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2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）
2．（5分）设z＝﹣3+2i，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），| |＝1，则 • ＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
4．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我
国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地
面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着
围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
2 2
质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律
1 2 2
和万有引力定律，r满足方程： + ＝（R+r） ．
设 ＝ ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ≈3 3，则r的近似值
α α α
为（ ）
A． R B． R C． R D． R
5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原
始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6．（5分）若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
7．（5分）设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
α β α βA． 内有无数条直线与 平行
B．α内有两条相交直线与β 平行
C．α， 平行于同一条直线β
D．α，β垂直于同一平面
α β
8．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1的一个焦点，则p＝（
）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（5分）下列函数中，以 为周期且在区间（ ， ）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
10．（5分）已知 （0， ），2sin2 ＝cos2 +1，则sin ＝（ ）
α∈ α α α
A． B． C． D．
11．（5分）设F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以
OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f
∈
（x）＝x（x﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m的取值范围是（
∈
）
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个
车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则
经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 ．
14．（5分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝
．15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝ ，则
△ABC的面积为 ．
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方
体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图
1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数
学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的
表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 个面，其棱长为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，
1 1 1 1 1
BE⊥EC ．
1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE＝A E，求二面角B﹣EC﹣C 的正弦值．
1 118．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换
发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设
甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在
某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
19．（12分）已知数列{a }和{b }满足a ＝1，b ＝0，4a ＝3a ﹣b +4，4b ＝3b ﹣a ﹣
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
4．
（1）证明：{a +b }是等比数列，{a ﹣b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式．
n n20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ ．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x 是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x ，lnx ）处的切线也是曲线
0 0 0
y＝ex的切线．
21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜
率之积为﹣ ．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连
结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ ， ）（ ＞0）在曲线C： ＝4sin 上，
0 0 0
直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为Pρ． θ ρ ρ θ
（1）当 ＝ 时，求 及l的极坐标方程；
0 0
θ ρ
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x （﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
∈2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣5x+6＞0}，B＝{x|x﹣1＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣2，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，+∞）
【分析】根据题意，求出集合A、B，由交集的定义计算可得答案．
【解答】解：根据题意，A＝{x|x2﹣5x+6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，
B＝{x|x﹣1＜0}＝{x|x＜1}，
则A∩B＝{x|x＜1}＝（﹣∞，1）；
故选：A．
