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专题 17 几何压轴题
考点 1 几何压轴题
一、单选题
1．（2023年北京市中考数学真题）如图，点A、B、C在同一条线上，点B在点A，C之间，点D，E在直
线AC同侧， ， ， ，连接DE，设 ， ， ，给出
下面三个结论：① ；② ；③ ；
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，由 ，可得
，进而可判断①的正误；由 ，可得 ， ， ，
，则 ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，
，由 ，可得 ，进而可判断②的正误；由勾股定理
得 ，即 ，则 ，进而可判断③的正误．
【详解】解：如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
∵ ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
由勾股定理得 ，即 ，
∴ ，③正确，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性
质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2023年天津市中考数学真题）如图，把 以点A为中心逆时针旋转得到 ，点B，C的对应
点分别是点D，E，且点E在 的延长线上，连接 ，则下列结论一定正确的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质即可解答．
【详解】根据题意，由旋转的性质，
可得 ， ， ，故B选项和D选项不符合题意，
，故C选项不符合题意，
，故A选项符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．
3．（2023年河北省中考数学真题）如图，直线 ，菱形 和等边 在 ， 之间，点A，F
分别在 ， 上，点B，D，E，G在同一直线上：若 ， ，则 （ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，由平角的定义求得 ，由外角定理求得，
，根据平行性质，得 ，进而求得
．
【详解】如图，∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定
角之间的数量关系是解题的关键．
4．（2023年山西省中考数学真题）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房
的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点 均为正六
边形的顶点．若点 的坐标分别为 ，则点 的坐标为（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M
的坐标．
【详解】解：连接 ，如图，设正六边形的边长为a，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点P的坐标为 ，
∴ ，
即 ；
∴ ， ，
∴点M的坐标为 ．
故选：A．
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【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握
这些知识是解题的关键．
5．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图， 是锐角三角形 的外接圆，
，垂足分别为 ，连接 ．若 的周长为
21，则 的长为（ ）
A．8 B．4 C．3.5 D．3
【答案】B
【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是 的中点，再由中位线的性质及三角
形的周长求解即可．
【详解】解：∵ 是锐角三角形 的外接圆， ，
∴点D、E、F分别是 的中点，
∴ ，
∵ 的周长为21，
∴ 即 ，
∴ ，
故选：B．
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【点睛】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是
解题关键．
6．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，用直尺和圆规作 的角平分线，根据作图痕迹，下
列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可得 ，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得 ，故A，C正确；
∴ 在 的垂直平分线上，
∴ ，故D选项正确，
而 不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
7．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，动点M，N分别从
点A，B同时出发，沿射线 ，射线 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接 ， ， ．
设点M运动的路程为 ， 的面积为 ，下列图像中能反映 与 之间函数关系的是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据 ，求出 与 之间函数关系式，再判断即可得出结论．
【详解】解： ，
，
，
，
故 与 之间函数关系为二次函数，图像开口向上， 时，函数有最小值6，
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出 与 之间函数关系式，
再判断 与 之间函数类型．
8．（2023年上海市中考数学真题）已知在梯形 中，连接 ，且 ，设
．下列两个说法：
① ；②
则下列说法正确的是（ ）
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A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误
【答案】D
【分析】根据已知及结论，作出图形，进而可知当梯形 为等腰梯形，即 ， 时，①
；② ，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案．
【详解】解：过 作 ，交 延长线于 ，如图所示：
若梯形 为等腰梯形，即 ， 时，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，即 ，
又 ，
，
在 中， ， ，则 ，
，此时①正确；
过 作 于 ，如图所示：
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在 中， ， ， ，则 ，
，
，此时②正确；
而题中，梯形 是否为等腰梯形，并未确定；梯形 是 还是 ，并未确定，
无法保证①②正确，
故选：D．
【点睛】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、
勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键．
9．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图 中， ， 为
中点，若点 为直线 下方一点，且 与 相似，则下列结论：①若 ， 与 相
交于 ，则点 不一定是 的重心；②若 ，则 的最大值为 ；③若
，则 的长为 ；④若 ，则当 时， 取得最大值．
其中正确的为（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
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【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出 的重心，即可求解；当 ， 时， 取
得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得 的长，即可求解；③如图5，若 ，
，根据相似三角形的性质求得 ， ， ，进而求得 ，即可
求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出 ，在 中， ，根据二次函数
的性质，即可求 取得最大值时， ．
【详解】①有3种情况，如图 ， 和 都是中线，点 是重心；
如图 ，四边形 是平行四边形， 是 中点，点 是重心；
如图 ，点 不是 中点，所以点 不是重心；
①正确
②当 ，如图 时 最大， ，
， ， ，
，
，
②错误；
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③如图5，若 ， ，
∴ ， ， ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴③错误；
④如图6， ，
∴ ，
即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 最大为5，
∴④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画
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出图形是解题的关键．
10．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）如图，在 中， 是边 上的点（不与点 ， 重合）．
过点 作 交 于点 ；过点 作 交 于点 ． 是线段 上的点， ；
是线段 上的点， ．若已知 的面积，则一定能求出（ ）
A． 的面积 B． 的面积
C． 的面积 D． 的面积
【答案】D
【分析】如图所示，连接 ，证明 ，得出 ，由已知得出 ，则
，又 ，则 ，进而得出 ，可得 ，结合题
意得出 ，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∵ ， ，
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∴ ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性
质，等面积转换．
11．（2023年安徽中考数学真题）如图， 是线段 上一点， 和 是位于直线 同侧的两个
等边三角形，点 分别是 的中点．若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为
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C． 周长的最小值为6 D．四边形 面积的最小值为
【答案】A
【分析】延长 ，则 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当 点与 重合时，
则 三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解．
【详解】解：如图所示，
延长 ，
依题意
∴ 是等边三角形，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
则 为 的中点
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如图所示，
设 的中点分别为 ，
则
∴当 点在 上运动时， 在 上运动，
当 点与 重合时，即 ，
则 三点共线， 取得最小值，此时 ，
则 ，
∴ 到 的距离相等，
则 ，
此时
此时 和 的边长都为2，则 最小，
∴ ，
∴
∴ ，
或者如图所示，作点 关于 对称点 ，则 ，则当 三点共线时，
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此时
故A选项错误，
根据题意可得 三点共线时， 最小，此时 ，则 ，故B选项正确；
周长等于 ，
即当 最小时， 周长最小，
如图所示，作平行四边形 ，连接 ，
∵ ，则
如图，延长 , ，交于点 ，
则 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 与 中，
∴
∴
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∴
∴
∴ ，则 ，
∴ 是直角三角形，
在 中，
∴当 时， 最短，
∵
∴ 周长的最小值为 ，故C选项正确；
∵
∴四边形 面积等于
∴当 的面积为0时，取得最小值，此时， 重合， 重合
∴四边形 面积的最小值为 ，故D选项正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当
点与 重合时得出最小值是解题的关键．
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12．（2022·江苏南京·统考中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示， ， ， ，四边
形 是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点 距离最大的是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【分析】根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大
小即可．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∵四边形 是正方形，将其折叠成直三棱柱，
∴直棱柱的高 ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴选B．
【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的
关键．
13．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图，直线 ，直线 、 与 、 、 分别交于点 、 、
和点 、 、 ，若 ， ，则 的长是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC=DE：EF，再求出答案即可．
