文档内容
2016年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x A}，则A∩B=（
）
∈
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
2．（5分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，
则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（5分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何
体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲
线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
5．（5分）（2016•天津）设x＞0，y R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
∈
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单
调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞）
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 • 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x R，若f
（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ） ∈
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ]
二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分
9．（5分）（2016•天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为______．
10．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则
f′（0）的值为______．
11．（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
______．
12．（5分）（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆
心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为______．
13．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，
BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为______．14．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）= （a＞0，且
a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则a的
取值范围是______．
三、解答题：本大题共6小题，80分
15．（13分）（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
asin2B= bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA= ，求sinC的值．
16．（13分）（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要
原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．
已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3
万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
17．（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面
ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．18．（13分）（2016•天津）已知{a }是等比数列，前n项和为S （n N*），且 ﹣ =
n n
∈
，S =63．
6
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）若对任意的n N*，b 是log a 和log a 的等差中项，求数列{（﹣1）nb }的前2n
n 2 n 2 n+1
项和． ∈
19．（14分）（2016•天津）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已
知 + = ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与
y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x R，其中a，b R．
（1）求f（x）的单调区间；
∈ ∈
（2）若f（x）存在极值点x ，且f（x ）=f（x ），其中x ≠x ，求证：x +2x =0；
0 1 0 1 0 1 0
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．2016 年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的
1．（5分）（2016•天津）已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x﹣1，x A}，则A∩B=（
）
∈
A．{1，3} B．{1，2} C．{2，3} D．{1，2，3}
【分析】根据题意，将集合B用列举法表示出来，可得B={1，3，5}，由交集的定义计算
可得答案．
【解答】解：根据题意，集合A={1，2，3}，而B={y|y=2x﹣1，x A}，
则B={1，3，5}，
∈
则A∩B={1，3}，
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，注意集合B的表示方法．
2．（5分）（2016•天津）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，
则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．
【解答】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．
∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P= + = ．
故选：A．
【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择
合适的概率公式，属于基础题．
3．（5分）（2016•天津）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何
体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）A． B． C． D．
【分析】根据主视图和俯视图作出几何体的直观图，找出所切棱锥的位置，得出答案．
【解答】解：由主视图和俯视图可知切去的棱锥为D﹣AD C，
1
棱CD 在左侧面的投影为BA ，
1 1
故选B．
