专题1-2一文吃透相似三角形12个模型·共14类题型（解析版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2024年中考复习资料_专项复习资料_教师版（含答案解析）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 专题 1-2 一文吃透相似三角形 12 个模型·共 14 类题型 目录 模型梳理...............................................................................4 题型一 A字模型.......................................................................14 2023·四川成都·真题..............................................................14 2022宜宾..........................................................................15 2023·山东潍坊·真题..............................................................15 2022·浙江杭州·真题..............................................................16 2023·浙江温州·真题..............................................................17 2022安徽..........................................................................19 2023·广东·真题..................................................................22 2023·山东泰安·真题..............................................................23 2023·四川眉山·真题..............................................................24 2022·江苏淮安·真题..............................................................25 题型二 “8”字型............................................................................................................................................28 2022·辽宁·真题..................................................................28 2023·四川乐山·真题..............................................................29 2023·湖北武汉·真题..............................................................29 2023·四川泸州·真题..............................................................31 2023·浙江杭州·真题..............................................................32 2023·四川眉山·统考中考真题......................................................33 2022深圳..........................................................................35 题型三 三角形内接矩形..................................................................................................................................36 2022·山东东营·真题..............................................................36 题型四 倒数型（三平行结构）......................................................................................................................40 湖南株洲·统考中考真题............................................................40 2023·四川内江·真题..............................................................41 2024届·深圳中学九年级期中........................................................41 题型五 A字型及8字型相结合......................................................................................................................42 2023·黑龙江哈尔滨·真题..........................................................42 2023·安徽·真题..................................................................44 2023·陕西·真题..................................................................44 题型六 射影定理..............................................................................................................................................46 2023·湖南郴州·真题..............................................................46 2022湘潭..........................................................................46 题型七 子母模型（公共边公共角）..............................................................................................................50 2022·湖北鄂州·真题..............................................................50 2023·四川凉山·真题..............................................................52 题型八 一线三等角模型..................................................................................................................................61 2023·黑龙江大庆·真题............................................................61 【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·山东东营·真题..............................................................61 浙江中考真题......................................................................65 2023·浙江丽水·统考中考真题....................................................67 徐州中考..........................................................................74 2023·湖北武汉·统考中考真题......................................................83 题型九 旋转相似模型（手拉手）..................................................................................................................86 2023·湖南常德·真题..............................................................86 2022烟台..........................................................................86 2021天门..........................................................................87 2022河池..........................................................................88 2023·辽宁营口·真题..............................................................91 2022鞍山..........................................................................97 题型十 作辅助线构造A字和8字型相似...................................................................................................102 2023·湖北十堰·真题.............................................................102 2023·浙江·真题.................................................................104 2023·江苏·中考真题.............................................................105 2022·湖南常德·真题.............................................................106 2022·四川绵阳·真题.............................................................107 2022襄阳.........................................................................108 2023·山东烟台·真题.............................................................113 2022·湖北武汉·统考中考真题.....................................................119 题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆）.............................................................................125 2022·新疆·统考中考真题.........................................................125 2023·浙江丽水·统考中考真题.....................................................127 重庆中考.........................................................................128 题型十二 十字架模型....................................................................................................................................130 2023·辽宁丹东·真题.............................................................130 2023·山东菏泽·中考真题.........................................................135 2021·四川达州·统考中考真题.....................................................140 题型十三 对角互补模型................................................................................................................................144 深圳中考.........................................................................144 题型十四 双高型............................................................................................................................................148 模型梳理 一、A字模型 已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC． 【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D E B C AD 结论：△ADE∽△ABC， ＝ ＝ ．（共线的边之比相等） AB 反A字型 A D 1 E 2 B C 结论： ＝ ＝ ．（共线的边之积相等） 构造A字模型、遇到线段上的比例端点可以考虑作平行线构造构造A字模型 A D E B C 、、8字模型 已知：AC与BD相交于点O，AB∥CD． A B O D C OA OB AB 结论：△OAB∽△OCD， ＝ ＝ （共线的边之比相等）． OC OD CD 构造8字模型：遇到三角形或平行四边形边上的比例端点时可以考虑作平行线构造构造8字模型 【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D O B C 三反 8字模型（两组相似，四点共圆） 性质一：如左图，∠A＝∠D AOB∽△DOC ． ⇔△ ⇔ 性质二：如右图， 、△AOD∽△BOC (由第一组相似推出第二组相似) 性质三：四点共圆 (圆周角定理) D A D D A A O O O B C B C B C 四、三角形内接矩形型 三角形的内接矩形：四个顶点都在三角形边上的矩形． 【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 若四边形DEFG为矩形，则： 特别地， (1)当四边形DEFG为正方形时，若假设其边长为a，则： (2)当EF为三角形的中位线时，矩形DEFG的面积最大，最大值为 (3) 证明：把△FGC向左平移至△ ，则 ，∴ 五、倒数模型（三平行结构） 示意图 结 A 倒数型相似 D E AB∥EF∥CD 1 1 1 + = B F C S S S △ABC △BCD △BCF 射影定 理模型（直角三角形和边上的 高） 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见 的结、有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB（均满足：(公共边)²＝共线的边之积） 【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 补、、（1）正方形、长方形中经常会出现射影定理模型（十字架模型），如图，A，B，E，G四点组成射 影定理模型． （2）在圆中也会出现射影定理模型． A D F G B E C 七、母子相似模型 （一）基本模型 A 已知：在△ABC 中，点 D 在 AB 上，∠ACD＝∠B 或∠ADC＝ ∠ACB． D B C 结论：△ACD∽△ABC， AD AC CD ＝ ＝ ，AC 2＝AD·AB．(公共边)²＝共线的边之积 AC AB BC （二）结论推导 AD AC CD 结论：△ACD∽△ABC， ＝ ＝ ，AC 2＝AD·AB． AC AB BC 证明：∵∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，∠CAD＝∠BAC， AD AC CD ∴△ACD∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，∴AC 2＝AD·AB． AC AB BC 母子相似模型也叫共边共角相似模型． （三）解题技巧 如果在三角形中有一个公共角和一条公共边，则考虑使用母子相似模型，得到公共边的平方等于两条线段 的乘积． 【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 八、一线三等角模型 （一）基本模型 已知：点P在线段AB上，∠1＝∠2＝∠3． C D 2 1 3 A P B 结论1：△CAP∽△PBD． D 已知：点 P 在 AB 的延长线上，∠1＝∠2＝ ∠3． A2 3 P 1 B 结论2：△APC∽△BDP． C （二）结论推导 结 1、△CAP∽△PBD． 证明：∵∠1＋∠C＋∠APC＝180°，∠2＋∠BPD＋∠APC＝180°，∠1＝∠2，∴∠C＝∠BPD． ∵∠1＝∠3，∴△CAP∽△PBD． 结 2、△APC∽△BDP． 证明：∵∠1＝∠C＋∠APC，∠2＝∠BPD＋∠D，∠3＝∠BPD＋∠APC，∠1＝∠2＝∠3，∴∠C＝ ∠BPD，∠APC＝∠D，∴△APC∽△BDP． （三）解题技巧 在一条线段上出现三个相等的角时，则考虑使用一线三等角相似模型．找准三个等角，再根据平角性质、 三角形内角和证三角形相似，然后利用相似三角形的性质解题．