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专题 10 一次函数
课标要求 考点 考向
1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确 考向一 正比例函数的定义
正比例
定一次函数的表达式; 考向二 正比例函数的图象和性
函数
2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式; 质
3.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式 考向一 一次函数的定义
y=kx+b(k≠0)，探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情
考向二 一次函数的图象和性质
况;
4、理解正比例函数; 考向三 求一次函数的解析式
5.体会一次函数与二元一次方程的关系， 一次函
考向四 一次函数与不等式
数
6.能用一次函数解决实际问题，
考向五 一次函数与一元一次方
程
考向六 一次函数的实际应用
考向七 一次函数与几何综合
考点一 正比例函数
►考向一 正比例函数的定义
1．（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折
扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则 与
关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
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2．（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为 ，铁的质量 与体积 成正比例．一个体
积为 的铁块，它的质量为 ．
►考向二 正比例函数的图象和性质
3．（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于原点对
称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则 的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津·中考真题）若正比例函数 （ 是常数， ）的图象经过第一、第三象限，则 的
值可以是 （写出一个即可）．
6．（2024·上海·中考真题）若正比例函数 的图像经过点 ，则y的值随x的增大而 ．
（选填“增大”或“减小”）
考点二 一次函数
►考向一 一次函数的定义
7．（2024·湖北·中考真题）铁的密度为 ，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位： ）
之间的函数关系式为 ．当 时， g．
8．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数 ，当自变量 时，函数y的值可以是 （写
出一个合理的值即可）．
►考向二 一次函数的图象和性质
►考查角度一 一次函数的图像
9．（2024·青海·中考真题）如图，一次函数 的图象与x轴相交于点A，则点A关于y轴的对称点
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是（ ）
A． B． C．(0,3) D．
10．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数 的图象不经过的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
►考查角度二 一次函数的性质
11．（2024·新疆·中考真题）若一次函数 的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A． B． C．0 D．1
12．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小
C．当 时， D．它的图象经过第一、二、三象限
13．（2024·西藏·中考真题）将正比例函数 的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为
．
14．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线 （ 、 是常数）经过点 ，且 随 的增大而减小，
则 的值可以是 ．（写出一个即可）
15．（2024·江苏镇江·中考真题）点 、 在一次函数 的图像上，则
（用“ ”、“ ”或“ ”填空）．
►考向三 求一次函数的解析式
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1.待定系数法:先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫
做待定系数法，
2.待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤:①设含有待定系数的函数解析式为y=kx(k≠0).
②把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程，③解方程，求出待
定系数k.
④将求得的待定系数k的值代入解析式.
3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤:
①设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b.
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②把两个已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组，③解二元
一次方程组，求出k，b.④将求得的k，b的值代入解析式.
16．（2024·四川凉山·中考真题）如图，一次函数 的图象经过 两点，交 轴于点 ，
则 的面积为 ．
17．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系 中，函数 与 的图象交于点
.
(1)求 ， 的值；
(2)当 时，对于 的每一个值，函数 的值既大于函数 的值，也大于函数
的值，直接写出 的取值范围.
18．（2024·吉林·中考真题）综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；
第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，
请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题．
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设
计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位
置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美．
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，
记录如下：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度
16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
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如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点．
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函
数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由．
(2)当凳面宽度为 时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？
19．（2024·吉林长春·中考真题）区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控
点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一
段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 小时，再立即减速以另一速度匀
速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速
度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程 （千米）与在此路段行驶的时间 （时）之间的函数
图象如图所示．
(1) 的值为________；
(2)当 时，求 与 之间的函数关系式；
(3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超
过120千米/时）
►考向四 一次函数与不等式
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1.任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0(或ax+b<0)(a，b为常数，且a≠0)的形式.
2.从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b(a≠0)的值大于(或小于)0的自变量 x的
取值范围;从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b(a≠0)在x轴上(或下)方部分的点的横坐标满足的条
件.
