文档内容
东城区 2023—2024 学年度第二学期期末统一检测
初 二 数 学
2024.7
1． 本试卷共8页，共三部分，共28题，满分 100分．考试时间 100分
钟．
2． 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和教育ID号．
考生须知 3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作
答．
5． 考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题(本题共 30分，每小题3 分)下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 计算 的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式性质求解.
【详解】根据 得
=3
故答案为A
【点睛】考核知识点：算术平方根性质.理解定义是关键.
2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母，
根据最简二次根式的定义即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，是最简二次根式，符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：B．
3. 某运动品牌专营店店主对上一周新进的某款T恤衫销售情况统计如下：
尺码 39 40 41 42 43 44 45
平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8
该店主决定本周进货时，增加一些42码的T恤衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 众数
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．销量大的尺码就
是这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：D．
4. 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A. ， ， B. ， ， C. ， ， D. ， ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理依次判断．
【详解】解：A、 ，不能组成直角三角形，故不符合题意；
B、 ，能组成直角三角形，故符合题意；
C、 ，不能组成直角三角形，故不符合题意；
D、 ，不能组成直角三角形，故不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握定理的判断方法是解题的关键．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
的
B. 对角线互相垂直 四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查正方形、矩形、菱形、平行四边形的判定，根据正方形、矩形、菱形、平行四边形
的判定定理进行判定即可得到结论
【详解】解：A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，说法正确，故选项A符合题意；
B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，故选项B不符合题意；
C. 对角线相等的平行四边形是矩形，原说法错误，故选项C不符合题意；
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原说法错误，故选项D不符合题意；
故选：A
6. 一次函数 的图象不经过（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质进行判断即可.
【详解】解：∵k＝3>0，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、三象限，
∵b＝2＞0，
∴一次函数y＝3x+2的图象与y轴的交点在x轴上方，
∴一次函数y＝3x+2的图象经过第一、二、三象限，
即一次函数y＝3x+2的图象不经过第四象限．
故选D．
的
【点睛】本题考查了一次函数 图象与性质，熟知一次函数k、b的符号与其经过的象限是解题的关键.
7. 如图，一根长 的吸管置于底面直径为 ，高为 的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不
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学科网（北京）股份有限公司可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出
吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论．
【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短，
此时 ，
故吸管露在杯子外面的长度的最短距离 ；
当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为 ，
即吸管在杯子外端的长度范围是 ，
选项D不符合题意，
故选：D
8. 如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，若
， ，则菱形 的面积为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 8 B. 16 C. 32 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，由菱形的性质得出 ， ，
，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 ，最后由菱形的面积公式计
算即可得出答案．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的面积为 ，
故选：B．
9. 如图，在四边形 中，P 是对角线 的中点，点E，F 分别是 的中点， ，
， ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，根据三角形中位线定
理得到 ， ，得 ，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵P是 的中点，E是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ,
∴
∴
同理， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
10. 下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积 与边长 ；
②等腰三角形周长为20，底边长 与腰长 ；
③汽车从 地匀速行驶到 地，汽车行驶的路程 与行驶时间 ；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积 与一边长 ．
其中，变量 与变量 之间的函数关系可以用形如 (其中 是常数， )的式子表示的是（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可
得出答案．
【详解】解：①正方形的面积 与边长 ，则 ，故不符合题意；
②等腰三角形周长为20，底边长 与腰长 ，则 ，即 ，故符合题意；
③汽车从 地匀速行驶到 地，汽车行驶的路程 与行驶时间 ，则 ，故符合题意；
④用长度为10的绳子围成一个矩形，矩形的面积 与一边长 ，则 ，
故不符合题意；
综上所述，符合题意的有②③，
故选：C．
二、填空题(本题共16分，每小题 2 分)
11. 已知正比例函数 的图象经过第二，四象限，请写出一个符合条件的函数表达式______．
【答案】y=-2x（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质得出k<0求解即可．
【详解】解：∵正比例函数y=kx的图象经过第二，四象限，
∴k<0，
∴函数解析式为：y=-2x，
故答案为：y=-2x（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
12. 若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司由题意知， ，计算求解即可．
【详解】解：由题意知， ，
解得， ，
故答案为： ．
13. 如图，点A在数轴上所对应的数为3， ，且 ，以原点O为圆心，以 为半径作弧，
则弧与数轴的交点C表示的数为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用勾股定理得出 的长，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：
故弧与数轴的交点C表示的数为： ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确得出 的长是解题关键．
14. 一次函数 中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：
x … 0
y … 9 7 5 3 1
那么关于x 的不等式 的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由表格得到函数的增减性后，再得出 时，对应的
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学科网（北京）股份有限公司x的值即可．
【详解】解：当 时， ，
根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，
∴不等式 的解集是 ．
故答案为： ．
15. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按 、面试成绩按 计算加权平均数作为总成
绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分；
【答案】81
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【详解】解：∵笔试成绩按 、面试成绩按 ，
∴总成绩是 （分），
故答案为：81．
16. 我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”．如图，
四个全等的直角三角形拼成大正方形 ，中空的部分是小正方形 ，连接 ．若正方形