【详解】解：∵l∥l∥l，
1 2 3
∴AB：BC=DE：EF，
∵AB：BC=2：3，EF=9，
∴2：3= DE：EF，
∴DE=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解题
的关键．
14．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中点A′
与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为
（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】A
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【分析】先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理和角的和差可得
，最后在 中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
则在 中， ，
故选：A．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角
形的性质是解题关键．
15．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 是线段 的三等分点，且靠近点 ， 的两边与线段 分别交于点 、 ，连
接 分别交 、 于点 、 ．若 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出 的长，再根据相似三角形的性质得到 ，从而
求得 的长，过 作 于 ，则四边形 是矩形，可得 、 的长，进一步由勾股定
理可求出 的长，进而求得 的长，然后根据 可得 的值，再由相似三角形的性质列
方程即可求得结果．
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【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴设 ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，解得： ，∴ ，
故选B．
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【点睛】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、矩形的判定和性质，
熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
二、填空题
16．（2023年北京市中考数学真题）如图， 是 的半径， 是 的弦， 于点D， 是
的切线， 交 的延长线于点E．若 ， ，则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】根据 ，得出 ， ，根据等腰直角三角形的性质得出
，即 ，根据 ， ，得出 为等腰直角三角形，
即可得出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
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∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，切线的性质，解题的关键是熟练掌握
垂径定理，得出 ．
17．（2023年天津市中考数学真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形 内接
于圆，且顶点A，B均在格点上．
（1）线段 的长为 ；
（2）若点D在圆上， 与 相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使
为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】(1)
(2)画图见解析；如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接 与
网格线相交于点H，连接 并延长与网格线相交于点I，连接 并延长与圆相交于点K，连接 并延长
与 的延长线相交于点Q，则点Q即为所求
【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可；
（2）取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点M，连接 ；连接 与网格线
相交于点G，连接 并延长与网格线相交于点H，连接 并延长与圆相交于点I，连接 并延长与
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的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接 ， ，过点E作 网格线，过点G作 网格
线，由图可得 ，根据全等三角形的性质可得 和 ，
根据同弧所对圆周角相等可得 ，进而得到 和 ，再通过证明
即可得到结论．
【详解】（1）解： ；
故答案为： ．
（2）解：如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接 与网格
线相交于点H，连接 并延长与网格线相交于点I，连接 并延长与圆相交于点K，连接 并延长与
的延长线相交于点Q，则点Q即为所求；
连接 ， ，过点E作 网格线，过点G作 网格线，
由图可得：∵ ， ， ，
∴ ，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ 是等边三角形，此时点Q即为所求；
故答案为：如图，取 与网格线的交点E，F，连接 并延长与网格线相交于点G；连接 与网格
线相交于点H，连接 并延长与网格线相交于点I，连接 并延长与圆相交于点K，连接 并延长与
的延长线相交于点Q，则点Q即为所求．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解
题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键．
18．（2023年河北省中考数学真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六
边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图
2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中
（1） 度．
（2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．
【答案】
【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解；
（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求
，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出 即可求解．
【详解】解：（1）作图如下：
根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得 ，
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，
故答案为： ；
（2）取中间正六边形的中心为 ，作如下图形，
由题意得： ， , ，
四边形 为矩形，
，
，
，
，
在 中， ，
由图1知 ，
由正六边形的结构特征知： ，
，
，
，
又 ，
，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含 度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解
直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征．
19．（2023年山西省中考数学真题）如图，在四边形 中， ，对角线 相交于点 ．
若 ，则 的长为 ．
【答案】 /
【分析】过点A作 于点H，延长 ， 交于点E，根据等腰三角形性质得出
，根据勾股定理求出 ，证明 ，得出 ，
根据等腰三角形性质得出 ，证明 ，得出 ，求出 ，根据勾股定理求
出 ，根据 ，得出 ，即 ，求出结果即
可．
【详解】解：过点A作 于点H，延长 ， 交于点E，如图所示：
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则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ．
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故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，
相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线分线段成比例定理
及相似三角形的判定与性质．
20．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图， 是正五边形 的对角线， 与 相
交于点 ．下列结论：
① 平分 ； ② ； ③四边形 是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和
性质，菱形的判定依次证明即可．
【详解】解：①∵正五边形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；正确；
②∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
即 ，故②错误；
③∵ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是菱形；正确；
④∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，正确；
故答案为：①③④．
【点睛】题目主要考查正多边形的性质及相似三角形、菱形的判定和性质，熟练掌握运用这些知识点是解
题关键．
21．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）如图，在正方形 中， ，延长 至 ，使 ，
连接 ， 平分 交 于 ，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】如图，过 作 于 ， 于 ，由 平分 ，可知 ，
可得四边形 是正方形， ，设 ，则 ，证明
，则 ，即 ，解得 ， ，由勾股定理得
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，计算求解即可．
【详解】解：如图，过 作 于 ， 于 ，则四边形 是矩形， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ，
由勾股定理得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识
的熟练掌握与灵活运用．
22．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图，将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折
痕为 ，展开后，再将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，则
的大小为 度．
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【答案】
【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为 ，根据折叠的性质求得
在 中，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为 ，
将正五边形纸片 折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，
则 ，
∵将纸片折叠，使边 落在线段 上，点 的对应点为点 ，折痕为 ，
∴ ， ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
23．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在
轴上， ，连接 ，过点O作 于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作
于点 ，过点 作 轴于点 ；过点 作 于点 ，过点 作 轴于点
；…；按照如此规律操作下去，则点 的坐标为 ．
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【答案】
【分析】根据题意，结合图形依次求出 的坐标，再根据其规律写出 的坐标即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在 轴上，点B在 轴上， ，
是等腰直角三角形， ，
，
是等腰直角三角形，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
，
根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，
依次可得：
由此可推出：点 的坐标为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形
的性质，解题的关键是依次求出 的坐标，找出其坐标的规律．
24．（2023年上海市中考数学真题）在 中 ，点D在边 上，点E在 延
长线上，且 ，如果 过点A， 过点D，若 与 有公共点，那么 半径r的取值范围是
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．
【答案】
【分析】先画出图形，连接 ，利用勾股定理可得 ， ，从而可得 ，
再根据 与 有公共点可得一个关于 的不等式组，然后利用二次函数的性质求解即可得．
【详解】解：由题意画出图形如下：连接 ，
过点 ，且 ，
的半径为7，
过点 ，它的半径为 ，且 ，
，
，
， ，
在边 上，点 在 延长线上，
，即 ，
，
与 有公共点，
，即 ，