一线三等角模型常以一线三垂直（即∠1 ＝∠2＝∠3＝90°，也称为K型）的形式出现在矩形或正方形中，在几何综合题中考查 九、旋转相似模型(手拉手) （一）基本模型 【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A 已知：在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将 D E△ADE绕点A旋转． B C 结论：△ABD∽△ACE． A E D B C （二）结论推导 结 △ABD∽△ACE． 证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， AD AB ∴△ADE∽△ABC，∴ ＝ ． AE AC ∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE． （三）解题技巧 如果图形中出现共顶点、顶角相等、有旋转时，可以考虑用旋转相似模型；如果图形中没有出现共顶点、 顶角相等，也没有旋转时，可以通过作辅助线构造旋转相似．在旋转相似模型中，有一对三角形相似，可 以推出另一对三角形相似，再结合已知条件求解． 十、十字架模型 【正方形内的十字架结构】 垂直、相等，相等、垂直 A D A G D A G D F F F H H B E C B E C B E C 【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【十字结构在矩形中】 如图，在矩形ABCD中，AB＝m，AD＝n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则 ，即CE 和BD之比等于矩形邻边之比 一般情况时，也满足（注意E，F，G，H四点的位置不能在同一条边上） 【十字结构在直角三角形中】 我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形，如图，补成矩形 ACBH，延长CE交AH 于点G 【十字结构在其他四边形中】：补成长方形即可 如图，把边长为AB＝ ，BC＝4且∠B＝45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN 的长 【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 如图，若BA＝BC＝6，DA＝DC＝8，∠BAD＝90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值 十一对 角互补模型 【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向 两边做垂线，从而证明两个三角形相似。 【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 △FDC∽△GEC △DOC∽△EFC 十双高 模型 双高模型“ ” 可 相似、、、 【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 共有8组相似！ ①Rt△BOM∽Rt△BFN∽Rt△CFM∽Rt△CON; ②△BCM∽△OFM (蝴蝶相似必成队） ③△NOF∽△NCB（反A型） 题型一 A字模型 2023·四川成都·真题 1．如图，在 中， 是边 上一点，按以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径 作弧，分别交 ， 于点 ， ；②以点 为圆心，以 长为半径作弧，交 于点 ；③以 点 为圆心，以 长为半径作弧，在 内部交前面的弧于点 ：④过点 作射线 交 于点 ．若 与四边形 的面积比为 ，则 的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据作图可得 ， ∴ ， ∴ ， ∵ 与四边形 的面积比为 ， 【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ∴ 2022 宜宾 2．如图，△ABC中，点E，F分别在边AB，AC上，∠1＝∠2．若BC＝4，AF＝2，CF＝3，则EF＝ _________． A E 2 F 1 B C 【答案】 【解析】∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AEF， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴EF＝ ． 2023·山东潍坊·真题 3．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示 竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在 一条水平直线上．已知AC 20米，CE 10米，CD7米，EF 1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线 恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 米． 【答案】18.2 【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：如图，过F 作FQ AB于Q，交CD于H， 则FH CE 10，QH  AC 20，FQ AE ACCE30，EF CH  AQ1.4， ∴DH 71.45.6， ∵DC∥BA， ∴△FDH∽△FBQ， DH FH ∴  ， BQ FQ 10 5.6 ∴  ，解得： ，经检验符合题意；∴ （米） 30 QB QB16.8 2022·浙江杭州·真题 4．如图，在 ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行 四边形， ． (1)若 ，求线段AD的长． (2)若 的面积为1，求平行四边形BFED的面积． 【答案】(1)2；(2)6 【（ 解1）】∵、四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， 【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ； （2）∵四边形BFED是平行四边形， ∴ ， ，DE=BF， ∴ ， ∴ ∴ ， ∵ ，DE=BF， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 2023·浙江温州·真题 5．如图，已知矩形 ，点E在 延长线上，点F在 延长线上，过点F作 交 的延长 线于点H，连结 交 于点G， ． (1)求证： ，(2)当 ， 时，求 的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【（ 解1）】解、：∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ． （2）∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ，∵ ， ∴ ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ． 6．小言家窗外有一个路灯，每天晚上灯光都会透过窗户照进房间里，小言一直想知道这个路灯的准确高 度，当学了相似三角形的知识后，她意识到自己可以解决这个问题了！如图，路灯顶部 处发光，光 线透过窗子 照亮地面的长度为 ，小言测得窗户距离地面高度 m，窗高 m，某 一时刻， m， m，请你根据小言测得的数据，求出路灯的高度 ． 【答案】路灯的高度 为6.3米 【详解】解： 且 ， ， 【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 设 ，则 ， 又 ， ，即 ， 解得： ， 、、、 是原方程的解， 2022 安徽 7．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF， BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G，连接DF，若DE＝1，DF＝ ，则MN＝_________． A E D G M N F B C 【答案】 【解析】延长BC与GF交于点H． A E D G M N F B C H 可证△ABE≌△GEF，∴EG＝AB＝AD，GF＝AE， ∴DG＝AE，∴CH＝DG＝GF＝ ＝2， ∴BC＝CD＝GH＝EG＝DE＋DG＝3， ∴BH＝5，FH＝1． 可证△EDM∽△EGF，△BCN∽△BHF， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ， ∴DM＝ ，NC＝ ， ∴MN＝CD－DM－NC＝ ． 【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8．（2023·深圳·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，ABC 90，AB6，BC8，BAC， ACB的平分线相交于点E，过点E作EF //BC交AC于点F ，则EF的长为（ ） 5 15 8 10 A． B． C． D． 2 4 3 3 【答案】D 【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC，作EH⊥AC，由EF //BC可证四边形BDEG是矩形，由角平 分线可得 ED=EH=EG、∠DAE=∠HAE，四 知边形、 BDEG 是正方形，再证△DAE≌△HAE、 △CGE≌△CHE得AD=AH，CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x，由AC=10可得x=2， 16 即BD=DE=2，AD=4，再证△ADF∽△ABC可得DF  ，、、得、EF=DF-DE． 3 【详解】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H， ∵EF//BC，∠ABC=90°， ∴FD⊥AB， ∵EG⊥BC， ∴四边形BDEG是矩形， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE， ∴四边形BDEG是正方形， 在△DAE和△HAE中， ADEAHE  ∵DAEHAE   AE AE ∴△DAE≌△HAE（AAS）， ∴AD=AH， 同理△CGE≌△CHE（AAS）， 【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴CG=CH， 设BD=BG=x，则AD=AH=6-x，CG=CH=8-x， ∵AC  AB2BC2  6282 10， ∴AH+CH=AC，即6-x+8-x=10， 解得：x=2， ∴BD=DE=2，AD=4， ∵DF//BC， ∴△ADF∽△ABC， AD DF ∴  AB BC 4 DF 16 16 10   DF  ，EF  2 6 8 3 3 3 2023·广东·真题 9．边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分 的面积为 ． 【答案】15 【详解】解：如图， 由题意可知 ， ， ∴ ， ∵ ， 【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 2023·山东泰安·真题 10．如图，在△ABC中，AC BC 16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点 B DB EB AC AF 8，DF 7,BF 4 CG ，连接 ， ，分别与 相交于F点，G点，若 ，则 的长度为 ． 【答案】4.5 【详解】解：∵AC BC 16， ∴AB， 由折叠的性质可得BB， ∴AB， 又∵AFDBFG， ∴△AFD∽△BFG， AF DF 8 7 ∴  ，即  ， BF GF 4 GF ∴GF 3.5，∴CG ACAFGF 4.5 11．如图，在Rt△ABC 中，C 90，棱长为1的立方体的表面展开图有两条边分别在AC，BC上，有 【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 两个顶点在斜边AB上则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】10 【详解】解：如图： 由 题 意 得 ： △BDE、 △EHF、 △EGA是 直 角 三 角 形 ， 四 边 形 DEGC 是 矩 形 ， BC//EG,DE//HF//AC,DEHF 2，DC EG3，HE1, BDEEHF EGA90，DEB=HFE=GAE △EHF △EGA HE HF   EG AG 在△BDE和△EHF中 BDEEHF   DEHF ，  DEBHFE △BDE△EHFASA ， DBHE1， 1 2   ， 3 AG AG6， 1 1 S S S S = 12 3623=16， S =S -6=16-6=10 △ABC △BDE △EGA 矩形DEGC 2 2  阴影 ABC △ 2023·四川眉山·真题 1 12．如图， 中， 是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 AB长为半径作弧，两孤交于点M， △ABC AD 2 N．直线MN交AB于点E．连接CE交AD于点F．过点D作DG∥CE，交AB于点G．若DG2， 则CF的长为 ． 【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 8 【答案】 3 【详解】解：由作图方法可知MN是线段AB的垂直平分线， ∴点E是AB的中点， ∴CE是△ABC的中线， 又∵AD是△ABC的中线，且AD与CE交于点F， ∴点F是△ABC的重心， 2 ∴CF  CE， 3 ∵DG∥CE， ∴△BDG∽△BCE， CE BC ∴  2， DG BD 2 8 ∴ ∴CF  CE  CE 2DG4 3 3 2022·江苏淮安·真题 13．如图，在Rt△ABC 中，C 90，AC 3，BC 4，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB， DE 交 于点 ，作 的平分线交 于点 ，连接 ．若 的面积是2，则 的值是 BC F BAC DF E BE △ABE EF ． 3 【答案】 7 【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB5， ∵△ABE的面积是2， 4 ∴点 到 的距离为 ， E AB 5 ACBC 12 在 中，点 到 的距离为  ， Rt△ABC C AB AB 5 8 ∴点 到 的距离为 ， C DF 5 ∵DF∥AB， ∴△CDF∽△CAB， CD 2 DF ∴   ， CA 3 AB 10 ∴ ，DF  ， CD2 3 ∵AE平分CAB， ∴BAECAE， ∵DF∥AB， ∴AEDBAE ， ∴DAEDEA， ∴DADE1， 10 7 DE 3 3 ∴EF DFDE  1 ，∴  ，故答案为： 3 3 EF 7 7 14．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，至今仍 有借鉴意义．如图1，身高1.5m的小王晚上在路灯灯柱AH 下散步，他想通过测量自己的影长来估计 路灯的高度，具体做法如下：先从路灯底部A向东走20步到M处，发现自己的影子端点落在点P处， 作好记号后，继续沿刚才自己的影子走4步恰好到达点P处，此时影子的端点在点Q处，已知小王和 灯柱的底端在同一水平线上，小王的步间距保持一致． (1)请在图中画出路灯O和影子端点Q的位置． (2)估计路灯AO的高，并求影长PQ的步数． 【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (3)无论点光源还是视线，其本质是相同的，日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图2，小明 同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并 且边DE与点B在同一直线上．测得DF 0.5m，EF0.3m，CD10m，小明眼睛到地面的距离为1.5m， 则树高AB为______m． 24 【答案】(1)见解析；(2)路灯 的高为9m，影长 为 步；(3)9 AO PQ 5 【（ 解1）】路、灯O和影子端点Q的位置如图所示． ． （2）∵MN∥OA， ∴△PMN∽△PAO， MN PM 1.5 4 ∴  ，即  ， OA PA OA 420 解得OA9． ∵PB∥OA， ∴△QPB∽△QAO， PB PQ 1.5 PQ ∴  ，即  ， OA QA 9 PQ24 24 解得PQ ， 5 24 ∴路灯 的高为 ，影长 为 、． AO 9m PQ 5 （3）如图，∵DF 0.5m，EF0.3m，DEF 90， ∴DE  DF2EF2  0.52 0.32 0.4m， EF 0.3 3 ∴tanD   ， DE 0.4 4 【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BC 3 BC ∵tanD   ， ， CD 4 10 CD10m ∴BC 7.5m， ∵四边形ACDG是矩形， ∴DG AC 1.5m， ∴AB ACBC 7.5m1.5m=9m 题型二 “8”字型 2022·辽宁·真题 15．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE交AC于点F．若AB6，则△AEF 的面积为 ． 【答案】3 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AB6， ∴ADBC  AB6，AD//BC， ∴△AEF∽△CBF ， EF AE ∴  ， BF BC ∵E为AD的中点， 1 1 1 ∴AE  AD AB BC 3， 2 2 2 EF AE 1 1 ∴   ，S  AEAB9， BF BC 2 △ABE 2 EF 1 1 ∴  ，∴S  S 3 BE 3 △AEF 3 △ABE 2023·四川乐山·真题 16．如图，在平行四边形 中，E是线段 上一点，连结 交于点F．若 ，则 ． 【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ , ∵ ， ∴ ， ∴ 2023·湖北武汉·真题 DE △ABC △BDE △FDE,AC DF,EF G,H 17．如图， 平分等边 的面积，折叠 得到 分别与 相交于 两点．若 DGm,EH n，用含m,n的式子表示GH 的长是 ． 【答案】 m2n2 【详解】解：△ABC是等边三角形， ABC 60， ∵折叠△BDE得到VFDE， △BDE≌△FDE， S S ，F B60AC， △BDE △FDE 【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DE平分等边△ABC的面积， S S S ， 梯形ACED △BDE △FDE S S S ， △FHG △ADG △CHE 又AGDFGH,CHEFHG， △ADG∽△FHG,△CHE∽△FHG， S DG 2 m2 S EH  2 n2  △ADG    ， △CHE    ， S GH  GH2 S GH  GH2 △FHG △FHG S S m2n2 S S  △ADG  △CHE   △ADG △CHE 1， S S GH2 S △FHG △FHG △FHG GH2 m2n2， 解得GH  m2n2 或GH  m2n2 （不符合题意，舍去） 2023上·、、、、·、、、、、实、、、、、、、中、、考、中 18．