【点评】本题考查了棱锥，棱柱的结构特征，三视图，考查空间想象能力，属于基础题．
4．（5分）（2016•天津）已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲
线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． ﹣y2=1 B．x2﹣ =1
C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【分析】利用双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，且双曲线的一条渐近线与
直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的焦距为2 ，
∴c= ，
∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，
∴ = ，
∴a=2b，
∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为 =1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是
关键．
5．（5分）（2016•天津）设x＞0，y R，则“x＞y”是“x＞|y|”的 （ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
∈
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】直接根据必要性和充分判断即可．
【解答】解：设x＞0，y R，当x=0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，
y R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，
∈
而“x＞|y|” “x＞y”，
∈
故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，
⇒
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于
基础题．
6．（5分）（2016•天津）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单
调递增，若实数a满足f（2|a﹣1|）＞f（﹣ ），则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞， ） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） C．（ ， ） D．（ ，+∞）
【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜ 即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵2|a﹣1|＞0，f（﹣ ）=f（ ），
∴2|a﹣1|＜ =2 ．
∴|a﹣1| ，
解得 ．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性，奇偶性的性质，属于中档题．
7．（5分）（2016•天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、
BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则 • 的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．
【分析】由题意画出图形，把 、 都用 表示，然后代入数量积公式得答案．
【解答】解：如图，∵D、E分别是边AB、BC的中点，且DE=2EF，
∴ • = =
= =
= = =
= ．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量加减法的三角形法则，是中档题．
8．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=sin2 + sinωx﹣ （ω＞0），x R，若f
（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围是（ ） ∈
A．（0， ] B．（0， ]∪[ ，1） C．（0， ] D．（0， ]∪[ ， ]
【分析】函数f（x）= ，由f（x）=0，可得 =0，解得
x= （π，2π），因此ω ∪ ∪ ∪…= ∪
∉ ∉
，即可得出．
【解答】解：函数f（x）= + sinωx﹣ = + sinωx =
，
由f（x）=0，可得 =0，
解得x= （π，2π），
∉
∴ω ∪ ∪ ∪…= ∪ ，
∉∵f（x）在区间（π，2π）内没有零点，
∴ω ∪ ．
故选∈：D．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，
属于中档题．
二、填空题本大题6小题，每题5分，共30分
9．（5分）（2016•天津）i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为 1 ．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（1+i）z=2，
得 ，
∴z的实部为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）=（2x+1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则
f′（0）的值为 3 ．
【分析】先求导，再带值计算．
【解答】解：∵f（x）=（2x+1）ex，
∴f′（x）=2ex+（2x+1）ex，
∴f′（0）=2e0+（2×0+1）e0=2+1=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．
11．（5分）（2016•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为
4 ．【分析】根据循环结构，结合循环的条件，求出最后输出S的值．
【解答】解：第一次循环：S=8，n=2；
第二次循环：S=2，n=3；
第三次循环：S=4，n=4，
结束循环，输出S=4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查程序框图，循环结构，注意循环的条件，属于基础题．
12．（5分）（2016•天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点（0， ）圆C上，且圆
心到直线2x﹣y=0的距离为 ，则圆C的方程为 （ x﹣2 ） 2 +y 2 =9 ．
【分析】由题意设出圆的方程，把点M的坐标代入圆的方程，结合圆心到直线的距离列式
求解．
【解答】解：由题意设圆的方程为（x﹣a）2+y2=r2（a＞0），
由点M（0， ）在圆上，且圆心到直线2x﹣y=0的距离为 ，
得 ，解得a=2，r=3．
∴圆C的方程为：（x﹣2）2+y2=9．
故答案为：（x﹣2）2+y2=9．
【点评】本题考查圆的标准方程，训练了点到直线的距离公式的应用，是中档题．
13．（5分）（2016•天津）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，
BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为 ．【分析】由BD=ED，可得△BDE为等腰三角形，过D作DH⊥AB于H，由相交弦定理求得
DH，在Rt△DHE中求出DE，再由相交弦定理求得CE．
【解答】解：如图，