20．（2024·广东·中考真题）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致是
（ ）
A． B． C． D．
21．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数 和 ，当 时，函数 的图象在
函数 的图象上方，则a的取值范围为
22．（2024·黑龙江绥化·中考真题）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金
购买 、 两种电动车．若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购买 种
电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变．
(1)求 、 两种电动车的单价分别是多少元？
(2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 、 两种电动车 辆，其中 种电动车的数量不
多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？
(3)该公司将购买的 、 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间
的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，起步价
元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题．
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①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为3
（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘
选择______种电动车更省钱（填写 或 ）．
②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值______．
►考向五 一次函数与一元一次方程
23．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，
若 ， ，则关于x的方程 的解为 ．
►考向六 一次函数的实际应用
24．（2024·山东济南·中考真题）某公司生产了 两款新能源电动汽车．如图， 分别表示 款， 款
新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系．当两款新能源电动汽车
的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电动汽车电池的剩余电量多
．
25（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10
万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万
元．
26．（2024·辽宁·中考真题）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价
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（元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
每件售价 /元
日销售量 /件
(1)求 与 之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）；
(2)该商品日销售额能否达到 元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由．
27．（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家 ，文
化广场离家 ．张华从家出发，先匀速骑行了 到画社，在画社停留了 ，之后匀速骑行了
到文化广场，在文化广场停留 后，再匀速步行了 返回家．下面图中 表示时间， 表示
离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间
1 4 13 30
张华离家的距离
②填空：张华从文化广场返回家的速度为______ ；
③当 时，请直接写出张华离家的距离 关于时间 的函数解析式；
(2)当张华离开家 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了 直接到达了文化广场，那么从画社到文
化广场的途中 两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
28．（2024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃
的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：
A樱桃园
第x天的单价、销售量与x的关系如下
表：
B樱桃园
单价 销售量
第x天的利润 （元）与x的关系可以近似地用二次函数
（元/盒） （盒）
刻画，其图象如图：
第1天 50 20
第2天 48 30
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第3天 46 40
第4天 44 50
… … …
第x天 10x+10
第x天的单价与x近似地满足一次函数关
系，已知每天的固定成本为745元．
(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示）；
(2)求A樱桃园第x天的利润 （元）与x的函数关系式；（利润 单价 销售量 固定成本）
(3)① 与x的函数关系式是______；
②求第几天两处樱桃园的利润之和（即 ）最大，最大是多少元？
(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润 比A樱桃园的利润 大．
29．（2024·河南·中考真题）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务
植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下．
(1)若要从这两种食品中摄入 热量和 蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
(2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中
的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，应如何选用这两种食品？
►考向七 一次函数与几何综合
30．（2024·江苏南通·中考真题）平面直角坐标系 中，已知 ， ．直线 （k，b为
常数，且 ）经过点 ，并把 分成两部分，其中靠近原点部分的面积为 ，则k的值为
．
31．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，在 中， ， ， ．点P在边 上，
过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．在点P从点
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A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为 ．
32．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系 中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q
在 的延长线上，使得 ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：如
图1， 是线段 外一点， 在 的延长线上，且 ，因为点Q在线
段 上，所以点P是线段 的“延长2分点”．
(1)如图1，已知图形 ：线段 ， ， ，在 中，______是
图形 的“延长2分点”；
(2)如图2，已知图形 ：线段 ， ， ，若直线 上存在点P是图形 的“延
长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形 ：以 为圆心，半径为1的 ，若以 ， ， 为顶点的
等腰直角三角形 上存在点P，使得点P是图形 的“延长2分点”．请直接写出t的取值范围．
一、单选题
1．（2024·陕西·一模）已知关于 的方程 的解是 ，则一次函数 （ 、 为常数，且
）的图象可能是（ ）
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A． B．
C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）已知一次函数 中 ，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
3．（2024·广东·模拟预测）下列函数中，y是x的一次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北·三模）在同一平面直角坐标系中，直线 与 相交于点 ，则关于x，y
的方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·贵州·模拟预测）如图，一次函数 和一次函数 的图象如图所示，下列说法正
确的是（ ）
A． B．
C． D．当 时，
6．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ，把点A先向右平移1个单位，再向
下平移2个单位得到点B，则直线 的表达式为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·陕西·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，直线 向上平移 个单位长度后，与直