如图，在ABCD中，E为AD边上的点，AE2DE，连接BE交AC于点F ，△AEF的面积为4cm2， 则△ABC的面积为 cm2． 【答案】15 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC，ADBC， AEF CBF ，EAF BCF ， △AEF∽△CBF ， AE EF AF   ，  CB BF CF AE2DE， 2 AE AD， 3 AE EF AF 2 ∴    ， CB BF CF 3 S 2 S 2 2 4 ∴ △AEF  ，△AEF    ， S 3 S 3 9 △AFB △CBF ∵S 4cm2， △AEF 3 ∴S S  6cm2， △AFB △AEF 2 【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 9 9 S  S  49cm2， △CBF 4 △AEF 4 ∴S S S 6915(cm2) △ABC △AFB △CBF 2023·四川泸州·真题 19．如图，E，F 是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PEPF取得最小值 AP 时， 的值是 ． PC 2 【答案】 7 【详解】解：作点F关于AC的对称点F，连接EF交AC于点P，过点F作AD的垂线段，交AC于点 K， 由题意得：此时F落在AD上，且根据对称的性质，当P点与P重合时PEPF取得最小值， 2 设、方形 的边长为a，则AF AF  a， ABCD 3 四边形ABCD是正方形， FAK 45，PAE45，AC  2a FK  AF， FAK FKA45， 2 2 AK  a， 3 FPK EPA， △EKP∽△EAP， FK KP   2， AE AP 【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 2 AP AK  2a， 3 9 7 CP ACAP 2a， 9 AP 2 AP   ， 当 取得最小值时， 的值是为 CP 7  PEPF PC 2023·浙江杭州·真题 20．在边长为 的正方形 中，点 在边 上（不与点 ， 重合），射线 与射线 交于点 ． (1)若 ，求 的长． (2)求证： ． (3)以点 为圆心， 长为半径画弧，交线段 于点 ．若 ，求 的长． 【答案】(1) (2)见解析(3) 【（ 解1）】解、：由题知， ， 若 ，则 ． 四边形 是正方形， ， 又 ， ， ， 即 ， ． （2）证明： 四边形 是正方形， 【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ． （3）解：设 ， 则 ， ． 在 中， ， 即 ，解得 ． 2023·四川眉山·统考中考真题 21．如图， 中，点E是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点F． (1)求证： ； (2)点G是线段 上一点，满足 ， 交 于点H，若 ，求 的长． 【答案】(1)见解析；(2) 【（ 解1）】证、明： 四边形 是平行四边形， ， ， ， 是 的中点， ， ， ， ∴ ， ； （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 设 ,则 ， 可得方程 ，解得 22．如图，矩形 中，点 在 上， ， 与 相交于点 ． 与 相交于点 ． (1)证明： ； (2)若 ， ，求 的长度． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【（ 解1）】解、：∵四边形 是矩形， 与 相交于点 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 （负值已舍去）． 2022 深圳 23．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作等腰Rt△CDE， CD＝DE，点F是线段AE上一点，连接BD，BF，∠FBD＝45°，则AF的长为_________． A F E D B C 【答案】 【解析】过点D作DG⊥DB，交BF的延长线于点G，连接GE． G A F E D B C ∵∠FBD＝45°，∴DB＝DG． ∵∠EDC＝90°，∴∠BDC＝∠GDE． ∵CD＝ED，∴△BDC≌△GDE， ∴GE＝BC＝5，∠DBC＝∠DGE． 【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠ABC＝90°，∠FBD＝45°， ∴∠ABF＋∠DBC＝45°，∠EGF＋∠DGE＝45°， ∴∠ABF＝∠EGF． ∵∠AFB＝∠EFG，∴△ABF∽△EGF， ∴ ＝ ＝ ，∴AF＝ ＝ ． 题型三 三角形内接矩形 2022·山东东营·真题 24．如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH 是矩形， EH 2EF,AD是△ABC的高．BC 8,AD6，那么EH 的长为 ． 24 【答案】 5 【、解】∵四边形EFGH是矩形， ∴EH ∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， AM EH ∴  ,DM EF ， AD BC ∴AM  ADDM  ADEF 6EF， ∵EH=2EF ， 6EF 2EF 12 12 24 代入可得：  ，解得EF= ，∴EH=2  6 8 5 5 5 25．如图，AD是△ABC的高，点E、F在BC边上，点G在AC边上，点H在BC边上，BC 21cm，高 AD15cm，四边形EFGH 是△ABC内接正方形， 【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)△AHG与△ABC相似吗？为什么？ (2)求内接正方形EFGH 边长EF． 35 【答案】(1)相似，理由见解析;(2) 4 【（ 解1）】解、：相似，理由如下： ∵四边形EFGH 是△ABC内接方形， ∴HG∥BC， ∴△AHG∽△ABC； （2）设AD与HG的交点为M， ∵△AHG∽△ABC， HG AM ∴  BC AD HG 15HG 35 ∴  ,解得HG 21 15 4 26．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件 PQMN，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．若这个矩形的边PN∶PQ＝1∶2，则这 个矩形的长、宽各是多少？ 【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 480 240 【答案】矩形的长为 mm，宽是 mm． 7 7 【、解】解：∵PQMN是矩形， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， 设边PN为xmm，则PQ为2xmm， PQ AP   BC AB 2x AP 即  120 AB ∵AD是高， ∴PN∥AD， ∴△PBN∽△ABD， PN BP ∴  AD AB x BP 即  ，， 80 AB ∵AP+BP＝AB， x 2x BP AP ∴    ＝1， 80 120 AB AB 240 480 解得x＝ ，2x＝ ． 7 7 480 240 即长为 mm，宽为 mm． 7 7 480 240 答：矩形的长为 mm，宽是 mm 7 7 27．如图，已知 ABC中，BC＝10，BC边上的高AH＝8，四边形DEFG为内接矩形． （1）当矩形DE△FG是正方形时，求正方形的边长． （2）设EF＝x，矩形DEFG的面积为S，求S关于x的函数关系式，当x为何值时S有最大值，并求出最 大值． 【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 40 5 【答案】（1） ；（2） S  x4220，当x＝4时，S有最大值20 9 4 【（ 解1）】设、HK＝y，则AK＝AH﹣KH＝AH﹣EF＝8﹣y， ∵四边形DEFG为矩形， ∴GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴AK：AH＝GF：BC， ∵当矩形DEFG是正方形时，GF＝KH＝y， ∴(8﹣y)：8＝y：10， 40 解得：y＝ ； 9 （2）设EF＝x，则KH＝x． ∴AK＝AH﹣EF＝8﹣x， GF 8x 由（1）可知：  ， 10 8 5 解得：GF＝10﹣ x， 4 5 5 ∴s＝GF•EF＝（10﹣ x）x＝﹣ （x﹣4）2+20， 4 4 ∴当x＝4时S有最大值，并求出最大值20 题型四 倒数型（三平行结构） 湖南株洲·统考中考真题 28．如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( ) 【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A． B． C． D． 【答案】C 【、解】∵AB、CD、EF都与BD垂直， ∴AB∥CD∥EF， ∴ ， ∴ = , = ， ∴ + = + = =1. ∵AB=1，CD=3， ∴ + =1，∴EF= ． 2023·四川内江·真题 29．如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF ，点H为AF 与DG的交点．若AC 12，则DH 的长为（ ） 3 A．1 B． C．2 D．3 2 【答案】C 【、解】解：D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC， BEDEAD，BF GF CG，AH HF ， AB3BE，DH 是△AEF 的中位线， 1 DH  EF， 2 EF∥AC， BEF BAC,BFEBCA, △BEF∽△BAC， EF BE EF BE  ，即  ，  AC AB 12 3BE 解得：EF 4， 1 1 DH  EF  42 2 2 【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2024 届·深圳中学九年级期中 30．如图，在△ABC中，点D、E为边AB三等分点，点F 、G在边BC上，AC∥DG∥EF ，点H为AF 与DG的交点．若HD3，则AC的长为 ． 【答案】18 【、解】解：D、E为边AB的三等分点， ∴BEEDDA， ∵AC∥DG∥EF ， ∴BF:FG:GC BE:ED:DA，AH :FH  AD:ED1， ∴BF GF CG，AH HF ， AB3BE，DH 是△AEF 的中位线， 1 DH  EF， 2 ∵DH 3，则EF 6， QEF∥AC， BEF BAC,BFEBCA, △BEF∽△BAC， EF BE 6 BE  ，即  ，解得：  AC AB AC 3BE AC 18 题型五 A字型及8字型相结合 2023·黑龙江哈尔滨·真题 31．如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M 是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N ．若 DO:OB1:2，AC 12，则MN的长为（ ） 【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：AB∥DC， △DCO△BAO， DO CO 1    ， BO AO 2 1 CO OA， 2 1 CO AC， 3 MN∥AC， △BNM △BOA， BM MN   ， BA OA M 是AB的中点， BM MN 1   = ， BA OA 2 1 \ MN = OA， 2 MN CO， 32．如图，在平行四边形ABCD中，过点B的直线分别与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G，若 BE＝6，EF＝4，则FG的长为_________． G A F D E B C 【答案】 5 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△AEF∽△CEB，△ABE∽△CGE， ∴ ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ， 【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ＝ ，∴EG＝9，∴FG＝5． 2023·安徽·真题 33．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF  AB于点F ，连接DE并延长，交边BC于点M ， 交边AB的延长线于点G．若AF 2，FB1，则MG（ ） 3 5 A． B． C． D． 2 3 2 51 10 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，AF 2，FB1， ∴ADBC  AB AFFG213，AD∥CB，AD AB,CB AB， ∵EF  AB， ∴AD∥EF∥BC DE AF ∴  2， ， EM FB △ADE∽△CME AD DE ∴  2， CM EM 1 3 则CM  AD ， 2 2 3 ∴MB3CM  ， 2 ∵BC∥AD， ∴△GMB∽△GDA， 3 ∴BG MB 2 1    AG DA 3 2 ∴BG AB3， 3 2 3 5 在 中，MG MB2BG2    32  Rt△BGM 2 2 2023·陕西·真题 34．如图，DE是△ABC的中位线，点F 在DB上，DF 2BF ．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点 M BC 6 CM 【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 M ．若BC 6，则线段CM 的长为（ ） 13 15 A． B．7 C． D．8 2 2 【答案】C 【、解】解：DE是△ABC的中位线， 1 1 ，DE  BC  63， DE∥BC 2 2 △DEF∽△BMF， DE DF 2BF   2，  BM BF BF 3 BM  ， 2 15 ∴CM BCBM  2 CG 35．如图，在 中，延长 至点E，使 ，连接 交 于点F，交 于点G，则 Y ABCD AD AD2DE BE CD AC AG 的值是（ ） 2 1 1 3 A． B． C． D． 3 3 2 4 【答案】A 【分析】设DE=x,由AD2DE得、AD=2x，AE=3x，利用平行四边形的性质知AE∥BC，BC=AD=2x，据 CG BC 此得出 ，利用相似三角形的性质得 = 即可得出答案． BCGEAG AG AE 【、解】解:设DE=x，由AD2DE知AD=2x, 则AE=3x, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE//BC，BC=AD=2x， ∴BCGEAG 【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CG BC 2x 2 ∴ = =  AG AE 3x 3 题型六 射影定理 2023·湖南郴州·真题 36．在Rt△ABC 中，BAC 90，AD是斜边BC上的高． (1)证明：△ABD∽△CBA； (2)若AB6，BC 10，求BD的长． 18 【答案】(1)见解析(2)BD 5 【（ 解1）】证、明：∵BAC 90，AD是斜边BC上的高． ∴ADB90，BC 90 ∴BBAD90， ∴BADC 又∵BB ∴△ABD∽△CBA， （2）∵△ABD∽△CBA AB BD ∴  ， CB AB 又AB6，BC 10 AB2 36 18 ∴BD   CB 10 5 2022 湘潭 37．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，过点B，C分别作l的垂线，垂足分别 为点D，E，延长BD交AC于点F，若CE＝3，DE＝1，求△BFC的面积． l A D F B C E 解：∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CAE． 【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠ADB＝∠CEA＝90°，AB＝AC， ∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE＝3， ∴BD＝AE＝AD＋DE＝4， ∴AB＝AC＝ AD2 BD2 ＝ 32 42 ＝5． ∵∠ABD＝∠FBA，∠ADB＝∠FAB， AF AD 3 ∴△ABD∽△FBA，∴ ＝ ＝ ， AB BD 4 3 1 1 ∴AF＝ AB，∴CF＝ AB＝ AC ， 4 4 4 1 1 1 25 ∴S BFC ＝ S ABC ＝  55＝ ． 4 4 2 8 △ △ AB 1 BO 4 38．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°， ＝ ， ＝ ，则 BC 2 OD 3 S △ABD ＝_________． S △CBD D A O B C 3 【答案】 【解析】过点B作BE⊥AC于点E． 32 D A OE B C ∵∠DAC＝90°，∴∠BEO＝∠DAO． ∵∠BOE＝∠DOA，∴△BOE∽△DOA， OE OB 4 ∴ ＝ ＝ ． OA OD 3 ∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，∠BAE＝∠CBE＝∠CAB， AE BE AB 1 ∴△AEB∽△BEC∽△ABC，∴ ＝ ＝ ＝ ， BE CE BC 2 ∴CE＝2BE＝4AE． 设OE＝4a，则OA＝3a，AE＝7a，CE＝28a，OC＝32a， S △ABD OA 3a 3 ∴ ＝ ＝ ＝ ． S △CBD OC 32a 32 【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 39．如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G， 连接DG. （1）求证：△AGE≌△AGD （2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由； （3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）AF·GF=2EG ，证明见解析； （3）BE的长为 . 【、解】(1)证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的 ∴AD=AE，∠DAG=∠EAG 又∵AG=AG ∴△AGE≌△AGD （2）AF×GF=2EG 证明如下： 连接DE交GF于点O ∵△AEF是由△ADF折叠得到的 ∠DAG=∠EAG，DF=EF ∵△AGE≌△AGD ∴GD=GE，∠ AGD=∠AGE ∴∠ FGD=∠FGE ∵EG∥CD ∴∠DFG=∠FGE ∴∠ FGD=∠DFG ∴GD=DF ∴GD=EG=EF=DF ∴四边形DGEF是菱形 【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AF⊥DE，OF= GF ∴∠ADF=∠DOF =90° 又∵∠DFO=∠DFA ∴△DFO∽△AFD ∴ ∴OF×AF=DF ∵OF= GF, DF=EG ∴ GF×AF= EG 即：AF×GF=2EG （3）过点G作GH⊥CD于H 则四边形CHGE是矩形， ∴CE=GH 设GF=x，则AF=6+x ∵AF×GF=2EG EG=2 ∴x(6+x)=40 解得：x=4 ∴GF=4, ∴ AF=6+4=10 在Rt AEF中 AE=△ ∴BC=AD=AE=4 ∵GH∥AD ∴△FGH∽△FAD ∴ ∴ ∴CE=GH= ∴BE=BC-CE=4 - = 【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 题型七 子母模型（公共边公共角） 2022·湖北鄂州·真题 40．