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北京 22 中、21 中联盟校 2021-2022 学年度月考试卷初三年级数学学科
一、选择题（下列各小题中只有一个选项符合题意，共16分，每小题2分）
1. 下列方程中一元二次方程的个数为（ ）
①2x2－3＝0； ②x2＋y2＝5； ③ ； ④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 下列叙述正确的是（ ）
A. 形如 的方程叫一元二次方程
B. 方程 不含有常数项
C. 一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项均不能为0
D. 是关于y的一元二次方程
3. 如图，△ABC经过变换得到△AB'C'，其中△ABC绕点A逆时针旋转60°的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 抛物线y＝（x﹣1）2+3的顶点坐标是（ ）
A. （1，3） B. （﹣1，3） C. （1，﹣3） D. （3，﹣1）
的
5. 已知关于x 一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 实数根的个数与实数b的取值有关6. 老师给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣2 0 1 3 5 …
y … 7 0 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 …
同学们讨论得出了下列结论，
①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当﹣2＜x＜4时，y＜0；④当x＞1时，y随x的
增大而增大；⑤若方程ax2＋bx＋c＝m有两个不相等的实数根，则m＞﹣9．其中正确的个数是（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7. 如图，在 中， ，将 绕点C逆时针旋转得到 ，点A，B的对应点分别
为D，E，连接 ．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起
跳后的竖直高度 （单位： ）与水平距离 （单位： ）近似满足函数关系 （ ）．
下图记录了某运动员起跳后的 与 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞
行到最高点时，水平距离为A. B. C. D.
二．填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的解是________．
10. 已知m是关于x的方程x2﹣3x﹣4＝0的一个根，则3m2﹣9m﹣2＝_____．
11. 若二次函数y＝2x2－3的图象上有两个点A(1，m)，B(2，n)，则m___n(填“<”“＝”或“>”)．
12. 如图， ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是 ，现将 ABC绕A点按逆时
针方向旋转 ，则旋转后点C对应点的坐标是___________．
13. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐
标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
14. 如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 且 于点 ，则 的
度数为（ ）A. B. C. D.
15. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所
示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而
增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号）
16. 定义：若抛物线与x轴有两个交点，且这两个交点与它的顶点所构成的三角形是直角三角形，则把这
种抛物线称作“和美抛物线”．如图，一组抛物线的顶点B（1，y），B（2，y），B（3，y），… B
1 1 2 2 3 3 n
（n，y ）（n为正整数）依次是直线 上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是A
n 1
（a，0），A（a，0），A（a，0），…A （a ，0）（0＜a＜1，n为正整数）．若这组抛物线中存
1 2 2 3 3 n+1 n+1 1
在和美抛物线，则a＝___．
1
三、解答题（本题共68分；第17题，每小题4分，第18－24题5分，第25－27题，每小题
6分，第28题，每小题7分）
17. 解方程：（1） （2）6x2－x－2＝0．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，建立如图所示的平面直角坐标系，
的顶点均在格点上，点 的坐标为（1，0）．（1）画出将 原点 按顺时针旋转90°所得的 ，并写出 点的坐标．
的
（2）求线段 长度．
19. 如图，在 中， ．将 绕点 按逆时针方向旋转后得 ，连接 ．当
时，求 的度数．
20. 已知抛物线C ：y＝（x+2）2﹣1，抛物线C ，的顶点为A，与y轴的交点为B．
1 1
（1）点A的坐标是________，点B的坐标是_______；
（2）在平面直角坐标系中画出C 的图象（不必列表）；
1
（3）将抛物线C 向下平移3个单位，向右平移2个单位后得到抛物线C ，画出平移后的抛物线C 并写出
1 2 2
抛物线C 的解析式．
221. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若 为满足条件的最大整数，求方程的根．
22. 某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价x
（元）满足w＝﹣2x+80（20≤x≤40），设销售这种手套每天的利润为y（元）．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
23. 有这样一个问题：探究函数y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x的性质．
(1)先从简单情况开始探究：
①当函数y= （x﹣1）+x时，y随x增大而 （填“增大”或“减小”）；
②当函数y= （x﹣1）（x﹣2）+x时，它的图象与直线y=x的交点坐标为 ；
(2)当函数y= （x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）+x时，
的
下表为其y与x 几组对应值．
x … ﹣ 0 1 2 3 4 …
y …
﹣
﹣3 1 2 3 7 …①如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函数
的图象；
②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．
24. 随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018
年公共充电桩的数量为2万个，2020年公共充电桩的数量为2.88万个．
（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？
25. 已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
26. 如图，抛物线 与 轴交于两点 ， ．
的
（1）求 ， 值．（2）观察函数的图象，直接写出当 取何值时， ．
（3）设抛物线交 轴于点 ，在该抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 的周长最小？若存在，
求出 点的坐标；若不存在，请说明理由．
27. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ， ．
（1）当 时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段 只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段 有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
28. 定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x，x（x＜x），分别以x，x
1 2 1 2 1 2
为横坐标和纵坐标得到点M（x，x），则称点M为该一元二次方程的衍生点．
1 2
（1）若方程为x2﹣2x＝0，写出该方程的衍生点M的坐标．
的
（2）若关于x 一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0（m＜0）的衍生点为M，过点M向x轴和y轴
作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
（3）是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程x2+bx+c＝0的衍生点M始终在直线y＝kx
﹣2（k﹣2）的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．