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不等式①可化为 ，
解方程 得： 或 ，
画出函数 的大致图象如下：
由函数图象可知，当 时， ，
即不等式①的解集为 ，
同理可得：不等式②的解集为 或 ，
则不等式组的解集为 ，
又 ，
半径r的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式，根据圆与圆的位置关系正确建立
不等式组是解题关键．
25．（2023年安徽中考数学真题）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出
的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出
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了一个结论：如图， 是锐角 的高，则 ．当 ， 时，
．
【答案】
【分析】根据公式求得 ，根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的高的定义，正确的使用公式是解题的关键．
26．（2023年江西省中考数学真题）如图，在 中， ，将 绕点 逆时针旋
转角 （ ）得到 ，连接 ， ．当 为直角三角形时，旋转角 的度数为 ．
【答案】 或 或
【分析】连接 ，根据已知条件可得 ，进而分类讨论即可求解．
【详解】解：连接 ，取 的中点 ，连接 ，如图所示，
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∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
如图所示，当点 在 上时，此时 ，则旋转角 的度数为 ，
当点 在 的延长线上时，如图所示，则
当 在 的延长线上时，则旋转角 的度数为 ，如图所示，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵
∴四边形 是矩形，
∴
即 是直角三角形，
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综上所述，旋转角 的度数为 或 或
故答案为： 或 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性
质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
27．（2022·江苏南京·统考中考真题）如图，四边形 内接于 ，它的3个外角 ， ，
的度数之比为 ，则 ．
【答案】 /72度
【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出 ，再根据平角的定义求解．
【详解】解：如图，延长 到H，
四边形 内接于 ，
，
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，
， ， 的度数之比为 ，
， ， ， 的度数之比为 ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度．
28．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图， ， ， 是 上的三个点， ，则 的度数
为 ．
【答案】
【分析】根据圆周角定理求得 ，进而根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求得 的度
数
【详解】 ，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
29．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
， ，点P是AC上一动点，点E是AB的中点，则 的最小值为 ．
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【答案】 ．
【分析】连接DE，依据菱形的性质即可计算得到DE的长，再根据线段的性质，即可得到PD+PE的最小
值为DE的长．
【详解】如图，连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，即 是等边三角形，
又∵E是AB的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的最小值为DE的长，
即 的最小值为 ，
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故答案为： ．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，关键是掌握菱形的性质以及线段的性质：两点之间，线段最短．
30．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图， 、 都是等腰直角三角形， ， ，
， ．将 绕点 逆时针方向旋转后得 ，当点 恰好落在线段 上时，则
．
【答案】
【分析】如图，连接 ，易求得 ， ，根据旋转的性质得到 ，
， ，由全等三角形的性质得到 ，过 作 于 ，
解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 、 都是等腰直角三角形， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵将 绕点 逆时针方向旋转后得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过 作 于 ，
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在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和解直角三角形等知
识，熟练掌握旋转的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
31．（2023年北京市中考数学真题）在 中、 ， 于点M，D是线
段 上的动点（不与点M，C重合），将线段 绕点D顺时针旋转 得到线段 ．
(1)如图1，当点E在线段 上时，求证：D是 的中点；
(2)如图2，若在线段 上存在点F（不与点B，M重合）满足 ，连接 ， ，直接写出
的大小，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）由旋转的性质得 ， ，利用三角形外角的性质求出 ，
可得 ，等量代换得到 即可；
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（2）延长 到H使 ，连接 ， ，可得 是 的中位线，然后求出 ，
设 ， ，求出 ，证明 ，得到 ，再根据等腰
三角形三线合一证明 即可．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即D是 的中点；
（2） ；
证明：如图2，延长 到H使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
由旋转的性质得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是等腰三角形，
∴ ， ，
设 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
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∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及
全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
32．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据 平分
，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
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，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
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∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度角
的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
33．（2023年天津市中考数学真题）在平面直角坐标系中，O为原点，菱形 的顶点
，矩形 的顶点 ．
(1)填空：如图①，点C的坐标为________，点G的坐标为________；
(2)将矩形 沿水平方向向右平移，得到矩形 ，点E，F，G，H的对应点分别为 ， ，
， ．设 ，矩形 与菱形 重叠部分的面积为S．
①如图②，当边 与 相交于点M、边 与 相交于点N，且矩形 与菱形 重叠部分
为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围：
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②当 时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】(1) ， ．
(2)① ；②
【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；
（2）①由题意易得 ，然后可得 ，则有 ，进而根据割补
法可进行求解面积S；②由①及题意可知当 时，矩形 和菱形 重叠部分的面积
是增大的，当 时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是减小的，然后根据题
意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，且 ，
∴ ，
∴ ；
连接 ，交于一点H，如图所示：
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∵四边形 是菱形，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ， ；
（2）解：①∵点 ，点 ，点 ，
∴矩形 中， 轴， 轴， ．
∴矩形 中， 轴， 轴， ．
由点 ，点 ，得 ．
在 中， ，得 ．
在 中，由 ，得 ．
∴ ．同理，得 ．
∵ ，得 ．
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又 ，
∴ ，
当 时，则矩形 和菱形 重叠部分为 ，
∴ 的取值范围是 ．
②由①及题意可知当 时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是增大的，当
时，矩形 和菱形 重叠部分的面积 是减小的，
∴当 时，矩形 和菱形 重叠部分如图所示：
此时面积S最大，最大值为 ；
当 时，矩形 和菱形 重叠部分如图所示：
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由（1）可知B、D之间的水平距离为 ，则有点D到 的距离为 ，
由①可知： ，
∴矩形 和菱形 重叠部分为等边三角形，
∴该等边三角形的边长为 ，
∴此时面积S最小，最小值为 ；
综上所述：当 时，则 ．
【点睛】本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函
数、图形与坐标是解题的关键．
34．（2023年河北省中考数学真题）如图1和图2，平面上，四边形 中，
，点 在 边上，且 ．将线段 绕点 顺时针旋
转 到 的平分线 所在直线交折线 于点 ，设点 在该折线上运动的
路径长为 ，连接 ．
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(1)若点 在 上，求证： ；
(2)如图2．连接 ．
①求 的度数，并直接写出当 时， 的值；
②若点 到 的距离为 ，求 的值；
(3)当 时，请直接写出点 到直线 的距离．（用含 的式子表示）．
【答案】(1)见解析
(2)① ， ；② 或
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到 ， ，然后证明出
，即可得到 ；
（2）①首先根据勾股定理得到 ，然后利用勾股定理的逆定理即可求出 ；
首先画出图形，然后证明出 ，利用相似三角形的性质求出 ， ，然后证明出
，利用相似三角形的性质得到 ，进而求解即可；
②当 点在 上时， ， ，分别求得 ，根据正切的定义即可求解；②当
在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，证明
，得出 ， ，进而求得 ，证明 ，即可求解；
（3）如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
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证明 ，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）∵将线段 绕点 顺时针旋转 到 ，
∴
∵ 的平分线 所在直线交折线 于点 ，
∴
又∵
∴
∴ ；
（2）①∵ ， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
如图所示，当 时，
∵ 平分
∴
∴
∴
∴
∵ ，
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∴
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，即
∴解得
∴ ．
②如图所示，当 点在 上时， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴
∴ ；
如图所示，当 在 上时，则 ，过点 作 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长
线于点 ，
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∵ ，
∴ ，
∴
∴
即
∴ ， ，