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若 BD=CE=2，则△ABP的周长为 ． 18 7 【答案】6 7 【、解】 法一图所示，过点E作EF⊥AB于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°， ∵CE=BD=2，AB=AC=6， ∴AE=4， ∴AF  AEcosEAF 2，EF  AEsinEAF 2 3， ∴BF=4， ∴BE BF2EF2 2 7， 又∵BD=CE， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴∠BAD=∠CBE，AD=BE， 又∵∠BDP=∠ADB， ∴△BDP∽△ADB， BD BP DP ∴   ， AD AB BD 2 BP PD ∴   ， 2 7 6 2 6 7 2 7 ∴BP= ，PD ， 7 7 12 7 ∴AP ADAP ， 7 【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 18 7 ∴△ABP的周长=ABBPAP6 ， 7 18 7 故答案为：6 ． 7 法二：【解析】过点A作AH⊥BC于点H． A E P B D H C 1 则BH＝ BC＝3，AH＝ ． 2 3 3 ∵BD＝2，∴DH＝1，∴AD＝ AH2 DH2 ＝2 7． ∵AB＝BC，∠ABD＝∠C，BD＝CE， ∴△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠PBD． ∵∠ADB＝∠BDP，∴△ABD∽△BPD， BP PD BD BP PD 2 ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， AB BD AD 6 2 2 7 6 7 2 7 12 7 ∴BP＝ ，PD＝ ，∴AP＝ ， 7 7 7 18 7 ∴△ABP的周长＝ ＝6 ． AB APBP 7 2023·四川凉山·真题 41．如图，在 中，对角线 与 相交于点 ， ，过点 作 交 于点 ． (1)求证： ；(2)若 ， ，求 的长． 【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】(1)见详解；(2) 【（ 解1）】证、明： ， ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形， ． （2）解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得： 42．如图， 和 是等腰直角三角形， ， 的边 ， 交边 于点 ， ．若 ， ，则 的值是 ． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明 ，可得 ,设 ，则 ,再证明 ，可得 ，可得 ，结 可得．、、 【详解】解：∵ 和 是等腰直角三角形， 【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ,、 ， ， ∴ , 设 ，则 , 同理可得： ， ∴ , ∴ , ∴ , ∴ ,即 ， ∴ . 43．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次， 使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连接AF和 CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC•AP； 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解详】解：（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC， ∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°， ∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中， 【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AOECOF  OAOC  EAOFCO ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF， ∵OA=OC， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF⊥AC， ∴平行四边形AFCE是菱形． （2）证明：∵∠AEP=∠AOE=90°，∠EAO=∠EAP， ∴△AOE∽△AEP， AE AO ∴  ， AP AE 即AE2=AO•AP， 1 ∵AO= AC， 2 1 ∴AE2= AC•AP， 2 ∴2AE2=AC•AP 44．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠BAC的平分线交CD于点E，交BC于点F，已知AD＝9， BD＝7，AC＝12． （1）求证：AC2＝AD·AB；（2）若AE＝8，求EF的长． A D E B F C 【（ 解1）】证、明：∵AD＝9，BD＝7，AC＝12，∴AB＝16，AC 2＝144， ∴AD·AB＝9×16＝144，∴AC 2＝AD·AB． （2）解：∵AC 2＝AD·AB，∴ ＝ ． ∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC， ∴∠ACE＝∠ABF． ∵AF平分∠BAC，∴∠CAE＝∠BAF， ∴△ACE∽△ABF，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，AF＝ ，EF＝ ． 45．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E为AB上一点，将△ADE沿DE翻折，点A落在A'处，连接 CA'并延长交DE于点F，若A'C＝2，A'F＝3，求EF的长． 【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A D F E A′ B C 【详解】解：过点A' 作A'G∥DE，交CD于点G，延长EA' 交CD于点H． A D F E G A′ H B C CG AC 2 3 3 则 ＝ ＝ ，∴DG＝ CD＝ AD． DG AF 3 5 5 由题意，∠HDE＝∠AED＝∠HED， 3 ∴DH＝EH，∴DG＝A'E＝AE＝ AD． 5 设∠ADF＝∠A'DF＝x，则∠A'DC＝60°－2x， ∠DA'C＝∠DCA'＝60°＋x，∴∠DFA'＝60°， ∴∠A'FE＝120°＝∠DA'E． ∵∠A'EF＝∠DEA'，∴△A'EF∽△DEA'， EF AE EF 3 9 ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴EF＝ ． AF AD 3 5 5 46．（2023上·四川成都·九年级统考期末）在 中，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， 交 于点 ，且 ， (1)求证： ： (2)当 为边 的中点时，且 ， ①若 ，求 ； ②若 为等腰直角三角形，且 ，求四边形 的面积． 【答案】(1)见解析；(2)① ；② 【（ 解1）】证、明： ， ， 又 ， 【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 且 ， ， ， 即： ； （2）解：①过点 、 ， 设 ，则 ， 又 为 中点且 ， ． ， ， ， ， 又 ， ， 解得： ； ②过点 、 ，垂足为点 ， 为等腰直角三角形， 且 ， ， ， 又 ， ， 在 中， ， ， ， 【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ． 47．如图1，在△ABC中，AD为中线，点E在AC的延长线上，∠E＝∠ABC，AD的延长线交BE于点 F． （1）求证：△ABC∽△AEB； （2）若AC＝CE，BC＝6，求EF的长； （3）如图2，若BF＝ 3，BC＝4，求EF的长． A A C D C B D B F F E E 图1 图2 【（ 解1）】证、明：∵∠ABC＝∠E，∠BAC＝∠EAB， ∴△ABC∽△AEB． （2）如图1，过点C作CG∥AF交EF于点G． A A H C D C B D B F F G E E 图1 图2 ∵AD是中线，∴BD＝DC，∴BF＝FG． ∵AC＝CE，∴FG＝GE． BC AC AB ∵△ABC∽△AEB，∴ ＝ ＝ ， BE AB AE ∴AB 2＝AC·AE＝AC 2，∴AB＝ 2AC， BC 1 ∴ ＝ ，∴BE＝ ＝ ， BE 2 2BC 6 2 2 ∴EF＝ BE ＝ ． 3 4 2 （3）如图2，过点C作CH∥EF交AF于点H． 【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则∠BDF＝∠CDH，∠BFD＝∠CHD． ∵BD＝CD，∴△BDF≌△CDH，∴CH＝BF＝ 3． 设AC＝a，AE＝k 2a，则AB 2＝AC·AE＝k 2a 2，AB＝ka． CH AC ∵CH∥EF，∴△ACH∽△AEF，∴ ＝ ， EF AE 3 a ∴ ＝ ，∴EF＝ ． EF k2a 3k2 BC AC 4 a ∵ ＝ ，∴ ＝ ， BE AB 3 3k2 ka 3 解得k＝ （舍去）或k＝ ， 3 3 ∴EF＝ 3k2＝3 3． 48．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°，过点B作BF⊥BC， 交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：AE2＝BE·DE； （2）求证：△AFE∽△CAE； 3 （3）若tan∠BEF＝ ，CE＝2，求AF的长． 4 A B D E C F 【（ 解1）】证、明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABE＝∠ACE＝45°． A A B B D E C G D H E C F F 图1 图2 ∵∠DAE＝45°，∴∠ABE＝∠DAE． ∵∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE， AE DE ∴ ＝ ，∴AE 2＝BE·DE． BE AE （2）如图1，过点A作AG⊥AF，交BC的延长线于点G． 则∠BAF＝∠CAG，∠ABF＝∠ACG＝135°． ∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACG． 【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AF＝AG，∠BFD＝∠G． ∵∠DAE＝45°，∴∠GAE＝45°． ∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEG， ∴∠AFE＝∠G＝45°－∠CAG＝∠CAE． ∵∠FAE＝∠ACE＝45°，∴△AFE∽△CAE． （3）∵△ABF≌△ACG，∴BF＝CG． 3 由tan∠BEF＝ ，可设BF＝3a，则BE＝4a， 4 CG＝3a，EG＝EF＝5a，EC＝2a＝2， ∴a＝1，∴BE＝4，BF＝3，EF＝5． AF AE EF ∵△AFE∽△CAE，∴ ＝ ＝ ， AC CE AE ∴AE 2＝CE·EF＝2×5＝10，∴AE＝ 10． 如图2，过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝CH． 设AH＝CH＝x，则EH＝x－2． 在Rt△AHE中，( x－2 )2＋x 2＝10， 解得x＝－1（舍去）或x＝3，∴AC＝3 2 ， AF 10 ∴ ＝ ，∴AF＝ ． 3 2 2 3 5 题型八 一线三等角模型 2023·黑龙江大庆·真题 49．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD 如图所示，点N 在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN ，点A对应的点记为点M ，若点M 恰好落 在边DC上，则图中与△NDM 一定相似的三角形是 ． 【答案】△MCB 【详解】解：四边形ABCD是矩形， ADC90， DNM DMN 90， 由折叠的性质可得：BMN A90， NMDBMNBMC 180， NMDBMC 90， 【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DNM BMC，△NDM∽△MCB 2023·山东东营·真题 50．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，ADE60，若BD4DC，DE2.4， 则AD的长为（ ） A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2 【答案】C 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BC60， ∵ADBADEBDE CDAC，ADE60， ∴BDEDAC， ∴△ADC∽△DEB AD AC ∴  DE BD ∵BD4DC， 4 ∴BD BC， 5 BC 5   ∴ AD AC 4 4  BC DE BD 5 ∵DE2.4 5 ∴AD DE3 4 51．如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，顶点A在边DE上，AB与CD 相交于点F，若AE＝2，AD＝4，则△AFC的面积为_________． E A D F B C 【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 10 【答案】 3 【解析】∵AE＝2，AD＝4，∴DE＝6，∴CD＝CE＝3 2 ． AD CE 由题意，△ADF∽△CEA，∴ ＝ ， DF AE 4 3 2 4 2 ∴ ＝ ，∴DF＝ ， DF 2 3 5 2 5 ∴CF＝ ＝ CD， 3 9 5 5 2 5 2 1 10 ∴S AFC ＝ S ADC ＝  S CDE ＝   3 23 2＝ ． 9 9 3 9 3 2 3 △ △ △ 52．如图，在等边△ABC中，AB＝6，点D是边AB上一点，BD＝2，点F是边AC上一点，若在边BC上 只有一点E，使∠DEF＝60°，则CF的长为_________． A F D B E C 【答案】4.5 【解析】由题意，△BDE∽△CEF，∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴BE 2－6BE＋2CF＝0． ∵在边BC上只有一点E，使∠DEF＝60°，∴方程有两个相等的实数根， ∴△＝6 2－4×2CF＝0，∴CF＝4.5． 53．如图，将等边△ABC折叠，使点B落在AC边上的点F处，折痕为DE，若AF＝4，CF＝8，则CE的 长为_________． A F D B E C 【答案】5 【解析】由题意，可知等边△ABC的边长为4＋8＝12． 设BD＝DF＝x，BE＝EF＝y，则AD＝12－x，CE＝12－y． 由∠A＝∠DFE＝∠C＝60°，可得△ADF∽△CFE， ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ＝ ， 【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴x＝ ，∴ ＝ ， 解得y＝7，∴CE＝12－y＝5． 54．如图，点P是等边 的一边 上的任意一点，且 ，连接 ，作 的垂直平分线交 于M、N两点，则 的值为 ． 【答案】 【分析】连接 证明 ，再证明 ，即可得出绪论 【详解】连接 ，如图， ∵ 是等边三角形， ∴ ∵ 是 的垂直平分线， ∴ 又 ， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 又 ∴ ∵ ∴设 则 【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 55．如图，点F，G分别在正方形 的边 ， 上，E为 中点，连接 ，正方形 的边 恰好在 上，若正方形 边长为7，则正方形 面积为 ． 【答案】20 【详解】如图，设 ，则 ， ， 设 ， ， ， ， 由 ， ， ， 故答案为：20． 浙江中考真题 56．如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长 为 ． 【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】8 5 【详解】解：根据等角的余角相等，得 ∠BAE=∠CEF=∠DFG． 又∠B=∠C=∠D=90°，AE=EF=4，FG=2， ∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG． ∴AB=CE，BE=CF，DF：CE=FG：EF=1：2． BE:AB1:2, 设BE=x，则AB=2x，根据勾股定理，得 x2+4x2=16， 4 x= 5． 5 则矩形ABCD的周长为：22x3x10x8 5. 57．如图，菱形ABCD与菱形AEFG相似，AEFG的顶点G在ABCD的BC边上运动，GF与AB相交于点 H， ．若 ， ，则菱形ABCD的边长为 ． 【答案】9 【详解】解：连接AC． 【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵菱形ABCD∽菱形AEFG， ∴∠B=∠E=∠AGF=60°，AB=BC， ∴△ABC是等边三角形，设AB=BC=AC=a，则BH=a-7，BG=a-3， ∴∠ACB=60°， ∵∠AGB=∠AGH+∠BGH=∠ACG+∠CAG， ∵∠AGH=∠ACG=60°， ∴∠BGH=∠CAG， ∵∠B=∠ACG， ∴△BGH∽△CAG， ∴ ， ∴ ， ∴a2-10a+9=0， ∴a=9或1（舍弃）， ∴AB=9 2023·浙江丽水·统考中考真题 58．如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【简证】如图，出现一线两等角可构造一线三等角，作AF⊥AD交CD延长线于F，相似比为 ，故EC为 F 45° 1 45° 2 45° 59．如图，将8个边长为1的小正方形叠放，过其四个角的顶点A、E、F、G作一个矩形ABCD，则矩形 ABCD的面积为 . 