过D作DH⊥AB于H，
∵BE=2AE=2，BD=ED，
∴BH=HE=1，则AH=2，BH=1，
∴DH2=AH•BH=2，则DH= ，
在Rt△DHE中，则 ，
由相交弦定理可得：CE•DE=AE•EB，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查相交弦定理的应用，是中档题．
14．（5分）（2016•天津）已知函数f（x）= （a＞0，且
a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，则a的
取值范围是 [ ， ） ．
【分析】由减函数可知f（x）在两段上均为减函数，且在第一段的最小值大于或等于第二
段上的最大值，作出|f（x）|和y=2﹣ 的图象，根据交点个数判断3a与2的大小关系，
列出不等式组解出．
【解答】解：∵f（x）是R上的单调递减函数，
∴y=x2+（4a﹣3）x+3a在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log （x+1）+1在（0，+∞）上单调
a
递减，
且f（x）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f（0）．∴ ，解得 ≤a≤ ．
作出y=|f（x）|和y=2﹣ 的函数草图如图所示：
∵|f（x）|=2﹣ 恰有两个不相等的实数解，
∴3a＜2，即a ．
综上， ．
故答案为[ ， ）．
【点评】本题考查了分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数函数图象判断端
点值的大小是关键，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，80分
15．（13分）（2016•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
asin2B= bsinA．
（1）求B；
（2）已知cosA= ，求sinC的值．
【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB；
（2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算．
【解答】解：（1）∵asin2B= bsinA，
∴2sinAsinBcosB= sinBsinA，
∴cosB= ，∴B= ．
（2）∵cosA= ，∴sinA= ，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB= = ．
【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．
16．（13分）（2016•天津）某化工厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要
原料，生产1扯皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如表所示：
A B C
甲 4 8 3
乙 5 5 10
现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．
已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车品乙种肥料，产生的利润为3
万元、分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．
（1）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（2）问分别生产甲、乙两种肥料，求出此最大利润．
【分析】（1）根据原料的吨数列出不等式组，作出平面区域；
（2）令利润z=2x+3y，则y=﹣ ，结合可行域找出最优解的位置，列方程组解出最
优解．
【解答】解：（1）x，y满足的条件关系式为： ．
作出平面区域如图所示：
（2）设利润为z万元，则z=2x+3y．
∴y=﹣ x+ ．
∴当直线y=﹣ x+ 经过点B时，截距 最大，即z最大．
解方程组 得B（20，24）．
∴z的最大值为2×20+3×24=112．答：当生产甲种肥料20吨，乙种肥料24吨时，利润最大，最大利润为112万元．
【点评】本题考查了简单的线性规划的应用，抽象概括能力和计算求解能力，属于中档题．
17．（13分）（2016•天津）如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面
ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE= ，∠BAD=60°，G为BC的中点．
（1）求证：FG∥平面BED；
（2）求证：平面BED⊥平面AED；
（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．
【分析】（1）利用中位线定理，和平行公理得到四边形OGEF是平行四边形，再根据线面
平行的判定定理即可证明；
（2）根据余弦定理求出BD= ，继而得到BD⊥AD，再根据面面垂直的判定定理即可证
明；
（3）先判断出直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，再根
据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．
【解答】证明：（1）BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，
∵G是BC的中点，
∴OG∥DC，且OG= DC=1，
又∵EF∥AB，AB∥DC，
∴EF∥OG，且EF=0G，
即四边形OGEF是平行四边形，
∴FG∥OE，
∵FG 平面BED，OE 平面BED，
∴FG∥平面BED；
⊄ ⊂
（2）证明：在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，
由余弦定理可得BD= ，仅而∠ADB=90°，
即BD⊥AD，
又∵平面AED⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，
∴BD⊥平面AED，
⊂
∵BD 平面BED，
∴平面BED⊥平面AED．
⊂
（Ⅲ）∵EF∥AB，
∴直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，
又平面BED∩平面AED=ED，
由（2）知AH⊥平面BED，
∴直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，
在△ADE，AD=1，DE=3，AE= ，由余弦定理得cos∠ADE= ，
∴sin∠ADE= ，
∴AH=AD• ，
在Rt△AHB中，sin∠ABH= = ，
∴直线EF与平面BED所成角的正弦值
【点评】本题考查了直线与平面的平行和垂直，平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，
考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．
18．（13分）（2016•天津）已知{a }是等比数列，前n项和为S （n N*），且 ﹣ =
n n
∈
，S =63．
6
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）若对任意的n N*，b 是log a 和log a 的等差中项，求数列{（﹣1）nb }的前2n
n 2 n 2 n+1
∈
项和．
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a ，得出通
1
项公式；