【点评】本题考查交集的计算，关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（5分）设z＝﹣3+2i，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】求出z的共轭复数，根据复数的几何意义求出复数所对应点的坐标即可．
【解答】解：∵z＝﹣3+2i，
∴ ，
∴在复平面内 对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查共轭复数的代数表示及其几何意义，属基础题．
3．（5分）已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），| |＝1，则 • ＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【分析】由 ＝ 先求出 的坐标，然后根据| |＝1，可求t，结合向量数量积
定义的坐标表示即可求解．
【解答】解：∵ ＝（2，3）， ＝（3，t），
∴ ＝ ＝（1，t﹣3），
∵| |＝1，
∴t﹣3＝0即 ＝（1，0），
则 • ＝2
故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积 的定义及性质的坐标表示，属于基础试题
4．（5分）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我
国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地
面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着
围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行．L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球
2 2
质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R，L 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律
1 2 2
和万有引力定律，r满足方程： + ＝（R+r） ．
设 ＝ ．由于 的值很小，因此在近似计算中 ≈3 3，则r的近似值
α α α
为（ ）
A． R B． R C． R D． R
【分析】由 ＝ ．推导出 ＝ ≈3 3，由此能求出 r＝ R＝
α α α
．
【解答】解：∵ ＝ ．∴r＝ R，
α α
r满足方程： + ＝（R+r） ．
∴ ＝ ≈3 3，
α
∴r＝ R＝ ．
α
故选：D．
【点评】本题考查点到月球的距离的求法，考查函数在我国航天事业中的灵活运用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查运算求解能力，是中档题．
5．（5分）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原
始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有
效评分，
7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，
故选：A．
【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的
定义以及计算方法，属于基础题．
6．（5分）若a＞b，则（ ）
A．ln（a﹣b）＞0 B．3a＜3b C．a3﹣b3＞0 D．|a|＞|b|
【分析】取a＝0，b＝﹣1，利用特殊值法可得正确选项．
【解答】解：取a＝0，b＝﹣1，则
ln（a﹣b）＝ln1＝0，排除A；
，排除B；
a3＝03＞（﹣1）3＝﹣1＝b3，故C对；
|a|＝0＜|﹣1|＝1＝b，排除D．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，利用特殊值法可迅速得到正确选项，属基础题．
7．（5分）设 ， 为两个平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
A． 内有无α数条β直线与 平行 α β
B．α内有两条相交直线与β 平行
C．α， 平行于同一条直线β
D．α，β垂直于同一平面
【分α析】β充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
【解答】解：对于A， 内有无数条直线与 平行， ∩ 或 ∥ ；
对于B， 内有两条相交α直线与 平行， ∥β ； α β α β
对于C，α， 平行于同一条直线β， ∩ 或α β∥ ；
α β α β α β对于D， ， 垂直于同一平面， ∩ 或 ∥ ．
故选：B．α β α β α β
【点评】本题考查了充要条件的定义和面面平行的判定定理，考查了推理能力，属于基
础题．
8．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆 + ＝1的一个焦点，则p＝（
）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】解：由题意可得：3p﹣p＝（ ）2，解得p＝8．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
9．（5分）下列函数中，以 为周期且在区间（ ， ）单调递增的是（ ）
A．f（x）＝|cos2x| B．f（x）＝|sin2x| C．f（x）＝cos|x| D．f（x）＝sin|x|
【分析】根据正弦函数，余弦函数的周期性及单调性依次判断，利用排除法即可求解．
【解答】解：f（x）＝sin|x|不是周期函数，可排除D选项；
f（x）＝cos|x|的周期为2 ，可排除C选项；
π
f（x）＝|sin2x|在 处取得最大值，不可能在区间（ ， ）单调递增，可排除B．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦函数，余弦函数的周期性及单调性，考查了排除法的应用，
属于基础题．
10．（5分）已知 （0， ），2sin2 ＝cos2 +1，则sin ＝（ ）
α∈ α α α
A． B． C． D．
【分析】由二倍角的三角函数公式化简已知可得4sin cos ＝2cos2 ，结合角的范围可求
sin ＞0，cos ＞0，可得cos ＝2sin ，根据同角三角函α 数α基本关系α式即可解得sin 的值．
【解α答】解：α∵2sin2 ＝cos2α +1，α α
∴可得：4sin cos ＝2αcos2 ，α
α α α∵ （0， ），sin ＞0，cos ＞0，
α∈ α α
∴cos ＝2sin ，
∵sin2 α+cos2 α＝sin2 +（2sin ）2＝5sin2 ＝1，
α α α α α
∴解得：sin ＝ ．
α
故选：B．
【点评】本题主要考查了二倍角的三角函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数
化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
11．（5分）设F为双曲线C： ﹣ ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以
OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】由题意画出图形，先求出PQ，再由|PQ|＝|OF|列式求C的离心率．
【解答】解：如图，
由题意，把x＝ 代入x2+y2＝a2，得PQ＝ ，
再由|PQ|＝|OF|，得 ，即2a2＝c2，
∴ ，解得e＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x （0，1]时，f
∈（x）＝x（x﹣1）．若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m的取值范围是（
∈
）
A．（﹣∞， ] B．（﹣∞， ] C．（﹣∞， ] D．（﹣∞， ]
【分析】因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），分段求解析式，结合图象可
