文档文本内容
第1讲 集合的概念与运算
最新考纲 考向预测
1.了解集合的含义，体会元素与集合的 集合的交、并、补运算及两集合
“属于”关系． 间的包含关系是考查的重点，在
2．能选择自然语言、图形语言、集合语 集合的运算中经常与不等式、函
命题
言(列举法或描述法)描述不同的具体问 数相结合，解题时常用到数轴和
趋势
题，感受集合语言的意义和作用． 韦恩(Venn)图，考查学生的数形
3．理解集合之间包含与相等的含义，能 结合思想和计算推理能力，题型
识别给定集合的子集． 以选择题为主，低档难度.
4．在具体情境中，了解全集与空集的含
义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，
会求两个简单集合的并集与交集．
核心
6．理解在给定集合中一个子集的补集 数学抽象、数学运算
素养
的含义，会求给定子集的补集．
7．能使用Venn图表达集合的关系及运
算，体会直观图示对理解抽象概念的作
用.
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N ) Z Q R
＋[注意] N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N 的含义是一样的，
＋
表示正整数集，不包含0.
2．集合间的基本关系
表示 符号
自然语言 Venn图
关系 语言
集合A中所有元素都在集合B A ⊆ B
子集
中(即若x∈A，则x∈B) ( 或 B ⊇ A )
集合A是集合B的子集，且集
A B
真子集 合B中至少有一个元素不在集
( 或 B A )
合A中
集合
集合A，B中元素相同 A＝B
相等
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
图形
语言
A∪B＝ A∩B＝ ∁U A＝
符号
{ x | x ∈ A 或 x { x | x ∈ A 且 x ∈ { x | x ∈ U 且
语言
∈ B } B } x ∉ A }
常用结论
1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.
2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.
3．补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅； ∁U (∁U A)＝A； ∁U (A∩B)＝
(∁U A)∪(∁U B)； ∁U (A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．
常见误区
1．忽视集合中元素的互异性致误；
2．集合运算中端点取值把握不准致误；
3．忘记空集的情况致误．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．( )
(2)若a在集合A中，则可用符号表示为a⊆A.( )
(3)若AB，则A⊆B且A≠B.( )
(4)N*NZ.( )
(5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数
是( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：选C.当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2.
故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}，即集合B中有6个元素．
3．(2020·新高考卷Ⅰ改编)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝
________，A∩B＝________．
解析：A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}，A∩B＝{x|2
＜x≤3}．
答案：{x|1≤x＜4} {x|2＜x≤3}
4．(易错题)已知集合 U＝{－1，0，1}，A＝{x|x＝m2，m∈U}，则
∁U
A＝
________．
解析：因为A＝{x|x＝m2，m∈U}＝{0，1}，所以
∁U
A＝{－1}．
答案：{－1}
5．设集合 A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若 A∩B＝A，则 a 的取值范围是
________．
解析：由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，所以a≥2.
答案：{a|a≥2}
集合的含义及表示
[题组练透]
1．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B中的元素有( )
A．5个 B．4个C．3个 D．无数个
解析：选C.依题意有A＝{－2，－1，0，1，2}，代入y＝x2＋1得到B＝{1，2，
5}，故B中有3个元素．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C.因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b
＝1.所以b－a＝2.
3．(多选)已知集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，则m＋n的值可能为( )
A．0 B．
C．1 D．2
解析：选BD.因为集合{x|mx2－2x＋1＝0}＝{n}，
所以或
解得或
所以m＋n＝或m＋n＝2.故选BD.
4．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，
则m＝1或m＝－.
当m＝1时，m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题
意；
当m＝－时，m＋2＝，而2m2＋m＝3，符合题意，故m＝－.
答案：－
与集合中元素有关问题的求解策略
集合间的基本关系
(1)(2021·普通高等学校招生全国统一考试模拟)已知M，N均为R的子
集，且 ∁RM⊆N，则M∪(∁R N)＝( )A．∅ B．M
C．N D．R
(2)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若B⊆A，则实数a的取值范围
为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
【解析】 (1)因为M，N均为R的子集，且
∁R
M⊆N，所以N＝
∁R
M，所以
M∪(∁R N)＝M.故选B.
(2)集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因为B⊆A，所以有所以－2≤a≤1.
【答案】 (1)B (2)C
[提醒] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论．
1．(多选)已知集合M＝{x|x<2}，N＝{x|x2－x<0}，则下列正确的是( )
A．M∪N＝R B．N⊆M
C．N∪ ∁RM＝R D．M∩N＝N
解析：选BD.因为N＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，则N⊆M，故BD正确．
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为( )
A．7 B．8
C．15 D．16
解析：选A.方法一：A＝{x|－1≤x≤3，x∈N*}＝{1，2，3}，其真子集有：∅，
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}共7个．
方法二：因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)．3．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值
是________．
解析：由题易得M＝{a}．因为M∩N＝N，
所以N⊆M，
所以N＝∅或N＝M，
所以a＝0或a＝±1.