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∴
∴
解得：
∴ ，
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综上所述， 的值为 或 ；
（3）解：∵当 时，
∴ 在 上，
如图所示，过点 作 交 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，设 ，
即
∴ ，
∴
整理得
即点 到直线 的距离为 ．
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【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练
掌握以上知识且分类讨论是解题的关键．
35．（2023年山西省中考数学真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩
形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为 和 ，其中
．将 和 按图2所示方式摆放，其中点 与点 重合（标记为点
）．当 时，延长 交 于点 ．试判断四边形 的形状，并说明理由．
(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；
(2)深入探究：老师将图2中的 绕点 逆时针方向旋转，使点 落在 内部，并让同学们提出新
的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当 时，过点 作 交 的延长线于点
与 交于点 ．试猜想线段 和 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；
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②“智慧小组”提出问题：如图4，当 时，过点 作 于点 ，若 ，
求 的长．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】(1)正方形，见解析
(2)① ，见解析；②
【分析】（1）先证明四边形 是矩形，再由 可得 ，从而得四边形 是正
方形；
（2）①由已知 可得 ，再由等积方法 ，再结合已知
即可证明结论；②设 的交点为M，过M作 于G，则易得 ，点G是 的中点；
利用三角函数知识可求得 的长，进而求得 的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形 为正方形．理由如下：
∵ ，
∴ ．
∵ ，
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∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∵ ，
∴ ．
∴矩形 为正方形．
（2）：① ．
证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由（1）得 ，
∴ ．
②解：如图：设 的交点为M，过M作 于G，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点G是 的中点；
由勾股定理得 ，
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∴ ；
∵ ，
∴ ，即 ；
∴ ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 的长为 ．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与
性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
36．（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，在菱形 中，对角线 相交于点 ，点
分别是边 ，线段 上的点，连接 与 相交于点 ．
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(1)如图1，连接 ．当 时，试判断点 是否在线段 的垂直平分线上，并说明理由；
(2)如图2，若 ，且 ，
①求证： ；
②当 时，设 ，求 的长（用含 的代数式表示）．
【答案】(1)点 在线段 的垂直平分线上
(2)①证明见解析，②
【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出 ，再由各角之间的关系得出 ，
由含30度角的直角三角形的性质求解即可；③连接 ．利用等边三角形的判定和性质得出
，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，点 在线段 的垂直平分线上．
理由如下：连接 ．
∵四边形 是菱形，对角线 相交于点 ，
．
，
，
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∴点 在线段 的垂直平分线上．
（2）①证明：如图，∵四边形 是菱形，
，
， ，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在 中， ，
．
．
，
；
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②如图，连接 ．
，
∴ 是等边三角形．
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
，
．
， ，
，
．
，
，
．
在 中， ，
由勾股定理得 ，
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．
【点睛】题目主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质及解直角三
角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
37．（2023年辽宁省大连市中考数学真题）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知 ，点 为 上一动点，将 以 为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下
探究：
独立思考：小明：“当点 落在 上时， ．”
小红：“若点 为 中点，给出 与 的长，就可求出 的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：
问题1：在等腰 中， 由 翻折得到．
（1）如图1，当点 落在 上时，求证： ；
（2）如图2，若点 为 中点， ，求 的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成 的等腰三角形，可以将问题进一
步拓展．
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问题2：如图3，在等腰 中， ．若 ，则求 的长．
【答案】（1）见解析；（2） ；问题2：
【分析】（1）根据等边对等角可得 ，根据折叠以及三角形内角和定理，可得
，根据邻补角互补可得 ，即可得证；
（2）连接 ，交 于点 ，则 是 的中位线，勾股定理求得 ，根据 即
可求解；
问题2：连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据已知条件可得 ，
则四边形 是矩形，勾股定理求得 ，根据三线合一得出 ，根据勾股定理求得 的长，即
可求解．
【详解】（1）∵等腰 中， 由 翻折得到
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）如图所示，连接 ，交 于点 ，
∵折叠，
∴ ， ， ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
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在 中， ，
在 中， ，
∴ ；
问题2：如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是矩形，
则 ，
在 中， ， , ，
∴ ，
在 中， ，
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∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
38．（2023年北京市中考数学真题）如图，圆内接四边形 的对角线 ， 交于点 ， 平分
， ．
(1)求证 平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交 的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明 平分 ，进而根据 平分
，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得 ；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得 ，在
中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
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∴ ，即 平分 ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
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∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含 度角
的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
39．（2023年吉林省长春市中考数学真题）如图①．在矩形 ． ，点 在边 上，
且 ．动点 从点 出发，沿折线 以每秒 个单位长度的速度运动，作 ，
交边 或边 于点 ，连续 ．当点 与点 重合时，点 停止运动．设点 的运动时间为 秒．（
）
(1)当点 和点 重合时，线段 的长为__________；
(2)当点 和点 重合时，求 ；
(3)当点 在边 上运动时， 的形状始终是等腰直角三角形．如图②．请说明理由；
(4)作点 关于直线 的对称点 ，连接 、 ，当四边形 和矩形 重叠部分图形为轴对称
四边形时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
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(4) 或 或
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解．
（2）证明 ，得出 ；
（3）过点 作 于点 ，证明 得出 ，即可得出结论
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 重合时符合题意，
此时如图，③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形
∴
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ，
在 中， ，
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故答案为： ．
（2）如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
（3）如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
则四边形 是矩形，
∴
又∵
∴ ，
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∴
∴
∴ 是等腰直角三角形；
（4）①如图所示，当点 在 上时，
∵ ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，则 ， ，
在 中， ，
∴
解得：
当 时，点 在矩形内部，符合题意，
∴ 符合题意，
②当 点在 上时，当 重合时符合题意，此时如图，
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则 ， ，
在 中，
，
解得： ，
③当点 在 上，当 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，此时
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，
分别画出图形，数形结合是解题的关键．
40．（2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学真题）综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知
识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
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(1)发现问题：如图1，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，
延长 交 于点 ．则 与 的数量关系：______， ______ ；
(2)类比探究：如图2，在 和 中， ， ， ，连接 ， ，
延长 ， 交于点 ．请猜想 与 的数量关系及 的度数，并说明理由；
(3)拓展延伸：如图3， 和 均为等腰直角三角形， ，连接 ， ，且
点 ， ， 在一条直线上，过点 作 ，垂足为点 ．则 ， ， 之间的数量关系：
______；
(4)实践应用：正方形 中， ，若平面内存在点 满足 ， ，则 ______．
【答案】(1) ，
(2) ， ，证明见解析
(3)
(4) 或
【分析】（1）根据已知得出 ，即可证明 ，得出 ， ，
进而根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明 ，根据等腰直角三角形的性质得出 ，
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即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，