得．
【 解 答 】 解 ： 因 为 f （ x+1 ） ＝ 2f （ x ） ， ∴ f （ x ） ＝ 2f （ x﹣ 1 ） ，
∵x （0，1]时，f（x）＝x（x﹣1） [﹣ ，0]，
∈ ∈
∴x （1，2]时，x﹣1 （0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2） [﹣ ，0]；
∈ ∈ ∈
∴x （2，3]时，x﹣1 （1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3） [﹣1，0]，
∈ ∈ ∈
当x （2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣ 解得x＝ 或x＝ ，
∈
若对任意x （﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣ ，则m≤ ．
∈故选：B．
【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10个
车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则
经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.9 8 ．
【分析】利用加权平均数公式直接求解．
【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
＝ （10×0.97+20×0.98+10×0.99）＝0.98．
故答案为：0.98．
【点评】本题考查经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值的求法，考查加权
平均数公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝
﹣ 3 ．
【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，对数的运算性质，属于基础题．
15．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝6，a＝2c，B＝ ，则
△ABC的面积为 ．
【分析】利用余弦定理得到c2，然后根据面积公式S△ABC ＝ acsinB＝c2sinB求出结果即
可．
【解答】解：由余弦定理有b2＝a2+c2﹣2accosB，∵b＝6，a＝2c，B＝ ，
∴36＝（2c）2+c2﹣4c2cos ，
∴c2＝12，
∴S△ABC ＝ ，
故答案为：6 ．
【点评】本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
16．（5分）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方
体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图
1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数
学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的
表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 26 个面，其棱长为 ﹣ 1
．
【分析】中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1，个面，下层也有8+1个
面，故共有 26个面；半正多面体的棱长为中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的
cos45°＝ 倍．
【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2＝26个面，设其棱长为x，则x+ x+ x＝
1，解得x＝ ﹣1．
故答案为：26， ﹣1．
【点评】本题考查了球内接多面体，属中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）如图，长方体ABCD﹣A B C D 的底面ABCD是正方形，点E在棱AA 上，
1 1 1 1 1
BE⊥EC ．
1
（1）证明：BE⊥平面EB C ；
1 1
（2）若AE＝A E，求二面角B﹣EC﹣C 的正弦值．
1 1
【分析】（1）推导出B C ⊥BE，BE⊥EC ，由此能证明BE⊥平面EB C ．
1 1 1 1 1
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B
﹣EC﹣C 的正弦值．
1
【解答】证明：（1）长方体ABCD﹣A B C D 中，B C ⊥平面ABA B ，
1 1 1 1 1 1 1 1
∴B C ⊥BE，∵BE⊥EC ，
1 1 1
∴BE⊥平面EB C ．
1 1
解：（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AE＝A E＝1，∵BE⊥平面EB C ，∴BE⊥EB ，∴AB＝1，
1 1 1 1
则E（1，1，1），A（1，1，0），B （0，1，2），C （0，0，2），C（0，0，0），
1 1
∵BC⊥EB ，∴EB ⊥面EBC，
1 1
故取平面EBC的法向量为 ＝ ＝（﹣1，0，1），
设平面ECC 的法向量 ＝（x，y，z），
1
由 ，得 ，取x＝1，得 ＝（1，﹣1，0），∴cos＜ ＞＝ ＝﹣ ，
∴二面角B﹣EC﹣C 的正弦值为 ．
1
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线
面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．
18．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换
发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设
甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在
某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．
（1）求P（X＝2）；
（2）求事件“X＝4且甲获胜”的概率．
【分析】（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件A （k＝1，2，3，…），则
k
P（X＝2）＝P（A A ）+P（ ）＝P（A ）P（A ）+P（ ）P（ ），由此能求
1 2 1 2
出结果．
（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（ A A A ）+P（ ）＝P（ ）P（A ）P
2 3 4 2
（A ）P（A ）+P（A ）P（ ）P（A ）P（A ），由此能求出事件“X＝4且甲获胜”
3 4 1 3 4
的概率．
【解答】解：（1）设双方 10：10 平后的第 k 个球甲获胜为事件 A （k＝1，2，
k3，…），
则P（X＝2）＝P（A A ）+P（ ）
1 2
＝P（A ）P（A ）+P（ ）P（ ）
1 2
＝0.5×0.4+0.5×0.6＝0.5．
（2）P（X＝4且甲获胜）＝P（ A A A ）+P（ ）
2 3 4
＝P（ ）P（A ）P（A ）P（A ）+P（A ）P（ ）P（A ）P（A ）
2 3 4 1 3 4
＝（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4＝0.1．
【点评】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理
能力与计算能力，是中档题．
19．（12分）已知数列{a }和{b }满足a ＝1，b ＝0，4a ＝3a ﹣b +4，4b ＝3b ﹣a ﹣
n n 1 1 n+1 n n n+1 n n
4．
（1）证明：{a +b }是等比数列，{a ﹣b }是等差数列；