答案：0或1或－1
集合的基本运算
角度一 集合的运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，
0，1}，B＝{1，2}，则 ∁U (A∪B)＝( )
A．{－2，3} B．{－2，2，3}
C．{－2，－1，0，3} D．{－2，－1，0，2，3}
(2)(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则(
)
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩(∁U N)＝(－3，－2)
【解析】 (1)方法一：由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以
∁U
(A∪B)＝{－2，
3}，故选A.
方法二：因为2∈B，所以2∈A∪B，所以2∉∁U (A∪B)，故排除B，D；又0∈A，
所以0∈A∪B，所以0∉∁U (A∪B)，故排除C，故选A.
(2)由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－
3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于
∁U
M＝(－∞，－3)∪[4，＋
∞)，故(∁U M)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于
∁U
N＝(－∞，－
2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁U N)＝[－3，－2)，D错误．故选BC.
【答案】 (1)A (2)BC
集合基本运算的求解策略角度二 利用集合的运算求参数
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且
A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
(2)集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为(
)
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 (1)方法一：易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x≤－}，因为A∩B＝{x|
－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2.故选B.
方法二：由题意得A＝{x|－2≤x≤2}．若a＝－4，则B＝{x|x≤2}，又A＝{x|－
2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤2}，不满足题意，排除A；若a＝－2，则B＝{x|
x≤1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤1}，满足题意；若a＝2，则
B＝{x|x≤－1}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，不满足题意，
排除C；若a＝4，则B＝{x|x≤－2}，又A＝{x|－2≤x≤2}，所以A∩B＝{x|x＝－
2}，不满足题意．故选B.
(2)根据集合并集的概念，可知{a，a2}＝{4，16}，故a＝4.
【答案】 (1)B (2)D
利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，
再列方程(组)求解．
[提醒] 在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．(2020·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y
＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C.由题意得，A∩B＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A∩B中元素
的个数为4，选C.
2．(2021·四省八校第二次质量检测)若全集U＝R，集合A＝(－∞，－1)∪(4，
＋∞)，B＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所示的集合为( )
A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D.∁U A＝{x|－1≤x≤4}，B＝{x|－2≤x≤2}，记所求阴影部分所表示
的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．
3．(2021·武昌区高三调研)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|a－2<x<a}，若
A∩B＝{x|－1<x<0}，则A∪B＝( )
A．(－1，2) B．(0，2)
C．(－2，1) D．(－2，2)
解析：选D.由x2－x－2<0得－1<x<2，即A＝{x|－1<x<2}．因为B＝{x|a－
2<x<a}，A∩B＝{x|－1<x<0}，所以a＝0，所以B＝{x|－2<x<0}，所以A∪B＝(－
2，2)，故选D.
核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题
以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以
“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分
体现了核心素养中的数学抽象．
(1)定义集合的商集运算为＝{x|x＝，m∈A，n∈B}．已知集合A＝{2，4，
6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9(2)(多选)设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，b∈P，都有a＋b，
a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，下列命题
中正确的是( )
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q⊆M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
【解析】 (1)由题意知，B＝{0，1，2}，＝{0，，，，1，}，则∪B＝{0，，，，1，，2}，
共有7个元素，故选B.
(2)当a＝b时，a－b＝0，＝1∈P，故可知A正确；当a＝1，b＝2时，∉Z不满足
条件，故可知B不正确；当M比Q多一个元素i时，则会出现1＋i∉M，所以它也
不是一个数域，故可知C不正确；
根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D正确．
【答案】 (1)B (2)AD
解决集合的新定义问题的两个关键点
(1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当的转
化，切忌与已有概念混淆；
(2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合
集合的相关性质求解．
1．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系集合”，集合M＝的所有非空子集中
具有伙伴关系的集合的个数是( )
A．1 B．3
C．7 D．31
解析：选B.因为x∈A，且∈A，所以－1∈A，2∈A且∈A，所以集合M的非空
子集中具有伙伴关系的集合有{－1}，，，共3个．故选B.
2．设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|
0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．
解析：由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，
又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，
结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)
[A级 基础练]
1．已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－<x<}，则( )
A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R
C．B⊆A D．A⊆B
解析：选B.因为A＝{x|x>2或x<0}，因此A∪B＝{x|x>2或x<0}∪{x|－<x<}＝
R.故选B.