96 【答案】 5 【详解】如图， ∵四边形ABCD是矩形，AE、EF、FG是8个小正方形组成的图形的边， ∴∠C=∠D =∠EFG=90， ∴∠3+∠4=∠5+∠6=∠4+∠5=90， ∴∠3=∠5， ∴△FDG~△ECF， GD FD FG 2 1 ∴     ， CF EC EF 4 2 【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 设GDa，FDb，则CF 2a，EC 2b， ∵四边形ABCD是矩形，AE、EF、FG是正方形的边， ∴∠B=∠C=∠AEF =90， ∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠2+∠3=90， ∴∠1=∠3， AEEF 4，∠B=∠C=90， ∴△ABE△ECF， ∴ABEC 2b，BECF 2a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ABCDCFFD， ∴2b2ab， ∴b2a， 在Rt△ECF中，∠C=90，EF 4，CF 2a，EC 2b4a， ∴EF2 CF2EC2， ∴42 2a24a2 ， 4 ∴a2  ， 5 矩形ABCD的面积为： CDBC CFFDBEEC 2a2a2a4a 24a2 4 24 5 96 96  ．故答案为： ． 5 5 60．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC上一点，点E为AD上一点，∠BED＝ ∠CED＝45°，若BD＝3，则CE的长为_________． A E B D C 【答案】 【解析】∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，AC＝ ． ∵∠BED＝∠CED＝45°，∴△ABE∽△CAE， ∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CE＝ ，AE＝ ， 【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴CE＝2BE，∴BC＝ ． 过点D作DF∥BE，交CE于点F． A E F B D C 则∠EDF＝∠BED＝∠CED，∴DF＝EF， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ，∴CD＝2BD＝6， ∴BC＝9，∴ ＝9，∴BE＝ ，∴CE＝ ． 61．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，点E是AB的中点，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点 F处，EF的延长线交BC于点G，则BG的长为_________． A D E F B G C 【答案】3 【解析】过点F作MN∥BC，交AB于点M，交CD于点N． A D E F M N B G C 则∠EMF＝∠DFE＝∠FND＝90°， ∴△EMF∽△FND，∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 设MF＝3a，则ND＝9a，FN＝12－3a，EM＝4－a， CN＝BM＝a，CD＝10a＝8， ∴a＝ ，MF＝3a＝ ，EM＝4－a＝ ． ∵MN∥BC，∴△EMF∽△EBG， ∴ ＝ ＝ ，∴BG＝ ＝3． 62．（2021南京）如图，将□ABCD绕点A逆时针旋转到□AB′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与 CD交于点E，若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为_________． 【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 D′ A D E B B′ C 9 【答案】 8 【解析】延长B′C到点F，使B′F＝B′E，连接EF． D′ A D E B B′ CF 则∠B′EF＝∠F． 由旋转可知，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′， ∴∠BAB′＝∠EB′F，∴∠B＝∠F， ∵AB∥CD，∴∠ECF＝∠B＝∠F， ∴△ABB′∽△B′EF∽△ECF． ∵AB＝3，BB'＝1，∴B'C＝3，AB＝3BB'， ∴BE＝BF＝3EF，CE＝EF＝3CF． 设CF＝x，则CE＝EF＝3x，BF＝9x＝3＋x， 3 9 ∴x＝ ，∴CE＝3x＝ ． 8 8 63．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝3，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，使 点F落在边BC上，且BF＝4CF，则DE·AF的值为_________． A E D B F C 98 3 【答案】 3 【解析】过点D作DH⊥AC于点H． A H E D B F C 由题意，AD＝DF，AE＝EF． 【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 由BF＝4CF，可设CF＝x，则BF＝4x， ∴AB＝AC＝BC＝5x，△BDF的周长＝9x，△CFE的周长＝6x． 由一线三等角相似模型可知△BDF∽△CFE， BF BD △BDF的周长 9x 3 ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， CE CF △CFE的周长 6x 2 3 3 ∴ ＝ ，∴CF＝2，∴x＝2， CF 2 ∴BF＝8，AB＝AC＝10，AD＝7， 5 7 3 8 3 ∴AH＝ ，DH＝ ， ＝ ， 2 2 CE 2 16 14 ∴CE＝ ，∴AE＝ ． 3 3 1 ∵S四边形ADFE ＝ DE·AF＝2S ADE ＝AE·DH， 2 △ 14 7 3 98 3 ∴DE·AF＝2AE·DH＝2  ＝ ． 3 2 3 64．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E在AB边上，点F在CA的延长 线上，∠EDF＝45°，DF交AB于G． （1）求证：△BDE∽△CFD； 5 （2）若sin∠BDE＝ ，EF＝5，求AF的长． 5 F A E B D C 【、解】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠BED＋∠BDE＝135°． ∵∠EDF＝45°，∴∠BDE＋∠CDF＝135°， ∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD． DE BE BE （2）∵△BDE∽△CFD，∴ ＝ ＝ ． DF CD BD ∵∠EDF＝∠B＝45°，∴△DFE∽△BDE， 5 ∴∠DFE＝∠BDE，∴sin∠DFE＝sin∠BDE＝ ． 5 过点E作EH⊥DF于点H． 【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 F A H E B D C ∵EF＝5，∴DH＝EH＝ 5 ，DE＝ 10，FH＝2 5，DF＝3 5． ∵△BDE∽△CFD，△DFE∽△BDE， CF CD DF ∴△CFD∽△DFE，∴ ＝ ＝ ， DF DE EF CF CD 3 5 ∴ ＝ ＝ ，∴CF＝9，CD＝ ， 3 5 10 5 3 2 ∴AC＝ 2CD＝6，∴AF＝3． 徐州中考 65．如图，已知：正方形ABCD中，一个以点A为顶点的∠EAF＝45°绕着点A旋转，角的两边分别与边 BC、DC的延长线交于点E、F，联结EF． (1)如图1，若∠EAF被对角线AC平分时，求证：CE＝CF． (2)如图2，求证：CE•CF＝2AB2． 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【（ 解1）】∵、四边形ABCD是正方形， ∴∠BCA＝∠DCA＝45°， ∵∠BCF＝∠DCE， ∴∠BCF＋∠ACB＝∠DCE＋∠DCA， ∴∠ACF＝∠ACE， ∴AC平分∠EAF， 【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠EAC＝∠FAC， ∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF（ASA）， ∴CE＝CF； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝ AB， ∵∠EAF＝45°， ∴∠FAC＋∠EAC＝45°， ∵∠ACB是△ACE的一个外角， ∴∠ACB＝∠CAE＋∠AEC＝45°， ∴∠AEC＝∠FAC， 由（1）得：∠ACF＝∠ACE， ∴△ECA∽△ACF， ∴ ＝ ， ∴AC2＝CE•CF， ∴（ AB）2＝CE•CF， ∴CE•CF＝2AB2 66．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，点E是正方形 的对角线 延长线上一点，连接 ，将 绕点B顺时针旋转 至 ，连接 ， 交 于点G． (1)求证： ； (2)若正方形 的边长为4，点G为 的中点，求 的长． 【答案】(1)、、、解；(2) 【（ 解1）】证、明：∵ 是正方形 的对角线， ∴ ， ， ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ 绕点B顺时针旋转 至 ， ∴ ， ， ∴ ， 【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 又∵ ， ∴ ； （2）解：∵、方形 的边长为4，点G为 的中点， ∴ ， 由（1）得， ∵ ， ∴ ， ∴ 67．（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，在菱形 中， ，点 是 边上一动 点，连接 ，将射线 绕点 逆时针旋转60°，分别交边 于点 ，交对角线 于点 . (1)试判断 的形状，并说明理由； (2)若 ， ，求 及 的长； (3)若 ，求 的值. 【答案】(1)等边三角形，理由见解析；(2) ， ；(3) 的值为 或 【（ 解1）】在、菱形 中， ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形． （2）过B点作 ，垂足为P， ∴ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， 【69淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵将射线 绕点 逆时针旋转60°，得到线段 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ． （3）设 ， ， 如图，过E点作 交 于H， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 由（2）知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ 或 ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， 当 时， ， ∴ 的值为 或 ． 68． 和 是一副三角尺，且 ，按如图所示的方式恰好放置在矩形 内，点 E、G分别在边 、 上，点B、D恰好与矩形的顶点重合，则 ． 【答案】 【详解】解：过点 作 ，交 分别于 ， ∵四边形 为矩形， ∴四边形 和四边形 均为矩形， ∴ ， ， ； 【71淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 和 是一副三角尺， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则： ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即： ， ∴ 或 （不符合题意，舍去）， ∴ ， ∴ 69．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，∠EDF＝90°，分别过 点E，F作AB的垂线，垂足为G，H． （1）如图1，当AC＝BC时，求证：AG＝DH； （2）如图2，当AC≠BC时，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【72淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 C C E F F E A G D H B A G D H B 图1 图2 【（ 解1）】证、明：如图1，连接CD． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴∠DCE＝∠B＝45°，CD⊥AB，CD＝BD． ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF， ∴△CDE≌△BDF，∴DE＝DF． ∵FH⊥AB，∴BH＝FH． ∵∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠DFH＝90°－∠FDH， ∴△DEG≌△FDH，∴DG＝FH，∴DG＝BH． ∵AD＝BD，∴AG＝DH． （2）仍然成立，理由如下： 如图2，过点D作DM⊥AB，交BC于点M． C C M E F F E A G D H B A G D H B 图1 图2 则∠ADE＝∠MDF，∠A＝∠DMF＝90°－∠B， AD DE ∴△ADE∽△MDF，∴ ＝ ． DM DF BD DE ∵AD＝BD，∴ ＝ ． DM DF ∵∠EDG＝∠DFH，∠EGD＝∠DHF＝90°， DE DG ∴△DEG∽△FDH，∴ ＝ ， DF FH BD DG ∴ ＝ ． DM FH ∵∠B＝∠B，∠MDB＝∠FHB＝90°， BD BH ∴△MDB∽△FHB，∴ ＝ ． DM FH DG BH ∴ ＝ ，∴DG＝BH，∴AG＝DH． FH FH 70．（1）模型探究；如图1， ， ， 分别为 三边 ， ， 上的点，且 ． 【73淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 与 相似吗？请说明理由； （2）模型应用： 为等边三角形，边长为8， 为 边上一点， 为射线 上一点，将 沿 翻折，使 点落在射线 上的点 处，且 ． ①如图2，当点 在线段 上时，求 的值； ②如图3，当点 落在线段 的延长线上时，求 与 的面积之比． 【答案】（1） ，理由见解析；（2）① ；② 【（ 解1）】解、： ，理由如下： ∵如图1， ， ， ∴ ， ∴ ， （2）①如图2，设 ， ∵ 为等边三角形，其边长为8， ， ∴ ， 则 【74淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ 是由 沿 翻折得到， ∴ ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得 ，即 ②如图3，设 ， ∵ 为等边三角形，其边长为8， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 是由 沿 翻折得到， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ，即 ， ∴ ，即 ，∴ 2023·湖北武汉·统考中考真题 71．问题提出：如图（1）， 是菱形 边 上一点， 是等腰三角形， ， 交 于点 ，探究 与 的数量关系． 【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 问题探究： (1)先将问题特殊化，如图（2），当 时，直接写出 的大小； (2)再探究一般情形，如图（1），求 与 的数量关系． 问题拓展： (3)将图（1）特殊化，如图（3），当 时，若 ，求 的值． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【（ 解1）】延、长 过点F作 ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中 ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． （2）解：在 上截取 ，使 ，连接 ． ， ， 【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． ， ． ． ， ． ． （3）解：过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，设菱形的边长为 ， ． 在 中， ， ． ，由（2）知， ． ． ， ， ， 在 上截取 ，使 ，连接 ，作 于点O． 由（2）知， ， ∴ ， 【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ． 题型九 旋转相似模型（手拉手） 2023·湖南常德·真题 72．如图1，在Rt△ABC 中，ABC 90，AB8，BC 6，D是AB上一点，且AD2，过点D作 BD 交 于E，将 绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中 的值为 ． DE∥BC AC VADE CE 4 【答案】 5 【、解】∵在Rt△ABC 中，ABC 90，AB8，BC 6， 【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AC  AB2BC2 10 ∵DE∥BC ∴ADE ABC 90，AEDACB ∴△ADE∽△ABC AD AE ∴  AB AC AD AB ∴  AE AC ∵BACDAE ∴BACCADDAECAD ∴BADCAE ∴△ABD∽△ACE BD AB 8 4 ∴    CD AC 10 5 2022 烟台 AB AD 3 73．如图，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且 ＝ ＝ ，连接BD，CE， BC DE 4 并延长CE交BD于点F，交AB于点G，求sin∠BFC的值为_________． A D F E G B C 4 【答案】 5 AB AD 【解析】∵∠ABC＝∠ADE＝90°， ＝ ，∴△ABC∽△ADE， BC DE AB AD ∴∠BAC＝∠DAE， ＝ ，∴∠BAD＝∠CAE， AC AE ∴△ABD∽△ACE，∴∠ABF＝∠ACG． ∵∠BGF＝∠CGA，∴∠BFC＝∠BAC， BC ∴sin∠BFC＝∠sinBAC＝ ． AC AB 3 由 ＝ ，可设AB＝3m，则BC＝4m，AC＝5m， BC 4 BC 4m 4 ∴sin∠BFC＝ ＝ ＝ ． AC 5m 5 【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2021 天门 74．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3 2 ，点D为平面内一点，AD＝1，连接DC，将线段 DC绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE，若BE∥AC，则DC的长为_________． D A E B C 【答案】5或 13 【解析】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∠EDC＝90°，DE＝DC， ∴BC＝ 2AC，EC＝ 2DC，∠ACB＝∠DCE＝45°， ∴∠ECB＝∠DCA，∴△BCE∽△ACD， ∴∠BEC＝∠ADC，∠EBC＝∠DAC． 设AD交BC于点F． 