n n n n
（2）求{a }和{b }的通项公式．
n n
【分析】（1）定义法证明即可；
（2）由（1）结合等差、等比的通项公式可得
【解答】解：（1）证明：∵4a ＝3a ﹣b +4，4b ＝3b ﹣a ﹣4；
n+1 n n n+1 n n
∴4（a +b ）＝2（a +b ），4（a ﹣b ）＝4（a ﹣b ）+8；
n+1 n+1 n n n+1 n+1 n n
即a +b ＝ （a +b ），a ﹣b ＝a ﹣b +2；
n+1 n+1 n n n+1 n+1 n n
又a +b ＝1，a ﹣b ＝1，
1 1 1 1
∴{a +b }是首项为1，公比为 的等比数列，
n n
{a ﹣b }是首项为1，公差为2的等差数列；
n n
（2）由（1）可得：a +b ＝（ ）n﹣1，
n n
a ﹣b ＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
n n
∴a ＝（ ）n+n﹣ ，
n
b ＝（ ）n﹣n+ ．
n【点评】本题考查了等差、等比数列的定义和通项公式，是基础题
20．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ ．
（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；
（2）设x 是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x ，lnx ）处的切线也是曲线
0 0 0
y＝ex的切线．
【分析】（1）讨论f（x）的单调性，求函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间
求零点个数，
（2）运用曲线的切线方程定义可证明．
【解答】解析：（1）函数f（x）＝lnx﹣ ．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；
f′（x）＝ + ＞0，（x＞0且x≠1），
∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，
在（0，1）区间取值有 ， 代入函数，由函数零点的定义得，
①
∵f（ ）＜0，f（ ）＞0，f（ ）•f（ ）＜0，
∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，
在（1，+∞）区间，区间取值有e，e2代入函数，由函数零点的定义得，
②又∵f（e）＜0，f（e2）＞0，f（e）•f（e2）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，
故f（x）在定义域内有且仅有两个零点；
（2）x 是f（x）的一个零点，则有lnx ＝ ，
0 0
曲线y＝lnx，则有y′＝ ；
曲线y＝lnx在点A（x ，lnx ）处的切线方程为：y﹣lnx ＝ （x﹣x ）
0 0 0 0
即：y＝ x﹣1+lnx
0
即：y＝ x+而曲线y＝ex的切线在点（ln ， ）处的切线方程为：y﹣ ＝ （x﹣ln ），
即：y＝ x+ ，故曲线y＝lnx在点A（x ，lnx ）处的切线也是曲线y＝ex的切线．
0 0
故得证．
【点评】本题考查f（x）的单调性，函数导数，在定义域内根据函数零点大致区间求零
点个数，以及利用曲线的切线方程定义证明．
21．（12分）已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜
率之积为﹣ ．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连
结QE并延长交C于点G．
（i）证明：△PQG是直角三角形；
（ii）求△PQG面积的最大值．
【分析】（1）利用直接法不难得到方程；
（2）（i）设P（x ，y ），则Q（﹣x ，﹣y ），E（x ，0），利用直线QE的方程与椭
0 0 0 0 0
圆方程联立求得G点坐标，去证PQ，PG斜率之积为﹣1；
（ii）利用S＝ ，代入已得数据，并对 换元，利用“对号”
函数可得最值．
【解答】解：（1）由题意得 ，
整理得曲线C的方程： ，
∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；（2）
（i）设P（x ，y ），则Q（﹣x ，﹣y ），
0 0 0 0
E（x ，0），G（x ，y ），
0 G G
∴直线QE的方程为： ，
与 联立消去y，
得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴
＝＝
＝ ，
把 代入上式，
得k ＝
PG
＝
＝﹣ ，
∴k ×k ＝ ＝﹣1，
PQ PG
∴PQ⊥PG，
故△PQG为直角三角形；
（ii）S△PQG ＝
＝
＝
＝
＝
＝＝
＝
＝
＝
令t＝ ，则t≥2，
S△PQG ＝ ＝
利用“对号”函数f（t）＝2t+ 在[2，+∞）的单调性可知，
f（t） （t＝2时取等号），
∴ ＝ （此时 ），
故△PQG面积的最大值为 ．
【点评】此题考查了直接法求曲线方程，直线与椭圆的综合，换元法等，对运算能力考
查尤为突出，难度大．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的
第一题计分。
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在极坐标系中，O为极点，点M（ ， ）（ ＞0）在曲线C： ＝4sin 上，
0 0 0
直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为Pρ． θ ρ ρ θ（1）当 ＝ 时，求 及l的极坐标方程；
0 0
θ ρ
（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【分析】（1）把 ＝ 直接代入 ＝4sin 即可求得 ，在直线l上任取一点（ ，
0 0
θ ρ θ ρ ρ
），利用三角形中点边角关系即可求得l的极坐标方程；
θ（2）设P（ ， ），在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．
ρ θ
【解答】解：（1）当 ＝ 时， ，
0
θ
在直线l上任取一点（ ， ），则有 ，
ρ θ
故l的极坐标方程为有 ；
（2）设P（ ， ），则在Rt△OAP中，有 ＝4cos ，
ρ θ ρ θ
∵P在线段OM上，∴ [ ， ]，
θ∈
故P点轨迹的极坐标方程为 ＝4cos ， [ ， ]．
ρ θ θ∈
【点评】本题考查解得曲线的极坐标方程及其应用，画图能够起到事半功倍的作用，是
基础题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）当x （﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．
【分析】（∈1）将a＝1代入得f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），然后分x＜1和x≥1两种
情况讨论f（x）＜0即可；
（2）根据条件分a≥1和a＜1两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），
∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）＝﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；当x≥1时，f（x）＝（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x ；
综上，不等式的解集为（﹣∞，1）； ∈∅
（2）当a≥1时，f（x）＝2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x （﹣∞，1）上恒成立；
当a＜1时，x （a，1），f（x）＝2（x﹣a）＞0，不满∈足题意，
∴a的取值范围∈为：[1，+∞）
【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．