（2）利用对数的运算性质求出b ，使用分项求和法和平方差公式计算．
n
【解答】解：（1）设{a }的公比为q，则 ﹣ = ，即1﹣ = ，
n
解得q=2或q=﹣1．
若q=﹣1，则S =0，与S =63矛盾，不符合题意．∴q=2，
6 6∴S = =63，∴a =1．
6 1
∴a =2n﹣1．
n
（2）∵b 是log a 和log a 的等差中项，
n 2 n 2 n+1
∴b = （log a +log a ）= （log 2n﹣1+log 2n）=n﹣ ．
n 2 n 2 n+1 2 2
∴b ﹣b =1．
n+1 n
∴{b }是以 为首项，以1为公差的等差数列．
n
设{（﹣1）nb 2}的前n项和为T ，则
n n
T =（﹣b 2+b 2）+（﹣b 2+b 2）+…+（﹣b 2+b 2）
n 1 2 3 4 2n﹣1 2n
=b +b +b +b …+b +b
1 2 3 4 2n﹣1 2n
= =
=2n2．
【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．
19．（14分）（2016•天津）设椭圆 + =1（a＞ ）的右焦点为F，右顶点为A，已
知 + = ，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与
y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．
【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入 + = ，转化为
关于a的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关
于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求
出H的坐标，由BF⊥HF，得 ，整理得到M的
坐标与k的关系，由∠MOA=∠MAO，得到x =1，转化为关于k的等式求得k的值．
0
【解答】解：（1）由 + = ，
得 + = ，
即 = ，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．
∴椭圆方程为 ；
（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），
设B（x ，y ），M（x ，k（x ﹣2）），
1 1 0 0
∵∠MOA=∠MAO，
∴x =1，
0
再设H（0，y ），
H
联立 ，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．
△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．
由根与系数的关系得 ，
∴ ， ，
MH所在直线方程为y﹣k（x ﹣2）=﹣ （x﹣x ），
0 0
令x=0，得y =（k+ ）x ﹣2k，
H 0
∵BF⊥HF，
∴ ，
即1﹣x +y y =1﹣ [（k+ ）x ﹣2k]=0，
1 1 H 0
整理得： =1，即8k2=3．
∴k=﹣ 或k= ．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，体现了“整体运算”
思想方法和“设而不求”的解题思想方法，考查运算能力，是难题．
20．（14分）（2016•天津）设函数f（x）=x3﹣ax﹣b，x R，其中a，b R．
（1）求f（x）的单调区间；
∈ ∈
（2）若f（x）存在极值点x ，且f（x ）=f（x ），其中x ≠x ，求证：x +2x =0；
0 1 0 1 0 1 0
（3）设a＞0，函数g（x）=|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．【分析】（1）求出f（x）的导数，讨论a≤0时f′（x）≥0，f（x）在R上递增；当a＞0时，
由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）由条件判断出a＞0，且x ≠0，由f′（x ）=0求出x ，分别代入解析式化简f（x ），f
0 0 0 0
（﹣2x ），化简整理后可得证；
0
（3）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况
讨论，运用f（x）单调性和前两问的结论，求出g（x）在区间上的取值范围，利用a的范
围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立．
【解答】解：（1）若f（x）=x3﹣ax﹣b，则f′（x）=3x2﹣a，
分两种情况讨论：
①、当a≤0时，有f′（x）=3x2﹣a≥0恒成立，
此时f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），
②、当a＞0时，令f′（x）=3x2﹣a=0，解得x= 或x= ，
当x＞ 或x＜﹣ 时，f′（x）=3x2﹣a＞0，f（x）为增函数，
当﹣ ＜x＜ 时，f′（x）=3x2﹣a＜0，f（x）为减函数，
故f（x）的增区间为（﹣∞，﹣ ），（ ，+∞），减区间为（﹣ ， ）；
（2）若f（x）存在极值点x ，则必有a＞0，且x ≠0，
0 0
由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，则x 2= ，
0
进而f（x ）=x 3﹣ax ﹣b=﹣ x ﹣b，
0 0 0 0
又f（﹣2x ）=﹣8x 3+2ax ﹣b=﹣ x +2ax ﹣b=f（x ），
0 0 0 0 0 0
由题意及（Ⅰ）可得：存在唯一的实数x ，满足f（x ）=f（x ），其中x ≠x ，
1 1 0 1 0
则有x =﹣2x ，故有x +2x =0；
1 0 1 0
（Ⅲ）设g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值M，max{x，y}表示x、y两个数的最大值，
下面分三种情况讨论：
①当a≥3时，﹣ ≤﹣1＜1≤ ，
由（I）知f（x）在区间[﹣1，1]上单调递减，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（1），f（﹣1）]，
因此M=max{|f（1）|，|f（﹣1）|}=max{|1﹣a﹣b|，|﹣1+a﹣b|}
=max{|a﹣1+b|，|a﹣1﹣b|}= ，
所以M=a﹣1+|b|≥2
②当 a＜3时， ，由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）≥ =f（ ），f（1）≤ =
，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（ ），f（﹣ ）]，
因此M=max{|f（ ）|，|f（﹣ ）|}=max{| |，| |}
=max{| |，| |}= ，
③当0＜a＜ 时， ，
由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（﹣1）＜ =f（ ），f（1）＞ =
，
所以f（x）在区间[﹣1，1]上的取值范围是[f（﹣1），f（1）]，
因此M=max{|f（﹣1）|，|f（1）|}=max{|﹣1+a﹣b|，|1﹣a﹣b|}
=max{|1﹣a+b|，|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|＞ ，
综上所述，当a＞0时，g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于 ．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和最值，不等式的证明，注意运用分类讨论的
思想方法和转化思想，考查分析法在证明中的应用，以及化简整理、运算能力，属于难题．