当点D在△ABC外部时，如图1． ∵BE∥AC，∴∠ACE＝∠BEC，∴∠ACE＝∠ADC， ∴∠CAF＝∠DCE＝45°，∴∠AFC＝90°， D A A D F E B C B F C E 图1 图2 2 ∴AF＝CF＝ AC ＝3． 2 ∵AD＝1，∴DF＝4， ∴DC＝ CF2 DF2 ＝ 32 42 ＝5． 当点D在△ABC内部时，如图2． ∵BE∥AC，∴∠EBC＝∠ACB＝45°， ∴∠DAC＝∠EBC＝45°，∴∠AFC＝90°， ∴AF＝CF＝3，∴DF＝2， ∴DC＝ CF2 DF2 ＝ 32 22 ＝ 13． 综上所述，DC的长为5或 13． 2022 河池 2 75．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝CF＝ BC＝2，AE与BF交于点 5 【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_________． A N D F M O B E C 5 【答案】 8 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCF． ∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF， ∴∠BAE＝∠CBF． ∵∠OBM＋∠CBF＝90°，∴∠OBM＋∠BAE＝90°， ∴∠AOB＝90°． ∵∠OAN＋∠BAE＝90°，∴∠OBM＝∠OAN． ∵OM⊥ON，∴∠NOM＝90°， ∴∠BOM＝∠AON，∴△OBM∽△OAN， BM OB CF 2 ∴ ＝ ＝ ＝ ． AN OA BC 5 设CF＝4a，则BC＝10a，AN＝5a，BM＝2a，AM＝8a， AN 5a 5 ∴tan∠AMN＝ ＝ ＝ AM 8a 8 76．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠ADC＝∠ACB＝60°，BD＝5，CD＝ 3，则AD的长为 _________． A D B C 【答案】2 【解析】过点A作AE⊥AD，过点D作DE⊥CD交AE于点E． E A D B C ∵∠ADC＝60°，∴∠ADE＝30°． ∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ABC＝30°， AB AD ∴△ABC∽△ADE，∴ ＝ ． AC AE ∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE， 【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BD AB ∴△ABD∽△ACE，∴ ＝ ＝ ， CE AC 3 3 5 3 4 3 ∴CE＝ BD＝ ，∴DE＝ ＝ ， 3 3 CE2 CD2 3 3 ∴AD＝ DE＝2． 2 77．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，点P为△ABC内一点，PA＝2，PC＝3，PB＝ 4 3，求 △ABC的面积． A P B C 19 3 【答案】 2 【解析】将△ACP绕点A顺时针旋转60°并扩大一倍到△ABD，连接PD， 过点A作AE⊥BD，交BD的延长线于点E． 则BD＝2PC＝6，∠DAP＝∠BAC＝60°，△ABD∽△ACP， AD AB E ∴ ＝ ，∴△ADP∽△ABC， AP AC D A ∴∠APD＝∠ACB＝90°，∴PD＝ 3PA＝2 3， P ∴BD 2＋PD 2＝6 2＋(2 3)2＝48＝(4 3)2＝PB 2， B C ∴∠BDP＝90°，∴四边形APDE是矩形， 第2题 ∴DE＝PA＝2，AE＝PD＝2 3， ∴BE＝8，∴AB 2＝AE 2＋BE 2＝(2 3)2＋8 2＝76， 1 1 1 3 3 19 3 ∴S ABC ＝ ACBC＝  AB AB＝ AB 2＝ 2 2 2 2 8 2 △ 78．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，点D为△ABC外一点，∠BDC＝∠ACB，若AD＝2 2 ，CD＝3 5，求BD的长． D A B C 【答案】10或14 【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】过点B作BE⊥CD于点E，过点D作DF⊥BD交BE的延长线于点F． ∵∠BDC＝∠ACB，∠BED＝∠BAC＝90°， ∴∠DBF＝∠ABC，∴∠DBA＝∠FBC． ∵∠BDF＝∠BAC＝90°，∴△DBF∽△ABC， D BD AB AD AB ∴ ＝ ，∴△DBA∽△FBC，∴ ＝ ． A BF BC CF BC E F ∵AB＝2AC，∴BC＝ 5AC ， B C 2 2 2AC ∴ ＝ ，∴CF＝ ． 第3题 CF 5AC 10 ∵∠EDF＝90°－∠BDC＝90°－∠ACB＝∠ABC， ∠DEF＝∠BAC＝90°，∴△EDF∽△ABC， EF AC 1 ∴ ＝ ＝ ，∴DE＝2EF． DE AB 2 在Rt△CEF中，∴EF 2＋(3 5－EF )2＝( 10)2， 7 5 14 5 解得EF＝ 或EF＝ ，∴DE＝ 或EF＝ ， 5 5 2 5 5 ∴BD＝ 5DE ＝10或14 2023·辽宁营口·真题 79．如图，在△ABC中，BAC90，AB AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60得到CD，连接BD交 AE  于在E，则 ． AC ED 3 2 6 【答案】 6 【详解】解：连接AD， ∵将AC绕着点C按顺时针旋转 60得到CD， 【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴AC CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴AC  ADCD，ADC CAD60， 设ACADCDa，则AB AC a， 取AC的中点H，连接DH ， 1 1 ∴AH CH  AC  a， ， 2 2 AHD90 3 ∴DH  a， 2 1 设 ，则EH  AH AE  ax， AEx 2 ∵BAC90， ∴BAEDHE， ∵AEBHED， ∴△AEB∽△HED， AE AB ∴  ， HE DH x a  ∴1 3 ， ax a 2 2   解得x 2 3 a，   即AE  2 3 a， 1 1   2 33 ∴EH  AH AE ax a 2 3 a a， 2 2 2   ∴DE2 3 2 3 a2 ，  2 2 3 a2 2412 3 1812 36 ∴ AE  AE2  3  2 3  a2  2 3  63 3  4  4 ED ED2 3 3 3 3  2  2  2 3 2 23 2 6 6 3 2 6 4 4 3 2 6    3 3 6 80．（2023上·广东深圳·九年级统考期中）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ； 尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相 交于点 ．点 在 边上， ，求 的值； 【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 拓展创新：如图（3）， 是 内一点， ， ， ， ， 直接写出 的长． 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新： ． 【详解】问题背景：∵ ， ∴∠BAC=∠DAE， ， ∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴ ； 尝试应用：连接CE， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴ ， ∴ ， 由于 ， ， ∴ ， 即 ， ∵ ， 【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 又∵ ∴ ， ∴ ； 拓展创新： 如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE， ∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ， ∴∠ADE=∠ABC， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴ ， ∴ ， 又∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE， ∴ ， ∴ ， 设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 81．（2023上·广东深圳·九年级深圳市高级中学校考期中）已知点E在正方形 的对角线 上，正 方形 与正方形 有公共点A． 【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (1)如图1，当点G在 上，F在 上，求 的值； (2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转 ，如图2，直接写出 的值； (3)若 ， ，将正方形 绕A逆时针方向旋转 ，当C，G，E三点共线时， 求 的长度． 【答案】(1) ；(2) ；(3)当C，G，E三点共线时， 的长度为 或 ． 【（ 解1）】解、：∵、方形 与正方形 有公共点A，点 在 上， 在 上， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ； （2）解：如图，连接 ， ∵、方形 绕 点逆时针方向旋转 ， ∴ ， ∵ ， 【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ∴ ； （3）解：①如图， ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∵ 三点共线， ∴在 中， ， ∴ ， 由（2）可知 ， ∴ ， ∴ ； ②如图： 由（2）知 ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， 【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形 是正方形， ∴ ， ∵C，G，E三点共线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 综上，当C，G，E三点共线时， 的长度为 或 ． 2022 鞍山 82．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在边AC上，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转120°得 到DE，连接CE，点F在线段BD上． （1）求证：△ABD∽△CBE； AD （2）如图1，若AF∥CE，AF＝5，CE＝12，求 的值； DC AD （3）如图2，若AF∥DE，若AF＝3，CE＝ ，求 的值． 39 DC A A D D F F B C B C E E 图1 图2 【（ 解1）】证、明：∵AB＝AC，DB＝DE，∠BAC＝∠BDE＝120°， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝30°，BC＝ 3AB， ∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE． （2）如图1，过点D作DG⊥AB交BA的延长线于点G． G A A D D F HF B C B C E E 图1 图2 AD AB 3 ∵△ABD∽△CBE，∴ ＝ ＝ ， CE BC 3 【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 3 ∴AD＝ CE＝ ． 3 4 3 ∵∠BAC＝120°，∴∠DAG＝60°， 1 ∴AG＝ AD＝ ，DG＝6， 2 2 3 ∵△ABD∽△CBE，∴∠BCE＝∠BAD＝120°， ∴∠DCE＝150°． ∵AF∥CE，∴∠FAD＝30°，∴∠BAF＝90°＝∠BGD． ∵∠ABF＝∠GBD，∴△ABF∽△GBD， AB AF 5 ∴ ＝ ＝ ，∴AB＝5AG＝ ， GB GD 6 10 3 ∴AC＝10 3，∴DC＝6 3 ， AD 4 3 2 ∴ ＝ ＝ ． DC 6 3 3 （3）如图2，过点A作AH⊥BD于点H． 3 ∵CE＝ ，∴AD＝ CE＝ ． 39 3 13 ∵∠ACB＝∠DEB＝30°，∴∠CDE＝∠CBE＝∠ABD． ∵AF∥DE，∴∠AFD＝∠BDE＝∠BAD＝120°， 1 3 3 3 ∴∠AFH＝60°，∴FH＝ AF ＝ ，AH＝ ， 2 2 2 5 ∴DH＝ ＝ ，∴DF＝1． AD2 AH2 2 ∵∠ADF＝∠BDA，∴△FAD∽△ABD， AD 1 AD 1 AD 1 ∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴ ＝ ． AB 3 AC 3 DC 2 83．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 M 为 AB 的中点，点 E 为 AC 上一点，点 D 为 BE 上 一点，∠ADE＝∠ABC，∠ADM＝∠BDC． （1）求证：△ADM∽△BDC； （2）用等式表示∠CDE与∠ADE的数量关系，并证明； （3）若AD＝ 13，BD＝6，求tan∠ADE的值． A M D E B C 【（ 解1）】证、明：∵∠ADE＝∠ABC，∠ADE＝∠ABD＋∠DAM， ∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DAM＝∠DBC． ∵∠ADM＝∠BDC，∴△ADM∽△BDC． 【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）∠CDE＝2∠ADE． 证明：如图1，连接CM． A A M D E M D E N B C B C 图1 图2 ∵∠ACB＝90°，点M为AB的中点， ∴BM＝CM，∴∠ABC＝∠MCB， ∴∠AMC＝2∠ABC＝2∠ADE． AD BD ∵△ADM∽△BDC，∴ ＝ ． DM DC ∵∠ADM＝∠BDC，∴∠ADB＝∠MDC， ∴△ADB∽△MDC，∴∠ABD＝∠MCD， ∴∠BMC＝∠BDC，∴∠AMC＝∠CDE， ∴∠CDE＝2∠ADE． （3）如图2，取BD中点N，连接CN． BD AB ∵△ADB∽△MDC，∴ ＝ ＝2， CD MC 1 ∴CD＝ BD＝BN＝DN＝3，∴∠DNC＝∠DCN， 2 ∴∠CDE＝2∠DNC． ∵∠CDE＝2∠ADE，∴∠DNC＝∠ADE， ∴∠BNC＝∠ADB． ∵∠DAB＝∠NBC，∴△ADB∽△BNC， AB AD 13 ∴ ＝ ＝ ． BC BN 3 设AB＝ 13a，则BC＝3a，AC＝ AB2 BC2 ＝2a， AC 2a 2 ∴tan∠ADE＝tan∠ABC＝ ＝ ＝ ． BC 3a 3 84．如图，在△ABC和△ADE中，∠ABC＝∠ADE＝90°，∠BAC＝∠DAE，将△ADE绕点A旋转，直线 BD与CE相交于点F． （1）求证：△ABD∽△ACE； （2）连接AF，判断AF与CF的位置关系，并说明理由； （3）若F为BD的中点，AB＝8，BC＝11，AD＝2，直接写出BD的长． 【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A A D B C B C E F 备用图 【答案】（1）证明：∵∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE，△ABC∽△ADE， AB AC ∴ ＝ ，∴△ABD∽△ACE． AD AE （2）如图1，过点C作CM⊥DF于点M． A D B C F E M ∵△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC． ∵∠AEC＋∠AEF＝180°，∴∠ADB＋∠AEF＝180°， ∴∠DAE＋∠DFE＝180°． ∵∠MFC＋∠DFE＝180°，∴∠DAE＝∠MFC， ∴∠BAC＝∠MFC，∴△ABC∽△FMC， AC BC ∴∠ACB＝∠FCM， ＝ ， FC MC ∴∠ACF＝∠BCM，∴△AFC∽△BMC， ∴∠AFC＝∠M＝90°． （3）BD＝2 5或2 37． 提示：如图2、图3，连接AF并延长至点G，使FG＝AF， A D E A D F E F H C G B G H B C 图2 图3 连接BG，CG，DG，延长CB交DG于点H． 则四边形ABGD是平行四边形， ∴DG∥AB，BG＝AD＝2 5，DG＝AB＝8，∴BH⊥DG． ∵AF⊥CF，∴CG 2＝AB 2＋BC 2＝8 2＋11 2＝185． 【92淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵GH 2＝BG 2－BH 2＝CG 2－CH 2， ∴(2 5)2－BH 2＝185－( BH＋11 )2， 解得BH＝2，∴GH＝4，∴DH＝4或DH＝12， ∴BD＝BG＝2 5或BD＝ 22 122 ＝2 37． 题型十 作辅助线构造A字和8字型相似 85．在 中，D为 上的一点，E为 延长线上的一点， 交 于F．求证： 【答案】见解析 【详解】证明：过D作 交 于G，则 和 相似， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 由 可得 和 相似， ∴ 即 ， ∴ 【93淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2023·湖北十堰·真题 86．如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且 BE BF CG AH ，若菱形的面积等于24，BD8，则EF GH  ． 【答案】6 【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，BD8， 1 1 ∴ ， ，AOOC  AC，BOOD BD4， ABBC  ADCD ACBD 2 2 1 ∵S  ACBD24， 菱形ABCD 2 ∴AC 6， ∴AO3， ∴AB AO2BO2 5 AD， ∵BE BF CG AH ， ∴AECF DH DG， BE BF ∴  ， AE CF ∴EF∥AC， 同理可得GH∥AC， 设BEBF CG AH a，则有DH 5a， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， BE EF a EF ∴  ，即  ， BA AC 5 6 6 ∴EF  a， 5 【94淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DH GH 5a GH 同理可得  ，即  ， DA CA 5 6 6 ∴GH 6 a，∴ 5 EFGH 6 2023·浙江·真题 87．