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线 的交点可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·陕西西安·一模）将一次函数 向左平移 个单位后得到一个正比例函数，则 的值为
（ ）
A．2 B． C．4 D．
9．（2024·辽宁·模拟预测）关于一次函数 下列说法正确的是（ ）
A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与y轴交于点
C．y随x的增大而减小 D．当 时，
10．（2024·山东济南·模拟预测）已知抛物线 ， ， ．抛物线与线段 （包
括A、B两点），有两个交点，则k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024·吉林·模拟预测）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度，为了了解其沸点，小聪先在锅中
倒入一些这种食用油并均匀加热，然后测量锅中油温，得到了时间（ ）与油温（ ）对应关系如下表：
时间（ ） … 10 20 30 40 …
油温（ ） … 30 50 70 90 …
当加热到 时食用油沸腾了，那么该食用油的沸点温度是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·安徽·模拟预测）已知 与 是一次函数．若 ，那么如图所示的 个图中正
确的是（ ）
A． B．
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C． D．
13．（2024·安徽·模拟预测）从 ， ， 这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作 和 ，则一次函
数 图象经过第二象限的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．（2024·吉林·模拟预测）如图是某函数的图象，当 时，若在该函数图象上可以找到n个不同的
点 ，使得 恒成立，则n的值不可能是（ ）
A．2 B．5 C．6 D．7
15．（2024·河北·模拟预测）下图表示光从空气进入水中的入水前与入水后的光路图，若按如图所示的方
式建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的函数解析式分别为 ， ，则关
于 与 的关系，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2024·浙江·模拟预测）我们常用 来表示实数a，b，c中最小的数，如 ．已知
x为实数，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
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二、填空题
17．（2024·全国·模拟预测）已知点 在正比例函数 的图像上，则 ．
18．（2024·广东·模拟预测）一个皮球从16m高处下落，第一次落地后反弹起8m，第二次落地后反弹起
4m，以后每次落地后反弹的高度都减半．请写出反弹高度h（单位：m）与落地次数n的对应关系的函数
解析式 ．
19．（2024·湖北·模拟预测）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，则关于
的方程 的解为 ．
20．（2024·山东济南·模拟预测）2024年五一期间，小亮一家驾车前往青岛旅游，在行驶过程中，汽车离
青岛崂山景区的路程y（ ）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，那么小亮从家到青岛崂
山景区一共用了 小时．
21．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数 向左平移 个单位，就是向下平移 个单位．
22．（2024·湖北·模拟预测）已知直线 的图象不经过第四象限，请任意写出一个符合条件的 的
值： ．
23．（2024·广西·模拟预测）点A(−m,2m+1)在函数 的图象上，则 ．
24．（2024·辽宁·模拟预测）如图，已知直线 ： ，直线 ： ，直线 与直线 交于
点A，与直线 交于点B，直线 与直线 交于点C，与直线 交于点D，连接 ，当 是等腰
直角三角形时， 的值为 ．
25．（2024·全国·模拟预测）现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄
水池中水的深度y（米）与注水时间x（时）之间的函数图象如图所示，当甲、乙两池中水的深度相同时，
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注水时间为 时．
26．（2024·江苏·模拟预测）根据图象获取信息：关于x的不等式 的解集是 ；关于x的不等式
的解集是 ；当 时，x的取值范围是 ．
27．（2024·上海·模拟预测）若正比例函数 过第二象限，则反比例函数 的图象在每个象限，
随x的增大而 （选填“增大”或“减小”）
28．（2024·北京·模拟预测）对于 条直线 ，满足 ，
，则这 条直线最多有 个交点．
三、解答题
29．（2024·河北·模拟预测）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为了解它们的运动性能，该
科技兴趣小组设计了5分钟定时跑测试．已知甲、乙同时出发，甲全程在它的“标准模式”下运动，乙开始
时在“基础模式”下运动，1分钟后出现故障，此时运动距离为 米，经过1分钟紧急调试，乙恢复正常并
切换到“全速模式”，已知“全速模式”的速度是“基础模式”速度的3倍，甲、乙两个机器人运动的路程
（米）与测试时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象回答下列问题：
(1)求出线段 和线段 的解析式；
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(2)求甲、乙两个机器人在什么时间相遇；
(3)当 时，求甲、乙两个机器人之间的距离不超过 米的时间有多少分钟？
30．（2024·陕西·模拟预测）2024年4月23 日是世界第29个读书日，为培养学生的阅读兴趣，某学校准
备购进甲、乙两种图书．经调查，甲种图书费用y（元）与购进数量x（本）之间的函数关系如图所示，乙
种图书每本25元．
(1)当 时，求y与x 之间的函数关系式；
(2)学校准备购进400本图书，且两种图书均不少于100本，如何购买，才能使总费用最少？最少总费用是
多少元？
31．（2024·北京·三模）在平面直角坐标 xOy中，函数 y=kx+b(k≠0)的图象经过点 和 ，
与过点 且平行于x轴的直线交于点 C．
(1)求该函数的解析式及点 C的坐标；
(2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 y=kx+b(k≠0)的值且小于5，直接写
出n的取值范围．
32．（2024·北京·模拟预测）如图，
(1)【提出问题】将一次函数 的图象沿着 轴向下平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达
式为______；
(2)【初步思考】将一次函数 的图象沿着 轴向左平移3个单位长度，求所得图象对应的函数表
达式，数学活动小组发现，图象的平移就是点的平移，因此，只需要在图象上任取两点 ， ，
将它们沿着 轴向左平移3个单位长度，得到点 ， 的坐标分别为______，从而求出经过点 ， 的直
线对应的函数表达式为______；
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(3)【深度思考】已知一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
①将一次函数 的图象关于 轴对称，求所得图象对应的函数表达式；
②如图①，将直线 绕点 逆时针旋转 ，求所得图象对应的函数表达式；
③如图②，将直线 绕点 逆时针旋转 ，求所得图象对应的函数表达式．
33．（2024·广东·模拟预测）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度？
素材1：如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩
短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短．总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的
长度忽略不计．
素材2：对该款单肩包的背带长度进行测量，设双层部分的长度是 ，单层部分的长度是 ，得到几
组数据如下表所示．
双层部分的长度 2 6 10 …
单层部分的长度
116 108 100 …
素材3：单肩包的最佳背带总长度与身高的比为 ．
素材4：小明爸爸准备购买此款单肩包．爸爸自然站立，将该单肩包的背带调节到最短提在手上（背带的
倾斜忽略不计），背带的悬挂点离地面的高度为 ；如图，已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为
，头顶到肩膀的垂直高度为身高的 ．
请根据以上素材，解答下列问题：
(1)如图，在平面直角坐标系中，以所测得数据中的x为横坐标，y为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑
曲线连接；根据图象思考与x之间的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
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(2)设人的身高为h，当单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，此时人的身高h与这款单肩包背带的
双层部分的长度x之间的函数表达式；
(3)当小明爸爸的单肩包的背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度．
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