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2016 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣3，﹣ ） B．（﹣3， ） C．（1， ） D．（ ，3）
2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（5分）已知等差数列{a }前9项的和为27，a =8，则a =（ ）
n 10 100
A．100 B．99 C．98 D．97
4．（5分）某公司的班车在 7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：
30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间
不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知方程 ﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1， ） C．（0，3） D．（0， ）
6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互
垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π
7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（ ）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alog c＜blog c D．log c＜log c
b a a b
9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的 x=0，y=1，n=1，则输出x，y的
值满足（ ）
A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x
10．（5分）以抛物线 C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交 C的准线于
D、E 两点．已知|AB|=4 ，|DE|=2 ，则 C 的焦点到准线的距离为
（ ）A．2 B．4 C．6 D．8
11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A B C D 的顶点A，α∥平面CB D ，α∩平
1 1 1 1 1 1
面ABCD=m，α∩平面ABB A =n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
1 1
A． B． C． D．
12．（5分）已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤ ），x=﹣ 为f
（x）的零点，x= 为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（ ， ）上
单调，则ω的最大值为（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设向量 =（m，1）， =（1，2），且| + |2=| |2+| |2，则m=
．
14．（5分）（2x+ ）5的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答
案）
15．（5分）设等比数列{a }满足a +a =10，a +a =5，则a a …a 的最大值为
n 1 3 2 4 1 2 n
．
16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生
产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品 B
需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的利润为
2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料 150kg，乙材
料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品 A、产品B的利润之和
的最大值为 元．
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或
演算步骤.
17．（12 分）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC
（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c= ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
18．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正
方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角 D﹣AF﹣E 与二面角 C﹣BE﹣F 都是
60°．
（Ⅰ）证明平面ABEF⊥平面EFDC；
（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．
19．（12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器
有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200
元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购
买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三
年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生
的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台
机器的同时购买的易损零件数．
（Ⅰ）求X的分布列；
（Ⅱ）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n=19与n=20之中选
其一，应选用哪个？20．（12分）设圆x2+y2+2x﹣15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴
不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E．
（Ⅰ）证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
（Ⅱ）设点E的轨迹为曲线C ，直线l交C 于M，N两点，过B且与l垂直的直
1 1
线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x ，x 是f（x）的两个零点，证明：x +x ＜2．
1 2 1 2
请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心， OA
为半径作圆．
（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；
（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系 xOy中，曲线C 的参数方程为 （t为参数，a＞
1
0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C ：
2
ρ=4cosθ．
（Ⅰ）说明C 是哪种曲线，并将C 的方程化为极坐标方程；
1 1
（Ⅱ）直线C 的极坐标方程为θ=α ，其中α 满足tanα =2，若曲线C 与C 的公
3 0 0 0 1 2
共点都在C 上，求a．
3
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．
（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；
（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．