两圆交于点 ，延长 至 ，使得 ，证明 ，得出 ，勾股定
理求得 ，进而求得 ，根据相似三角形的性质即可得出 ，勾股定理求得
，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 交于点 ，
∵
∴ ，
故答案为： ， ．
（2）结论： ， ；
证明：∵ ，
∴ ，即 ，
又∵ ， ，
∴
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∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
（3） ，理由如下，
∵ ，
∴ ，
即 ，
又∵ 和 均为等腰直角三角形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ；
（4）解：如图所示，
连接 ，以 为直径, 的中点为圆心作圆，以 点为圆心， 为半径作圆，两圆交于点 ，
延长 至 ，使得 ，
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则 是等腰直角三角形，
∵ ,
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵ ，
在 中， ，
∴
∴
过点 作 于点 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
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在 中，
∴
∴
解得： ，则 ，
设 交于点 ，则 是等腰直角三角形，
∴
在 中，
∴
∴
又 ，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ ，
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在 中，
∴ ，
综上所述， 或
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直
径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
41．（2023年上海市中考数学真题）如图（1）所示，已知在 中， ， 在边 上，点 为
边 中点，为以 为圆心， 为半径的圆分别交 ， 于点 ， ，联结 交 于点 ．
(1)如果 ，求证：四边形 为平行四边形；
(2)如图（2）所示，联结 ，如果 ，求边 的长；
(3)联结 ，如果 是以 为腰的等腰三角形，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
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(3)
【分析】（1）根据等边对等角得出 ， ，等量代换得出 ，则 ，
根据 是 的中点， ，则 是 的中位线，则 ，即可得证；
（2）设 ， ，则 ，由（1）可得 则
，等量代换得出 ，进而证明 ，得出 ，
在 中， ，则 ，解方程即可求解；
（3） 是以 为腰的等腰三角形，分为①当 时，②当 时，证明 ，得
出 ，设 ，根据 ，得出 ，可得 ，
，连接 交 于点 ，证明 在 与 中， ，
，得出 ，可得 ，根据相似三角形的性质得出
，进而即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴
∵
∴ ,
∴
∴ ，
∵ 是 的中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形；
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（2）解：∵ ，点 边 中点，
设 ， ，则
由（1）可得
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ,
∴
即 ，
∵ ，
在 中， ，
∴ ，
∴
解得： 或 （舍去）
∴ ；
（3）解：①当 时，点 与点 重合，舍去；
②当 时，如图所示，延长 交 于点P，
∵点 是 的中点， ，
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∴ ，
设 ，
∵
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 交 于点 ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
在 与 中， ， ，
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∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等
腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明 是解题的
关键．
42．（2023年江苏省无锡市中考数学真题）如图，四边形 是边长为 的菱形， ，点 为
的中点， 为线段 上的动点，现将四边形 沿 翻折得到四边形 ．
(1)当 时，求四边形 的面积；
(2)当点 在线段 上移动时，设 ，四边形 的面积为 ，求 关于 的函数表达式．
【答案】(1)
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(2)
【分析】（1）连接 、 ，根据菱形的性质以及已知条件可得 为等边三角形，根据 ，
可得 为等腰直角三角形，则 ， ，根据翻折的性质，可得 ， ，
则 ， ；同理 ， ， ；进而根据
，即可求解；
（2）等积法求得 ，则 ，根据三角形的面积公式可得 ，证明
，根据相似三角形的性质，得出 ，根据 即可求解．
【详解】（1）如图，连接 、 ，
四边形 为菱形，
， ，
为等边三角形．
为 中点，
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， ，
， ．
，
为等腰直角三角形，
， ，
翻折，
， ，
， ；.
同理 ，
， ，
∴ ；
（2）如图 ，连接 、 ，延长 交 于点 ．
， ， ，
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．
∵
，
，
．
，则 ，
，
，
．
∵ ，
．
【点睛】本题考查了菱形与折叠问题，勾股定理，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形
的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
43．（2023年浙江省绍兴市中考数学真题）在平行四边形 中（顶点 按逆时针方向排列），
为锐角，且 ．
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(1)如图1，求 边上的高 的长．
(2) 是边 上的一动点，点 同时绕点 按逆时针方向旋转 得点 ．
①如图2，当点 落在射线 上时，求 的长．
②当 是直角三角形时，求 的长．
【答案】(1)8
(2)① ；② 或
【分析】（1）利用正弦的定义即可求得答案；
（2）①先证明 ，再证明 ，最后利用相似三角形对应边成比例列出方程
即可；
②分三种情况讨论完成，第一种： 为直角顶点；第二种： 为直角顶点；第三种， 为直角顶点，但
此种情况不成立，故最终有两个答案．
【详解】（1）在 中， ，
在 中， ．
（2）①如图1，作 于点 ，由（1）得， ，则 ，
作 交 延长线于点 ，则 ，
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∴ ．
∵
∴ ．
由旋转知 ，
∴ ．
设 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
②由旋转得 ， ，
又因为 ，所以 ．
情况一：当以 为直角顶点时，如图2．
∵ ，
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∴ 落在线段 延长线上．
∵ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ．
情况二：当以 为直角顶点时，如图3．
设 与射线 的交点为 ，
作 于点 ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
设 ，则 ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
化简得 ，
解得 ，
∴ ．
情况三：当以 为直角顶点时，
点 落在 的延长线上，不符合题意．
综上所述， 或 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正弦的定义，全等的判定及性质，相似的判定及性质，理解记忆
相关定义，判定，性质是解题的关键．
44．（2023年安徽中考数学真题）在 中， 是斜边 的中点，将线段 绕点 旋转至 位
置，点 在直线 外，连接 ．
(1)如图1，求 的大小；
(2)已知点 和边 上的点 满足 ．
（ⅰ）如图2，连接 ，求证： ；
（ⅱ）如图3，连接 ，若 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）
【分析】（1）根据旋转的性质得出 ，根据等边对接等角得出
，在 中，根据三角形内角和定理即得出
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，进而即可求解；
（2）（ⅰ）延长 交于点 ，证明四边形 是菱形，进而根据平行线分线段成比例得出，
，根据等腰三角形的性质，得出 是 的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
即可得证；
（ⅱ）如图所示，过点 作 于点 ，由 ，得出 ，
，进而根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
在 中，
∴
（2）证明：（ⅰ）证法一：
如图，延长 ，交于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∵ 是 的中点，，
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴ 是菱形．
∴ ．
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∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，即 ，
∴ ，即点 是 斜边的中点．
∴ ．
证法二：
∵ ， 是斜边 的中点，
∴点 在以 为圆心， 为直径的 上．
∵ ，
∴ 垂直平分 ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
证法三：
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
∴ ．
∵ 是 的中点，，
∴ ．
∴ ．
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∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴ 是菱形．
∴ ．
∵ ， 是斜边 的中点，
∴点 在以 为圆心， 为直径的 上．
∴ ．
（ⅱ）如图所示，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，菱形的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与
判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，求正切，熟练掌握相似三角形的性质与判定
是解题的关键．
45．（2021·四川甘孜·统考中考真题）如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是边BC上
一
点，连接DE交AC于点F，连接BF．
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(1)求证： CBF≌△CDF；
(2)如图2，△过点F作DE的垂线，交BC的延长线于点G，交OB于点N．
①求证：FB＝FG；
②若tan∠BDE ，ON＝1，直接写出CG的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)①证明见解析；② ．
【分析】（1）由正方形的性质结合三角形全等的判定条件“SAS”即可证明；
（2）①由 和 可推出 ，再根据 可推出
，即可证明 ，根据等角对等边即得出FB＝FG；②由题意易证
，得出 ，即 ， ，从而可求出 ，
，进而可求 ， ．过点F作 于点H，易证
为等腰直角三角形，即得出 ，从而可求 ．最后由等腰三角形“三线
合一”即得 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD， ．
又∵ ，
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∴ ．
（2）①∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴FB＝FG；
②∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，OD=OC=OB,
∴ ， ，
∴ ，
解得： ， ．
∴ ， ．
如图，过点F作 于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
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∴ ，
∴ ．
∵BF=FG， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形
的判定和性质，勾股定理以及解直角三角形．熟练掌握正方形的性质是解题关键．
46．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图， 是 的直径， 是 延长线上的一点，点 在 上，
交 的延长线于点 ， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的直径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的直径为 .