如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于点E，DF∥BC交EP于点F， 若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为（ ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【详解】解：如图，连接BD， 点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，P在BD上，  S △ABC 2S △BDC ， BP:PD2:1， DF∥BC， △DFP△BEP S 1  △DFP  ， S 4 △BEP QEF∥AC， △BEP△BCD， S BP 2 2 2 4  △BEP        ， S BD 3 9     △BCD 设△DFP的面积为m，则△BEP的面积为4m，△BCD的面积为9m， 四边形CDFE的面积为6，  m 9m 4m 6， m1， 【95淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 △BCD的面积为9， △ABC的面积是18 2023·江苏·中考真题 y 3xb x y A、B 88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于 两点，且与反比 k CA 1 例函数 y 在第一象限内的图象交于点 ．若点 坐标为 2,0,  ，则 的值是（ ）． x C A AB 2 k 3 2 3 3 3 4 3 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点C作CD y轴于点D，则CD∥OA ∴△BOA∽△BDC CD BC ∴  AO BA CA 1 ∵  ,A2,0 AB 2 BC 3 ∴  BA 2 CD 3 ∴  2 2 解得：CD3 ∵点A2,0 在y 3xb上， ∴2 3b0 【96淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得：b2 3 ∴直线AB的解析、为y 3x2 3 当x3时，y 3   即C 3, 3 k 又反比例函数y 在第一象限内的图象交于点 x C ∴k 3 3 2022·湖南常德·真题 1 89．如图，已知 F 是 △ABC 内的一点， FD∥BC ， FE∥AB ，若 BDFE 的面积为2，BD 3 BA， 1 BE BC，则 的面积是 ． 4 △ABC 【答案】12 【详解】解：如图所示：延长EF、DF分布交AC于点M、N， 1 1 ， ，BD BA，BE BC， FD∥BC FE∥AB 3 4 CE 3BE，AD2BD， 【97淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 CM CE AN AD   3，  2， AM BE CN BD 令AM x，则CM 3x， AC 4x， 2 8 1 4 AN  AC  x，CN  AC  x， 3 3 3 3 5 MN  x， 3 NM 5 NM 5  ，  ，  AN 8 MC 9 S ：S 25:64，S ：S 25:81， △NMF △NAD △NMF △MEC 设S △NMF 25a，S △NAD 64a，S △MEC 81a， S 56a， 四边形FECN S 2120a， △ABC S 64a  AD 2 4  △ADN     ， S 2120a  AB 9 △ABC 1 、、a , 12 S △ABC 2120a12 2022·四川绵阳·真题 2 10 90．如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝ ， CD＝2，则△ABE的面积为 ． 60 【答案】 7 【详解】解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵AC⊥BC，∠ABC＝45°， 【98淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△ABC为等腰直角三角形， 2 ∴AC BC  AB2 5， 2 ∵∠ADC＝90°，CD=2， ∴AD AC2CD2 4， 1 1 ∵S  ACDF  ADCD， ACD 2 2 4 ∴DF  5， 5 8 ∴AF  AD2DF2  5， 5 2 ∴CF  5， 5 ∵DF∥BC， ∴△DEF∽△BEC， 4 5 EF 5 ∴ ，即  ， EF DF 2 2 5  5EF EC BC 5 4 5 12 1 1 12 60 解得：EF  ，∴AE 5，∴S  AEBC   52 5 35 7 ABE 2 2 7 7 2022 襄阳 91．如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF∶FD＝3∶1，AB＋ BE＝ ，则△ABC的周长为_________． A D F B E C 【答案】 【解析】过点F作FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H，过点D作DP∥AE，交BC于点P． A G D H F B E P C ∵AE是角平分线，∴FG＝FH， 【99淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ＝ ＝ ＝3，∴AD＝ ． ∵D是AC的中点，DP∥AE，∴EP＝PC， ＝ ＝3，∴BE＝3EP， ∴AC＝ ，BC＝ ， ∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝ ＝ ＝ ． 92．如图，在平行四边形ABCD中E为AB的中点，F 为AD上一点，EF与AC交于点H，FH 3cm， EH 6cm，AH 4cm，则HC的长为（ ） A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm 【答案】B 【详解】解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴EAF EBG，AFEBGE， ∵E为AB的中点， ∴AEBE， ∴△AFE≌△BGE， ∴EGEF ， ∵EF EH FH 369cm ， ∴EG9cm， ∴GH GEEH 9615cm ， 【10淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵AD∥BC， AH FH ∴  ， CH GH 4 3 即  ， CH 15 解得：CH 20cm，经检验符合题意 93．如图，等腰 中， ，点 在 上，且 ，连接 ，过点 作 于点 ，连接 ，则 的值是 ． 【答案】 【详解】解：过点 作 ，交 延长线于点 ，如下图： 由题意可得： ， ， ∴ ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 【10淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 94．如图，在平行四边形 中，点 在边 上，将 沿着直线 翻折得到 ，点 的对应 点 恰好落在线段 上，线段 的延长线交边 于点 ，如果点 为边 的中点，则 的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：延长AB、DE交于点H，如图所示： 在平行四边形 中， ， ， ， 点 为边 的中点， ， 在 和 中， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， 将 沿着直线 翻折得到 ， ， ， ， ， ， ， 【10淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ， ， ，即 2023·山东烟台·真题 95．如图，点 为线段 上一点，分别以 为等腰三角形的底边，在 的同侧作等腰 和等 腰 ，且 ．在线段 上取一点 ，使 ，连接 ． (1)如图1，求证： ； (2)如图2，若 的延长线恰好经过 的中点 ，求 的长． 【答案】(1)见解析；(2) ． 【（ 解1）】证、明：∵等腰 和等腰 ， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ； 【10淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）解：取 的中点H，连接 ， ∵点 是 的中点， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ， 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 整理得 ， 解得 （负值已舍）， 、、、 是所列方程的解，且符合题意， ∴ 5 tanB 96．如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使得BD=2DC，连接AC，如果 ，则 3 tanCAD的值是（ ） 3 3 1 1 A． B． C． D． 3 5 3 5 【答案】D 【详解】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E， 【10淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 5 AD 5 ∵tanB ，即  ， 3 AB 3 ∴设AD＝5x，则AB＝3x， ∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD， ∴△CDE∽△BDA， CE DE CD 1 ∴    ， AB AD BD 2 3 5 ∴CE＝ x，DE＝ x， 2 2 15 CE 1 ∴AE＝ x，∴tan∠CAD＝  ． 2 AE 5 BD 3 97．（2023·扬州九年级联考期中）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且  ，点E是AD的中点， DC 4 AF 连接BE并延长交AC于点F，则 的值为 ． FC 3 【答案】 7 【详解】解：作DH //AC交BF于H，如图， 【10淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 DH //AF， EDH EAF，EHDEFA， DEAE， EDH EAF(AAS)， DH AF， BD 3  ， ， DC 4 DH //CF BHDBFC,BDH BCF,HBDFBC, △BHD∽△BFC， DH BD 3 3 AF 3    ，   CF BC 34 7  CF 7 98．（2023上·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校联考期中）如图，△ABC中，点D在CA的延长 DA2AC BD CE CE BD F DABC,DF  3 线上，且 ，连接 ， 为中线，延长 交 于点 ．若 ，则 BA ． 4 【答案】 3 【详解】如图，作AG∥CF 交BD于点G，AH∥BD交BC于点H， 则△DAG∽△DCF ，△GAH∽△CDB，△BFE∽△BGA， DA DG AH CA BE BF ∴  ，  ，  ， DC DF DB CD BA BG 【10淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵DA2AC， 2 ∴ ，AD DC， DC 3AC 3 DG 2 AH 1 ∴  ，  ， DF 3 DB 3 ∵DF  3， DG 2 ∴  ， 3 3 2 ∴DG 3， 3 1 ∴FG 3， 3 ∵CE是中线， BE 1 ∴  ， AB 2 BF 1 ∴  ， BG 2 1 ∴BF FG 3， 3 4 ∴BD 3， 3 AH 1  ∴ 4 3， 3 3 4 解得AH  3， 9 ∵AH∥BD， ∴BAH ABD， 又∵ABC D， ∴△ABH∽△BDA， AB AH ∴  ， BD AB 4 3 AB 9 ∴  ， 4 AB 3 3 4 4 16 4 ∴AB2  3 3 ，∴AB 3 9 9 3 99．（2023·四川成都·真题）如图，在Rt△ABC 中，ABC 90，CD平分ACB交AB于点D，过D作 AG 7 交 于点 ，将 沿 折叠得到 ， 交 于点 ．若  ，则 DE∥BC AC E △DEC DE △DEF DF AC G GE 3 tanA 【10淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ． 3 7 【答案】 7 【详解】解：如图所示，过点G作GM DE于M ， ∵CD平分ACB交AB于点D，DE∥BC ∴12,23 ∴13 ∴EDEC ∵折叠， ∴3=4， ∴14, 又∵DGECGD ∴△DGE∽△CGD DG GE ∴  CG DG ∴DG2 GEGC ∵ABC 90，DE∥BC，则ADDE， ∴AD∥GM AG DM ∴  ， ， GE ME MGEA AG 7 DM ∵   GE 3 ME 设GE3,AG7，EM 3n，则DM 7n，则EC DE 10n， ∵DG2 GEGC ∴DG2 3310n930n 在Rt△DGM 中，GM2 DG2DM2 在Rt△GME中，GM2 GE2EM2 【10淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴DG2DM2 GE2EM2 即930n7n2 323n2 3 解得：n 4 9 ∴EM  ， 4 GE3 9 2 3 7 则GM  GE2ME2  32   4 4 9 ME 4 3 7 ∴tanAtanEGM    MG 3 7 7 4 2022·湖北武汉·统考中考真题 100．问题提出：如图（1）， 中， ， 是 的中点，延长 至点 ，使 ，延 长 交 于点 ，探究 的值． (1)先将问题特殊化．如图（2），当 时，直接写出 的值； (2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展：如图（3），在 中， ， 是 的中点， 是边 上一点， ， 延长 至点 ，使 ，延长 交 于点 ．直接写出 的值（用含 的式子表示）． 【答案】(1)[问题提出]（1） ；（2）见解析(2)[问题拓展] 【（ 解1）】[问、题探究]：（1）如图， 【10淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 中， ， 是 的中点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）证明：取 的中点 ，连接 ． ∵ 是 的中点， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【110淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． （2）[问题拓展]如图，取 的中点 ，连接 ． ∵ 是 的中点， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【111淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ． ∴ ． ∴ ． 101．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）问题背景 （1）如图1，在 中， ，D是边 的中点，延长 至点E，使 ，求证： ； 变式迁移 （2）如图2，在 中， ，点D在 的延长线上，点E在边 上， ，点F是 与 的交点，且 ，求 的值； 问题拓展 （3）如图3，在 中， ，若点D在边 上，点E在 的延长线上， ，点F是 的延长线与 的交点，且 ，当 ， 时，直接写出 的值（用含n，a的式 子表示）. 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） 【详解】解：（1）证明：如图1， 【112淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 作 于 ，作 于 ， ， ， 是 的中点， ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图2， 作 ，交 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【113淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， ， ， ； （3）如图， 作 ，交 的延长线于 ，交 的延长线于 ， 由（2）得： ， ， ， ， ， ， ， ， 作 于 ， ， ， ， ， ， ． 题型十一 反“8”字型相似（两组相似，四点共圆） 2022·新疆·统考中考真题 102．如图，四边形ABCD是正方形，点E在边BC的延长线上，点F在边AB上，以点D为中心将 绕点D顺时针旋转 与 恰好完全重合，连接EF交DC于点P，连接AC交EF于点Q，连接 【114淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BQ，若 ，则 ． 【答案】 【详解】连接PQ， ∵ 绕点D顺时针旋转 与 完全重合， ∴DF=DE，∠EDF=90°， ， ∴∠DFQ=∠DEQ=45°，∠ADF=∠CDE， ∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠DAQ=∠BAQ=45°， ∴∠DFQ=∠DAQ=45°， ∴∠DFQ、∠DAQ是同一个圆内弦DQ所对的圆周角， 即点A、F、Q、D在同一个圆上（四点共圆，也可以用两次相似）， ∴∠FDQ=∠FAQ=45°，∠AQF=∠ADF， ∴∠EDQ=90°-45°=45°，∠DQE=180°-∠EDQ-∠DEQ=90°， ∴FQ=DQ=EQ， ∵A、B、C、D是正方形顶点， ∴AC、BD互相垂直平分， ∵点Q在对角线AC上， ∴BQ=DQ， ∴BQ=DQ=FQ=EQ， ∵∠AQF=∠ADF， ∠ADF=∠CDE， ∴∠AQF=∠CDE， ∵∠FAQ=∠PED=45°， ∴ ， 【115淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∴ ， ∵BQ=DQ=FQ=EQ，∠DQE=90°， ∴ ， ∴ ， ∴ 2023·浙江丽水·统考中考真题 103．如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三角形 ，顶点 恰好落 在 边上，若 ，则 的长是（ ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】解： 是以 为腰的等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 点 四点共圆，在以 为直径的圆上， 如图，连接 ， 由圆周角定理得： ， ， ， ， 【116淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 在 和 中， ， ， ， 重庆中考 104．如图，正方形 中， ，点 是对角线 上一点，连接 ，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，交 于点 ，若 ，则线段 的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形 是正方形， ∴ ， ∴ ， 在 中，根据勾股定理得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 是正方形 的对角线， 【117淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 四点共圆， ∴ ， ∵将 沿 翻折，得到 ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 105．如图，以 的斜边 为一边，在 的同侧作正方形 ，设正方形的中心为O，连接 ．