A F B
（Ⅱ）证明:平面D AC⊥平面BB C C.
1 1 1
19. （本小题满分12分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号 , 某 月的产量如下表(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
（1） 求z的值
（2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,
求至少有1辆舒适型轿车的概率;
（3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7,
9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝
对值不超过0.5的概率.
20.（本小题满分12分）
等比数列{ }的前n项和为 ，已知对任意的 ，点 ，均在函数 且
均为常数)的图像上
（1）求r的值；（11）当b=2时，记 求数列 的前 项和
21.（本小题满分12分）
已知函数 ,其中
（1） 当 满足什么条件时, 取得极值?
（2） 已知 ,且 在区间 上单调递增,试用 表示出 的取值范围.
22. （本小题满分14分）
设 ,在平面直角坐标系中,已知向量 ,向量 , ,动点 的
轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E恒有两个交点A,B,且
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知 ,设直线 与圆C: (10)
【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、周期性等性质,运用化归的数学思想和数形结合的
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 8
思想解答问题.
13. 【解析】:设等差数列 的公差为 ,则由已知得 解得 ,所 以
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算.
14. 【解析】: 设函数 且 和函数 ,则函数f(x)=a -x-a(a>0且a 1)有两个零点,
就是函数 且 与函数 有两个交点,由图象可知当 时两函数只有一个交
点,不符合,当 时,因为函数 的图象过点(0,1),而直线 所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是
【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数
的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答.
15. 【解析】:按照程序框图依次执行为S=5,n=2,T=2;
S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;
S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30
【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以
反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量,
注意每个变量的运行结果和执行情况.
16. 【解析】:设甲种设备需要生产 天, 乙种设备需要生产 天, 该公司所需租赁费为 元,则
，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品 A类产品 B类产品 租赁费
设备 (件)(≥50) (件)(≥140) (元)
甲设备 5 10 200
乙设备 6 20 300
则满足的关系为 即: ,
作出不等式表示的平面区域,当 对应的直线过两直线 的交点(4,5)时，目标
函数 取得最低为2300元.
【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成
表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题
17. 解:
（1）因为函数f(x)在 处取最小值，所以 ,
由诱导公式知 ,因为 ,所以 .
（2）由（1）知
因为 ,且A为 ABC的内角,所以 .
又因为 所以由正弦定理,得 ,
也就是 ,
因为 ,所以 或 .
当 时, ;
当 时, .
综上所述， 或
【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的性质,并利用
正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合.
18. （Ⅰ）证明： D C
1 1
在直四棱柱ABCD-A B C D 中，取A B 的中点F ，
1 1 1 A 1 B 1
F
1
连接A D，C F ，CF ，因为AB=4, CD=2,且AB//CD，
1 1 1 1 E
1
D C
所以CD=A 1 F 1 ，A 1 F 1 CD为平行四边形，所以CF 1 //A 1 D， E
A F B
又因为E、E 分别是棱AD、AA 的中点，所以EE //A D，
1 1
所以CF
1
//EE
1
，又因为 平面FCC ， 平面FCC ，
所以直线EE //平面FCC .
D C
1 1
（Ⅱ）连接AC,在直棱柱中，CC ⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
1 A 1 B 1
所以CC
1
⊥AC,因为底面ABCD为等腰梯形，AB=4, BC=2,
E
1
D C
E
A F BF是棱AB的中点,所以CF=CB=BF，△BCF为正三角形，
,△ACF为等腰三角形，且
所以AC⊥BC, 又因为BC与CC 都在平面BB C C内且交于点C,
1 1 1
所以AC⊥平面BB C C,而 平面D AC,
1 1 1
所以平面D AC⊥平面BB C C.
1 1 1
【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握平行和垂直的
判定定理.完成线线、线面位置关系的转化.
19. 解: (1).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得, ,所以n=2000. z=2000-100-300-150-
450-600=400
(2) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以
,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S ,S ;B B ,B ,则从中任取
1 2 1, 2 3
2辆的所有基本事件为(S , B ), (S , B ) , (S , B ) (S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),(B ,B ), (B ,B ) ,
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1 2 2 3
(B ,B )共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件: (S , B ), (S , B ) , (S , B )
1 3 1 1 1 2 1 3
(S ,B ), (S ,B ), (S ,B ),( (S , S ),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 .
2 1 2 2 2 3 1 2
(3)样本的平均数为 ,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 .
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,
分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.
20. 解:因为对任意的 ,点 ，均在函数 且 均为常数)的图像上.所以
得 ,
当 时, ,
当 时, ,
当n=2时，又因为{ }为等比数列, 所以 ，即 解得
（2）由（1）知， ， ,
所以
，
两式相减,得
所以
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 求 的基本题型,并运用错位相减法
求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 项和 .
21. 解: (1)由已知得 ,令 ,得 ,
要取得极值,方程 必须有解,
所以△ ,即 , 此时方程 的根为
, ,
所以
当 时,
x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞)
1 1 1 2 2 2
＋ 0 － 0 ＋增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以 在x , x 处分别取得极大值和极小值.
1 2
当 时,
x (-∞,x ) x (x ,x ) x (x ,+∞)
2 2 2 1 1 1
－ 0 ＋ 0 －
减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
所以 在x , x 处分别取得极大值和极小值.
1 2
综上,当 满足 时, 取得极值
(2)要使 在区间 上单调递增,需使 在 上恒成立.
即 恒成立, 所以
设 , ,
令 得 或 (舍去),
当 时, ,当 时 , 单调增函数;
当 时 , 单调减函数,
所以当 时, 取得最大,最大值为 .
所以
当 时, ,此时 在区间 恒成立,所以 在区间 上单调递增,
当 时 最大,最大值为 ,所以综上,当 时, ;当 时,
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单
调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的
思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
22. 解:（1）因为 , , ,
所以 , 即 .
当m=0时,方程表示两直线,方程为 ;
当 时, 方程表示的是圆
当 且 时,方程表示的是椭圆;
当 时,方程表示的是双曲线.
(2).当 时, 轨迹 E 的方程为 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 ,解方程组
得 ,即 ,
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,
则使△= ,
即 ,即 , 且
,
要使 , 需使 ,即 ,
所以 , 即 且 , 即 恒成立.
所以又因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , 所求的圆为 .
当切线的斜率不存在时,切线为 ,与 交于点 或 也满
足 .
综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且
.
(3)当 时,轨迹E的方程为 ,设直线 的方程为 ,因为直线 与圆C:
(1