【分析】（1）连接OC，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，根据角平分线的性质、等角代换、平行线
的判定即可求得OC⊥ED，继而即可根据切线的判定定理即可求证结论；
（2）根据等边对等角的性质、等角代换、角的和差倍数关系证得∠OCB＝2∠3，继而可得∠1=∠2=∠3=∠4
＝30°，设 ，则OD＝2x，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：标注∠1，∠2，∠3，∠4，
∵OA＝OC，
∴∠1＝∠2，
又 平分∠BAE，
∴∠1＝∠EAC，
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，
，（内错角相等）
，
，
是 的切线．
（2）∵BC＝BD，
∴∠3＝∠4．
∵AB是 的直径，
，
由（1）知OC⊥CD
∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，
，
∵OC＝OB
∴∠OBC＝∠OCB，
而 ，
而 ，
，
设 ，则OD＝2x，
由勾股定理得 ，
解得 ，
所以
【点睛】本题考查圆的有关知识，涉及到切线的判定定理、勾股定理、等边对等角、平行线的判定、等角
代换，解题的关键是综合运用所学知识．
47．（2019·四川绵阳·统考中考真题）如图，在以点 为中心的正方形 中， ，连接 ，动
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点 从点 出发沿 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 停止．在运动过程中， 的
外接圆交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，将 沿 翻折，得到 ．
(1)求证： 是等腰直角三角形；
(2)当点 恰好落在线段 上时，求 的长；
(3)设点 运动的时间为 秒， 的面积为 ，求 关于时间 的关系式．
【答案】(1)证明见解析；(2)EH ；(3) .
【分析】(1)由正方形的性质可得 ，再根据圆周角定理即可证得结论；
(2)设 ，连接 ，通过证明 可得 ，再证明 可得 与t的关
系式，进一步可表示 的长，由 得比例线段 ，进而求出 的值，然后代入 的表达
式可求 的值；
(3)由(2)知 与t的关系式，再过点 作 于点 ，易证 ，于是 ，再根
据三角形的面积公式即可求解．
【详解】(1)证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ 是等腰直角三角形；
(2)设 ，连接 ，如图，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
当点 恰好落在线段 上时， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵FG=FH，∴ ，
解得： ， (舍去)，
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∴ ；
(3)过点 作 于点 ，由(2)得 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题是四边形综合题，重点考查了正方形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似
三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的求解和三角形的面积等知识，涉及
的知识点多，难度较大，属于试卷的压轴题，第（2）小题具有相当的难度，解题的关键是灵活应用相似
三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题
48．（2023·福建福州·校考二模）如图，在 中， ，将 绕点C顺
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时针旋转得到 ，其中点 与点A是对应点，点 与点B是对应点．若点 恰好落在 边上，则
点A到直线 的距离等于（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】C
【分析】如图，过 作 于 求解 结合旋转：证明
可得 为等边三角形，求解 再应用锐角三
角函数可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于
由 ，
结合旋转：
为等边三角形，
∴A到 的距离为3．
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故选C
【点睛】本题考查的是旋转的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与
性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
49．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图， 的顶点 ， ，点 在 轴的正半轴
上，延长 交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转得到 ，当点 的对应点 落在 上时，
的延长线恰好经过点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ,由题意可证明 ，利用相似三角形线段成比例即可求得OC的长，即得
点 的坐标．
【详解】如图，连接 ，因为 轴，
绕点 顺时针旋转得到 ，
所以 ，
,
资10料3 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
故答案为B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，找到 是解题的
关键．
50．（2023·福建福州·校考二模）如图， 是 的直径， 上的点C，D在直径 的两侧，连接
，若 ， ，则 的长等于 ．
【答案】
【分析】连接 ， ，根据特殊角锐角三角函数值可得 ，再由 是 的直径，可得
，从而得到 ，进而得到 ， ，再由
，可得 ，然后由弧长公式计算，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ， ，
资10料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的长等于 ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求弧长，圆周角定理，特殊角锐角三角函数值，熟练掌握弧长公式，圆周角定理，
特殊角锐角三角函数值是解题的关键．
51．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，已知菱形 的边长为 ， 是 的中点， 平
分 交 于点 ， 交 于点 ．若 ，则 的长是 ．
【答案】 /
【分析】方法一：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，根据 ，可得
，所以 ，然后证明 是 的垂直平分线，可得 ，设 ，根据
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，进而可以解决问题；
方法二：作 垂直 于 ，延长 和 交于点 由已知可得 ，所以
设 ，则 ， ，由三角形 相似于三角形 即可得结论．
【详解】解：方法一，如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
菱形 的边长为4，
，
，
，
，
是 的中点，
，
，
是 的垂直平分线，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
设 ，
， ，
，
资10料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
，
，
，
解得 ，
则 的长是 ．
或者： ， ，
四边形 的等腰梯形，
，
则 ，
解得 ，
则 的长是 ．
方法二：如图，作 垂直 于 ，延长 和 交于点 ，
菱形 的边长为4，
，
资10料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
，
，
是 的中点，
，
，
是 的垂直平分线，
，
所以 ，
设 ，
则 ， ，
，
，
，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形、相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握菱形的性
质．
52．（2023·河南商丘·一模）如图，在 中， ， ， ．点 为
的中点，点 在 上，且 ，将 绕点 在平面内旋转，点 的对应点为点 ，连接 ， ，
．当 时， 的长为 ．
资10料8 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 或
【分析】延长 ，交 于点 ，连接 ．求出 ，可得 ，即点 与点 重合，或
是以 为底的等腰三角形，据此求解．
【详解】解：延长 ，交 于点 ，连接 ．
在 中， ， ， ，
， ．
．
是 的中点，
．
，
在 与 中，
，
（ ）
，
在 中， ．
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由旋转的性质，得 ，
．
①当点 与点 重合时，如图1， ．
②当点 与点 不重合时，如图2，过点 作 于点 ，连接 ．
， ，
，
，
又 ，
是等边三角形，
，
在 中， ， ．
．
在 中， ．
综上， 的长为 或 ．
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【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，含 角的直角三角形的性质，全等三角形
的性质与判定等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
53．（2023·福建福州·校考二模）在 中， ， ，以 为直径作 ， 交
于点D，点P是 上的一个点．
(1)如图1，若点P是 的中点， ，垂足为E，求证：直线 是 的切线；
(2)如图2，连接 ，若 ，求 的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图所示，连接 ，由直径所对的圆周角是直角得到 ，进而证明
，再由点P是 的中点，得到 ，则 ，即可证明直线 是 的切线；
（2）如图所示，过点A作 交 延长线于F，连接 ，证明 ，得到 ，
再解 ，得到 ，则 ，即可得到 ．
【详解】（1）证明：如图所示，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵点P是 的中点，
∴ ，
∴ ，
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∴直线 是 的切线；