2．(2020·高考天津卷)设全集U＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，
0，1，2}，B＝{－3，0，2，3}，则A∩(∁U B)＝( )
A．{－3，3} B．{0，2}
C．{－1，1} D．{－3，－2，－1，1，3}
解析：选C.方法一：由题知
∁U
B＝{－2，－1，1}，所以A∩(∁U B)＝{－1，1}，故
选C.
方法二：易知A∩(∁U B)中的元素不在集合B中，则排除选项A，B，D，故选C.
3．已知集合A＝{x∈N |x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有( )
＋
A．7个 B．8个
C．15个 D．16个
解析：选A.因为集合A＝{x∈N |x2－3x－4<0}＝{x∈N |－1<x<4}＝{1，2，
＋ ＋
3}，
所以集合A中共有3个元素，
所以真子集有23－1＝7(个)．
4．(2021·福建省质量检测)已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则
∁R(A∪B)＝( )
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|－2<x<1} D．{x|x<4}
解析：选C.方法一：因为B＝{x|x≤－2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≤－2或
x≥1}，故 ∁R(A∪B)＝{x|－2<x<1}，故选C.
方法二：－2∈B，故－2∉∁R(A∪B)，排除A，D；2∈A，故2∉∁R(A∪B)，排除
B.故选C.5．(2021·昆明市三诊一模)已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，
集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是
( )
A．[1，3] B．(1，3]
C．{－1，2，3} D．{－1，0，2，3}
解析：选C.因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－
1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}，图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，
∁R
A＝{x|
x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}，故选C.
6．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(
)
A．－1<a≤2 B．a>2
C．a≥－1 D．a>－1
解析：选D.由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：
易知a>－1.
7．(多选)若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是( )
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
解析：选BCD.因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以
B⊆A.由选项知有{0}A，{1}A，{2}A.故选BCD.
8．(多选)已知集合A＝{x|－1<x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确
的是( )
A．A∩B＝∅
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ ∁RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩ ∁RB＝{x|2<x≤3}
解析：选BD.因为A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
所以A∩B＝{x|－1<x≤3}∩{x|－2≤x≤2}
＝{x|－1<x≤2}，A不正确；
A∪B＝{x|－1<x≤3}∪{x|－2≤x≤2}
＝{x|－2≤x≤3}，B正确；因为
∁R
B＝{x|x<－2或x>2}，
所以A∪
∁R
B＝{x|－1<x≤3}∪{x|x<－2或x>2}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正
确；
A∩
∁R
B＝{x|－1<x≤3}∩{x|x<－2或x>2}＝{x|2<x≤3}，D正确．
9．已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________．
解析：因为B⊆A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素
的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
10．已知全集 U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合
∁U
(A∪B)＝
________．
解析：由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴，
∁U
(A∪B)＝{x|0<x<1}．
答案：{x|0<x<1}
11．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，
A∪B＝________．
解析：A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝
ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
答案：[－1，2) (－∞，3]
12．已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为
________．
解析：集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元
素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要
保证1∈A即可，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
[B级 综合练]
13．(2021·百师联盟练习)已知实数集 R，集合 A＝{x|－1<x<0}，B＝，则
A∩(∁R B)＝( )
A．{x|0<x≤1} B．{x|－1<x<0}
C．{x|－1<x≤0} D．{x|0<x<1}
解析：选B.因为B＝＝{x|2x－1>0}＝{x|x>0}，所以
∁R
B＝{x|x≤0}．因为A＝
{x|－1<x<0}，所以A∩(∁R B)＝{x|－1<x<0}．故选B.
14．设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
解析：当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－
1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题
意；当a<1时，A＝(－∞，a]∪[1，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，又因为a－1<a，所以
A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
[C级 创新练]
15．(多选)(2021·海南海口第四中学月考)设S为实数集R的非空子集．若对任
意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是( )
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集
解析：选BCD.对于A项，自然数集N不是封闭集，如2，3∈N，但2－3＝－
1∉N，故A项错误；对于B项，因为任意两个整数的和、差、积仍然是整数，所以
整数集是封闭集，故B项正确；对于C项，设x＝a ＋b ，y＝a ＋b ，a ，a ，b ，
1 1 2 2 1 2 1
b ∈Z，则x＋y＝a ＋a ＋(b ＋b )∈S，x－y＝a －a ＋(b －b )∈S，xy＝(a ＋b )·(a
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2
＋b )＝(a a ＋2b b )＋(a b ＋a b )∈S，所以集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集，
2 1 2 1 2 1 2 2 1
故C项正确；对于D项，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，因
此0－1＝－1∈S，以此类推，所有整数都属于S.而整数有无数个，所以S一定为
无限集，故D项正确．
16．如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已
知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝
________．
解析：由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
答案：{0，6}