若 ， ，则 的长为 ． 【答案】 【详解】如图，取 的中点 ，连接 ，以 为半径 为圆心作 ，过点 作 ， 中， ， ， 四边形 是正方形 【118淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ， 四点共圆， 是等腰直角三角形 又 题型十二 十字架模型 2023·辽宁丹东·真题 106．如图，在正方形ABCD中，AB12，点E，F分别在边BC，CD上，AE与BF相交于点G，若 BECF 5，则BG的长为 ． 60 【答案】 13 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ABEC90，ABBC， BECF， △ABE≌△BCFSAS ， BAECBF ， CBFABG90， 【119淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 BAEABG90， BGE90， BGEC， 又EBGFBC， △EBG∽△FBC， BG BE  ，  BC BF BCAB12，CF BE5， BF  BC2CF2  12252 13， BG 5 60  ， BG  12 13  13 2024、·、、·、、、、、实、、、、、、、中、、考、中 107．如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，其中AE:ED1:2．线段BE的垂直平分线分别交 AF 于点F，G，H，则 的值为 ． AB、BE、CD CH 【答案】2 【12345模型秒杀】 （和角公式，详情见本专辑“12345模型”） 设AE＝3t，则FB＝FE＝5t，故HC＝2t 3t 4t 5t 3t 5t 2t 【常规法详解】解：过H点作HM  AB于M点，交BE于N，如图，设AEx，ED2x， 【12淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵四边形ABCD为、方形， ∴ABBC  AD3x，AABCC90， 在Rt△ABE中，BE AE2BE2  10x， ∵FH 垂直平分BE， 1 10 ∴ ，BG BE x， BGF 90 2 2 ∵GBF ABE，BGF A90， ∴VBGF∽VBAE， 10x ∴ ，即BF: 10x :3x， BF:BEBG:BA 2 5 解得BF  x， 3 5 4 ∴AF  AB﹣BF 3x x x， 3 3 ∵HMBMBC C 90， ∴四边形BCHM 为矩形， ∴MH BC，HC BM ， ∴ABMH ， ∵NMBHGN，BNM HNG， ∴MBN NHG， 在△MHF和△ABE中， HMF A  MH  AB  MHF ABE ∴VMHF≌VABE， ∴FM  AEx， ∴BM＝BF﹣FM＝ x﹣x＝ x， 4 x AF 3 ∴ ，∴  2 2 CH 2 HC x x 3 3 108．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】 课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题： 如图1，在矩形 中，点 ， 分别是边 ， 上的点，连接 ， ，且 于点 ，若 【12淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， ，求 的值． (1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由． 【初步运用】 (2)如图2，在 中， ， ，点 为 的中点，连接 ，过点 作 于点 ， 交 于点 ，求 的值． 【灵活运用】 (3)如图3，在四边形 中， ， ， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，垂足为 ，则 __________________． 【答案】(1) ；(2) ；(3) 【（ 解1）】解、：∵ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：构造如图所示矩形 ，延长 交 于点G， 由（1）中结论可得： ， ∵ ， ∴设 ， ， 【12淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点 为 的中点， ∴ ， 在 中，根据勾股定理可得： ， ∵ ， ∴ ，则 ， ， 解得： ， ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， 解得： ， ∴ ； （3）解：连接 ，构造如图所示矩形 ，过点N作 ，交 于点P， ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 【12淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴设 ， ， ∴ ， 设 ， 则 ， ， ∴ ，整理得： ， ∴ ， 由（1）中结论可得： ． ∵ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 2023·山东菏泽·中考真题 109．（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F 分别在边DC，BC上，AEDF ，垂足为点G．求证： △ADE∽△DCF． 【12淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【问题解决】 （2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F 分别在边DC，BC上，AEDF，延长BC到点H，使 CH DE，连接DH ．求证：ADF H ． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F 分别在边DC，BC上，AEDF 11，DE8，AED60， 求CF的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【（ 解1）】证、明：四边形ABCD是矩形， ADEDCF 90， CDFDFC90， AEDF ， DGE90， CDFAED90， AEDDFC， △ADE∽△DCF； （2）证明：四边形ABCD是正方形， ADDC，AD∥BC，ADE DCF 90， AEDF， △ADE≌△DCFHL， DECF， 又CH DE， CF CH ， 点H在BC的延长线上， DCH DCF 90， DCDC， △DCF≌△DCHSAS， H DFC， AD∥BC， ADF DFC H ； （3）解：如图，延长BC到点G，使CGDE 8，连接 DG， 【12淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 四边形ABCD是菱形， ADDC，AD∥BC， ADEDCG， △ADE≌△DCGSAS， DGCAED60，DG AE， AEDF， DGDF， △DFG是等边三角形， FGFCCGDF 11，FC11CG1183 110．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图1，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．证明: = ； （2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形，试探究： 当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得 = 成立？并证明你的结论； （3）如图3，若BA=BC= 3，DA=DC= 4，∠BAD= 90°，DE⊥CF．求 的值． 【答案】（1）见解析；（2）当∠B+∠EGC=180°时， = 成立．证明见解析；（3） ． 理由见解析. 【（ 解1）】证、明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠FDC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠DGF=90°， 【12淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°， ∴∠CFD=∠AED， ∵∠A=∠CDF， ∴△AED∽△DFC， ∴ ，即 = . （2）当∠B+∠EGC=180°时， = 成立． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠ADC，AD∥BC， ∴∠B+∠A=180°， ∵∠B+∠EGC=180°， ∴∠A=∠EGC=∠FGD， ∵∠FDG=∠EDA， ∴△DFG∽△DEA， ∴ ， ∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°， ∴∠CGD=∠CDF， ∵∠GCD=∠DCF， ∴△CGD∽△CDF， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即当∠B+∠EGC=180°时， 成立． （3）解： ． 理由是：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD， 设CN=x， ∵AB⊥AD， ∴∠A=∠M=∠CNA=90°， ∴四边形AMCN是矩形， ∴AM=CN，AN=CM， ∵在 BAD和 BCD中 【12淘7 宝△店铺：向阳△百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴△BAD≌△BCD（SSS）， ∴∠BCD=∠A=90°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， ∵∠ABC+∠CBM=180°， ∴∠CBM=∠ADC， ∵∠CND=∠M=90°， ∴△BCM∽△DCN， ∴ ， ∴ ∴ 在Rt CMB中， ，BM=AM﹣AB=x﹣3，由勾股定理得： ， △ ∴ ， 解得 x=0（舍去），x= ∴CN= ， ∵∠A=∠FGD=90°， ∴∠AED+∠AFG=180°， ∵∠AFG+∠NFC=180°， ∴∠AED=∠CFN， ∵∠A=∠CNF=90°， ∴△AED∽△NFC， ∴ 2021·四川达州·统考中考真题 111．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形 中，点 ， 分别是 ， 上的两点，连接 ， ， ，则 的值为__________； 【12淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （2）如图2，在矩形 中， ， ，点 是 上的一点，连接 ， ，且 ，则 的值为__________； 【类比探究】 （3）如图3，在四边形 中， ，点 为 上一点，连接 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ，求证： ； 【拓展延伸】 （4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，点 ， 分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ． 【12淘9 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①求 的值； ②连接 ，若 ，直接写出 的长度． 【答案】（1）1；（2） ；（3）证明见解析；（4）① ；② ． 【详解】解：（1） 四边形 是正方形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ； （2） 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）如图，过点 作 交 的延长线于点 ， 【13淘0 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ， ∴ ， ∴四边形 为矩形， ∴ ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （4）①过 作 于点 ，连接 交 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 【13淘1 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 在 中， ， ， ∴ ，在 中， ， 设 ，则 ， ∴ ，即 ， ∴ 或 （舍去）， ∴ ， ， 由翻折的性质得： ， ， ∴ ， 解得 ， ∴ ； ②由（4）①已证： ， ， ， ， ，解得 ， 由翻折的性质得： ， 在 中， ， ， 在 中， ． 题型十三 对角互补模型 深圳中考 112．如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，Rt MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交 AB与点E，P△N交BC与点F，当PE=2PF时，AP= △ 【13淘2 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】6 【详解】解：如图，作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R． ∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°， ∴四边形PQBR是矩形， ∴∠QPR＝90°＝∠MPN， ∴∠QPE＝∠RPF， ∴△QPE∽△RPF， ∴ ， ∴PQ＝2PR＝2BQ， ∵PQ∥BC， ∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝6∶8∶10=3∶4∶5， 设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x， ∴2x＋3x＝6， ∴x＝ ， ∴AP＝5x＝6． 113．（2023上·广东深圳·九年级南山实验教育集团南海中学校考期中）已知在 中， ， ， ， 为 边上的一点．过点D作射线 ，分别交边 、 于点 、 ． 问题发现 【13淘3 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）如图1，当 为 的中点，且 ， 时， ______； （2）若 为 的中点，将 绕点D旋转到图2位置时， ______； 类比探究 （3）如图3，若改变点D的位置，且 时，求 的值，并写出解答过程； 问题解决 （4）如图3，连接 ，当 ______时， 与 相似． 【答案】（1）2；（2）2；（3） ；（4） 或 【详解】解：（1） ， ， ， ， ， 点 是 的中点， ， 是 的中位线， ， ， 则 ，故答案为：2； （2）如图2，过点 作 于点 ，作 于点 ， 则 ， ，即 ， ， ，即 ， ， ， 【13淘4 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ， 由（1）知， ， ，故答案为：2； （3）如图3，过点 作 于点 ， 于点 ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同（2）的方法知，知， ； （4）如图3，连接 ， 在 中，由勾股定理得： ， EDF A90， △DEF与△ABC相似有如下两种情况： 【13淘5 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （Ⅰ）△DEF∽△ACB， DE AC 则  ， DF AB 2b 4 由（3）可知，  ， a 2 整理，得：ab， 即，CDBD 5， （Ⅱ）△DEF∽△ABC， DE AB 2b 2 则  ，由（3）可知，  ， DF AC a 4 整理，得：a4b， 4 8 5 CD BC ； 5 5 8 5 综上，当 或 时， 与 相似 CD 5 5 △DEF △ABC 题型十四 双高型 114．如图，锐角△ABC中，AD，CE分别为BC，AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和 2，DE＝2，则AC边上的高为 ． 【答案】6 【详解】解：∵AD，CE分别为BC,AB边上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC， ∴Rt ABD∽Rt CBE， AB BD ∴ △ ，△ BC BE AB BC ∴  ， BD BE ∵∠B=∠B， ∴△ABC∽△DBE， ∵相似三角形面积比为相似比的平方，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，  AC 2 18 ∴   = 9， DE 2 【13淘6 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 AC ∴ =3 ， DE ∴AC=3DE=3×2=6， 2S 2 18 ∴AC边上的高是 △ABC   6 AC 6 115．如图．已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和 2 3，DE＝6 ． （1）证明：△BED△BCA； （2）求点B到直线AC的距离． 3 2 【答案】（1）证明见解析；（2） ． 2 【（ 解1）】∵、AD⊥BC于D，CE⊥AB于E， ∴CEBADB90， ∵BB， △ABD△CBE， BA BD BE BD   ，即  ， BC BE BC BA BE BD   在 和 中，BC BA ， △BED VBCA  BB ∴△BED△BCA； （2）由（1）知，△BED△BCA， S DE ∴ △BED ( )2 ， S AC △BCA ∵△ABC和△BDE的面积分别为27和3，DE6 2， 3 6 2 ∴ ( )2， 27 AC 解得AC 18 2 或AC 18 2（不符题意，舍去）， 设点B到直线AC的距离为x， 【13淘7 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 1 1 S  xAC，即27 x18 2， △ABC 2 2 3 2 解得x ， 2 3 2 即点B到直线AC的距离 ． 2 116．如图，BD是△ABC边AC上的高，点E在边AB上，联接CE交BD于点O，ADOCABOD． (1)求证：△ABD∽△ACE； (2)联接DE，作AF 平分BAC，交BC于点F，交DE于点G．求证：AFDEAGBC． 【（ 解1）】证、明：因为ADOCABOD， AD OD 所以  ， AB OC AD2 OD2 所以  ， AB2 OC2 AD2 OD2 所以  ， AB2AD2 OC2OD2 因为BD是△ABC边AC上的高， 所以ADBODC90， AD2 OD2 AD OD 所以  即  ， BD2 CD2 BD CD 所以△ABD∽△OCD， 所以ABDACE， 因为AA， 所以△ABD∽△ACE． （2）证明：根据（1）得△ABD∽△ACE， AD AB 所以  ， AE AC AD AE 所以  ； AB AC 【13淘8 宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 因为DAEBAC， 所以△DAE∽△BAC， 因为AF 平分BAC， DE AG 所以  ， BC AF 所以AFDEAGBC． 【13淘9 宝店铺：向阳百分百】