（2）解：如图所示，过点A作 交 延长线于F，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理的推理，解直角三角形，等腰直角三角形的
性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
54．（2023·内蒙古·包钢第三中学校考三模）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点
E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．
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（1）如图①，当 时，求 的值；
（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF= OA；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG= BG．
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据 CEF和 CDF同高，则面积的比就是
EF与DF的比值，据此即可求解； △ △
（2）利用角之间的关系到证得∠ADF=∠AFD，可以证得AD=AF，在Rt AOD中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是 BCD的中位线，然后根据 FGC是等腰直角△三角形，易证 EGF∽△ECD，利
用相似三角形的对应边的比△相等即可证得． △ △
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵DE平分∠CDB，
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∴∠ODF=∠CDF，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，
又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，
∴∠ADF=∠AFD，
∴AD=AF，
在Rt AOD中，根据勾股定理得： ，
△
∴AF= OA．
（3）证明：连接OE，
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
∴点O是BD的中点，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是 BCD的中位线，
△
∴OE∥CD，OE= CD，
∴△OFE∽△CFD，
∴ ，
∴ ，
又∵FG⊥BC，CD⊥BC，
∴FG∥CD，
∴△EGF∽△ECD，
∴ ．
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在Rt FGC中，∵∠GCF=45°，
∴CG=△GF，
又∵CD=BC，
∴ ，
∴ ，
∴CG= BG．
【点睛】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形
的性质是关键．
55．（2023·河南商丘·一模）综合与实践
综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
(1)【操作发现】对折 ，使点C落在边 上的点E处，得到折痕 ，把纸片展平，如图
1．小明根据以上操作发现：四边形 满足 ， ．查阅相关资料得知，像这样的有两
组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形 的一条性质____．
(2)【探究证明】如图2，连接EC，设筝形 的面积为 ．若 ，求S的最大值；
(3)【迁移应用】在 中， ，点D，E分别在 ， 上，当四边形
是筝形时，请直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)对角线 垂直平分 ，
(2)18
(3) 或
【分析】（1）根据 ， 可知对角线 垂直平分 ；
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（2）设 ，则 ，推导筝形 的面积得： ，再利用二次函
数的顶点式求最值即可；
（3）分两种情况讨论：①当 时，根据中线的性质和全等三角形面积相等即可求解．②
当 时，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得：
，即 ，解出x，继而求出筝形面积．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴点A、点D都在 的垂直平分线上，即对角线 垂直平分 ，
故答案为：对角线 垂直平分 ，(填“对角线互相垂直”也对)
（2）由（1）得 ⊥ ，
∴筝形面积为： ，
设 ，则
∴
∴当 时，
（3）四边形 的面积为 或 ，
补充理由如下：
根据题意，分两种情况讨论：① ；② ．
①当 时
作出这个筝形如下，
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根据折叠的性质可知： ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 是 中边 边上的中线，
∴
∴
∴ ．
②当 时，作出这个筝形如下
根据折叠的性质可知： ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理得： ，
∴ ，
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解得： ，
∴
综上所示：四边形 的面积为 或
【点睛】本题考查新定义的“筝形”的性质和面积，涉及垂直平分线的判断，二次函数的最值，中线的性
质，折叠的性质等知识，掌握垂直平分线的判断和二次函数的最值是解题的关键．
56．（2023·河南南阳·校联考三模）问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰
直角三角形，如图1所示，把 和 摆在一起，其中直角顶点 重合，延长 至点 ，满
足 ，然后连接 ．
(1)实践猜想：图1中的 与 的数量关系为___________，位置关系为___________；
(2)拓展探究：当 绕着点 旋转一定角度 时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立？若成立，
请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当 ， ， 旋转得到 三点共线时，直接写出线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)成立，见解析
(3) 或
【分析】（1） 和 等腰直角三角形，证明 即可；
（2）根据 和 都是等腰直角三角形，证明 即可；
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（3）分类讨论，如图所示（见详解），过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据直角
三角形的勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ 和 等腰直角三角形，
∴ ，
延长 至点 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
如图所示，延长 交 于 ，
在 中， ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ， ．
（2）解：成立，理由如下，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
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（3）解： 旋转得到 三点共线，
①如图所示，过点 作 于 ，
∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 旋转得到 三点共线时， ；
②如图所示，过点 作 于 ，
同理， ，即 旋转得到 三点共线时， ；
综上所述，当 ， ， 旋转得到 三点共线时，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性
质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键．
57．（2023·河南南阳·校联考三模）问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰
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直角三角形，如图1所示，把 和 摆在一起，其中直角顶点 重合，延长 至点 ，满
足 ，然后连接 ．
(1)实践猜想：图1中的 与 的数量关系为___________，位置关系为___________；
(2)拓展探究：当 绕着点 旋转一定角度 时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立？若成立，
请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)解决问题：当 ， ， 旋转得到 三点共线时，直接写出线段 的长．
【答案】(1) ，
(2)成立，见解析
(3) 或
【分析】（1） 和 等腰直角三角形，证明 即可；
（2）根据 和 都是等腰直角三角形，证明 即可；
（3）分类讨论，如图所示（见详解），过点 作 于 ，过点 作 于 ，根据直角
三角形的勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵ 和 等腰直角三角形，
∴ ，
延长 至点 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
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如图所示，延长 交 于 ，
在 中， ，
∵ ，
∴在 中， ，即 ，
∴ ，即 ，
故答案为： ， ．
（2）解：成立，理由如下，
∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解： 旋转得到 三点共线，
①如图所示，过点 作 于 ，
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∵ 是等腰三角形， ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，即 旋转得到 三点共线时， ；
②如图所示，过点 作 于 ，
同理， ，即 旋转得到 三点共线时， ；
综上所述，当 ， ， 旋转得到 三点共线时，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题主要考查三角形的全等的判定和性质，理解图示中旋转的规律，掌握三角形全等的判定和性
质，直角三角形中勾股定理的运算是解题的关键．
58．（2023·广东广州·广州市真光中学校考二模）已知，如图①，在矩形ABCD中，AB= ，AD=3，点E
是BC边上的动点，把点E绕着点A逆时针旋转60°得到点F，连接AE、AF、EF、DF．
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(1)当点A、F、C三点在同一条直线上时，求DF的长；
(2)如图②，点M在CB的延长线上，且 ，连接AM，当点E在BC上运动时， 的面积的值是
否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．
(3)在点E由B向C运动的过程中，求DF的取值范围．
【答案】(1)
(2)不变，
(3)
【分析】（1）根据三角函数的定义求得∠CAB=60°，点E与点B重合，据此求解即可；
（2）证明 APF≌ EBA，即可求解；
（3）以AD△为边向△右侧作等边 ADQ，证明 ADF≌ AQE，得到DF=QE，当E在B（或C）时，QE最大，
当E在BC中点时，QE最小，据△此求解即可△． △
【详解】（1）解：连接AC，
在Rt ABC中，AB= ，AD=BC=3，
△
资12料4 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴tan∠CAB= ，
∴∠CAB=60°，
∴点E与点B重合，
∴AF=AB= = AC，
∴F为AC中点
∴DF= AC= ；
（2）解：不变，
理由如下：
过F作MA的垂线，垂足为P，
在Rt ABM中，AB= ，BM=1，
△
∴AM= 2，tan∠MAB= ，
∴∠MAB=30°，
∵∠MAF=∠P+∠PFA=90°+∠PFA，
∠MAF=∠FAE+∠BAE +∠MAB=60°+∠BAE +30°=90°+∠BAE，
∴∠PFA=∠BAE，
∵AE=AF，∠P=∠ABE=90°，
∴△APF≌△EBA，
∴FP=AB= ，
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S AMF= AM•FP= ；
△
（3）解：以AD为边向右侧作等边△ADQ，连接QE，
∵△ADQ、△AEF等边三角形，
∴∠DAQ=∠FAE=60°，AF=AE，AD=AQ，
∴∠DAF=∠QAE，
∴△ADF≌△AQE，
∴DF=QE，
当E在B（或C）时，QE最大，
同（1）得∠ADB=30°，则∠QDB=30°，又AD=AQ，
∴DB是线段AQ的垂直平分线，
∴QE =AB= ；
最大
过点Q作QG⊥AD于点G，交BC于点H，
当E与点H重合时，此时当E在BC中点，QE最小，
资12料6 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
QG=ODsin60°= ，
QE =QG-EG= ；
最小
∴ ≤DF≤ ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，
解题的关键是熟练掌握基本知识．
59．（2023·江苏无锡·统考二模）已知，在矩形 中， ， ， 为矩形的中心，在
中， ， ， ，将 绕点 按顺时针方向旋转一周，
(1)如图1，当直角边 ， 分别在 ， 边上时，连接 ， ，求 的面积；
(2)设斜边 与矩形 的交点为 ，当 ， ， 三点在一条直线时，求 的值；
(3)如图2，连接 ，取 中点 ，连接 ，请直接写出 的取值范围．
资12料7 整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）连接 ，利用三角形面积关系进行求解即可；
（2） 绕点 按顺时针方向旋转一周，根据 点位置分两种情况进行求解，画出两种情况的图，利
用相似三角形的判定和性质求出结果即可；
（3）延长 至 ，使 ，连接 ， ，作 于 ，求出 ， ， 的长度，
利用点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，表示出 的最大值和最小值，根据 表示
出 的取值范围即可．
【详解】（1）解：如图1，连接 ，
为矩形的中心，
到 的距离为 ， 到 的距离为 的距离为 ，
，
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，
，
，
，
的面积为 ；
（2）如图，连接 、 ，
在 中， ，
， ，
，
，
，
，
在 和 中，
， ，
，
；
如图，当 旋转到 点位于 中时，
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同理可证 ，
，
综上所述 的值为 或 ；
（3）如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，作 于 ，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得，
，
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点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
的最大值 ， 的最小值 ，
是 的中点，
，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，通过添加辅助线
构造相似三角形是解题关键．
60．（2023·山东菏泽·统考二模）如图， 和 的顶点 重合， ，
， ， ．
(1)如图1，当点 ， 分别在 ， 上时，得出结论： ；直线 与直线 的位置关系是 ；
(2)如图2，将图1中的 绕点 顺时针旋转一周的过程中，连接 ， ，其所在直线相交于点 ．
①（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由．
②当 的长度最大时，求线段 的长度．
【答案】(1) ；
(2)①成立，理由见解析；② 的长为： 或 ．
【分析】（1）解直角三角形求出 ， ，可得结论；
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（2）①结论不变，证明 ，推出 ， ，可得结论；
②分两种情况讨论：如图，当 在 的左边时，由三角形三边关系可得： ，当 共
线时，如图， ，此时 重合， 最大，由①可知：将图1中的 绕点 顺时针旋转一
周的过程中，都有 ， 成立，在 中，设 ，则 ，由勾股定
理可得： ，当 在 的右边时，如图，同理可得： ，再解方程可得
答案．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵直线 与直线 的夹角： ，
∴直线 与直线 的位置关系是：垂直．
故答案为： ；垂直．
（2）解：①（1）中的结论仍然成立．
理由：∵ 和 的顶点 重合， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ， ，
∴
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②：如图，当 在 的左边时，
由三角形三边关系可得： ，
当 共线时，如图， ，此时 重合， 最大，如图，
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由①可知：将图1中的 绕点 顺时针旋转一周的过程中，都有 ， 成立，
在 中，设 ，则 ，
而 ，
∴ ，
同理可得： ，
由勾股定理可得： ，
解得： （负根舍去）
∴ ，
当 在 的右边时，如图，
同理可得： ，
解得： （负根舍去），
∴ ，
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综上： 的长为： 或 ．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
61．（2023·山东济南·统考三模）某校数学兴趣小组对图形的旋转问题进行了深入探究．
专题探究：已知 中， ， ，点M是线段 上的一点，N是线段
上的点， ，交 于点Q，将线段 绕点M顺时针旋转 度，得到线段 ，连接 ．
(1)如图1，当 时，直接写出线段 与 的数量关系______；
(2)如图2，当 时，判断线段 与 的数量关系，并给出证明；
(3)变式应用：如图3，在 中， ， ， ，M是 上的任意一点，
连接 ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到线段 ，连接 ．求线段 的最小值．
【答案】(1)
(2) ，见解析
(3)
【分析】（1）根据条件依次证明 、 、 都是等边三角形，然后证明
，可得结论；
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（2）根据旋转的性质、含30度为底角的等腰三角形的性质证明 ， ，即可
证明 ，推出 ，即得结论；
（3）在线段 上截取 ，连接 ，证明 （ ），推出 ，可得
当 的值最小时， 的值最小，作 于H，求出 的长即得答案．
【详解】（1）解： ；
理由如下：如图1，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵将线段 绕点M顺时针旋转 度，得到线段 ， ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
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（2） ；
证明：先证明含30度为底角的等腰三角形的腰与底之比为 ，
如图， 中， ， ，作 于D，
则 ，且在直角三角形 中， ，即 ，
∴ ；
如图2，∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵将线段 绕点M顺时针旋转 度，得到线段 ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
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∴ ，
∴ ，即 ；
（3）∵ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
在线段 上截取 ，连接 ，
∴ （ ），
∴ ，
∴当 的值最小时， 的值最小，
作 于H，在 中，
∵ ， ，
∴ ，
根据垂线段最短可知，当点M与H重合时， 的值最小，即 的值最小，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的
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判定和性质以及垂线段最短等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、构建全等三角形和相似三角形是解
题的关键．
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