的面积为5， ，则 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明 得出
，再结合正方形的面积公式即可得出答案．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵正方形 的面积为5，
∴ ，
故答案为： ．
17. 如图，在矩形 中，E为 上一点，将矩形的一角沿 向上折叠，点B的对应点F恰好落在
边 上．若 的周长为12， 的周长为24，则 的长为________．
【答案】4
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．由矩形和折叠的性质
可知， ， ， ，再根据三角形周长，求得 ， ，
然后利用勾股定理，求出 的长，即可得到答案．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
由折叠的性质可知， ， ，
的周长为12， 的周长为24，
， ，
，
，
， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
，
故答案为：4．
18. 碳 是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳 含量大致不变，当生物死亡后，
机体内的碳 含量会按确定的比例衰减(如图所示)，机体内原有的碳 含量衰减为原来的一半所用的
时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳 的衰变程度计算出样品的大概年代．
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学科网（北京）股份有限公司以下几种说法中，正确的有：________．
的
①碳 半衰期为5730年；
②碳 的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢；
③经过六个“半衰期”后，碳 的含量不足死亡前的百分之一；
④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳 的剩余量所占百分比为 ，则可推断该生物标本大致属
于我国的春秋时期(公元前770年一公元前475年)．
【答案】①②
【解析】
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，根据函数图象提供的信息逐项判断即可得出答案，采用数形
结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：碳 的半衰期为5730年，碳 的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，
后来较慢；故①②正确；
∵每经过一个半衰期，剩余量变为原来的 ，
∴经过六个半衰期后，碳 的含量不足死亡前的 ，故③错误；
由图象可得：碳 的剩余量所占百分比为 所花时间为： ，
∴ ，
∴若某遗址一生物标本2023年出土时，碳 的剩余量所占百分比为 ，则可推断该生物标本大致属
于我国的公元后 年，故④错误，
综上所述，正确的有①②，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：①②．
三、解答题(本题共54分，第19题4分，第20—24题每小题5分，第25题6分，第26题5
分，第27-28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法和除法，再将二次根式化简，最后计算
加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
．
20. 已知：如图，在 中， ．
求作：以 为对角线的矩形 ．
作法：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧在 的内部相交于点P，作射线 与 交于点D；
②以点 A 为圆心， 的长为半径画弧；再以点C 为圆心， 的长为半径画弧，两弧在 的右侧交
于点E；
③连接 ．
四边形 为所求的矩形．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
（2）完成以下证明．
证明：∵ ，
∴四边形 为平行四边形( )．(填推理的依据)
由作图可知， 平分 ，
又∵ ，
∴ ( )．(填推理的依据)
∴ ．
∴平行四边形 是矩形( )．(填推理的依据)
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的判定，角平分线的尺规作图，等腰三角形三线合一：
（1）根据题意作图即可；
（2）根据矩形的判定定理和等腰三角形三线合一定理证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴四边形 为平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．
由作图可知， 平分 ，
又∵ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ (三线合一定理)．
∴ ．
∴平行四边形 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
21. 如图，平行四边形 的对角线 ， 相交于点O，E、F分别是 、 的中点．求证：
．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形
的性质对角线互相平分得出 ， ，利用中点的定义得出 ，从而利用平行四边
形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定 是平行四边形，从而得出 ．
【详解】证明：连接 ， ，如图所示：
∵四边形 是平行四边形,
∴ ,
∵ 分别是 的中点,
，
∴ ,
∴ 是平行四边形，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经过点
．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）一次函数 的图象与x轴交于点B，求 的面积．
【答案】（1） ，详见解析
（2） 的面积2，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，三角形的面积等知识点，
(1)先根据直线平移时k的值不变得出 ，再将点 代入 ，求出b的值，即可得到一次函
数的解析式；
(2)求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；
熟练掌握其性质，灵活利用数形结合是解决此题的关键．
【小问1详解】
∵一次函数 的图象由直线 平移得到，
∴ ，
∵一次函数的图象经过点 ，
∴
∴ ，
∴一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
如图，令 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为2．
23. 数学兴趣小组的同学想要自制弹簧测力计，为此他们需要了解弹簧在弹性限度内的弹簧长度与拉力的
关系，再根据实验数据制作弹簧测力计．经过实验测量，他们得到了6组拉力 与弹簧长度 之
间的数据，如表所示：
弹簧受到的拉力 (单位：
0 5 10 15 20 25
)
弹簧的长度 (单位： ) 6 8 10 12 14 16
（1）在平面直角坐标系中，描出以上述试验所得数据为坐标的各点并顺次连线；
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学科网（北京）股份有限公司（2）结合表中数据，求出弹簧长度 关于弹簧受到的拉力 的函数表达式；
（3）若弹簧的长度为 ，求此时弹簧受到的拉力 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）若弹簧的长度为 ，此时弹簧受到的拉力 的值为
【解析】
【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键．
（1）先描点、再连线，即可得出函数图象；
（2）利用待定系数法计算即可得出答案；
（3）求出当 时的 的值即可．
【小问1详解】
解：描点、连线如图所示：
【小问2详解】
解：设弹簧长度 关于弹簧受到的拉力 的函数表达式为 ，
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学科网（北京）股份有限公司将 ， 代入函数解析式得： ，
解得： ，
∴弹簧长度 关于弹簧受到的拉力 的函数表达式为 ；
【小问3详解】
解：由题意得：当 时， ，
解得： ，
∴若弹簧的长度为 ，此时弹簧受到的拉力 的值为 ．
24. 某校舞蹈队共有12名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位： )，数据整理如下：
a．12名学生的身高∶
160，164，164，165，166，167，167，167，168，168，169，171，
b．12名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.3
（1）写出表中 ， 的值；
（2）现将12 名学生分成如下甲乙两组．对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该
组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 (填“甲组”或“乙
组”)；
甲组学生的身高 165 167 167 168 168 171
乙组学生的身高 160 164 164 166 167 169
（3）该舞蹈队要选六名学生参加艺术节比赛，已经确定甲组四名参赛的学生的身高分别为165，167，
168，168．在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身
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学科网（北京）股份有限公司高的方差最小，则乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
【答案】（1） ，
（2）甲组 （3） 、
【解析】
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，熟练掌握中位数、众数、平均数、方差的求法是解此
题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求解即可得出答案；
（2）分别计算出甲组、乙组学生身高的方差，进行比较即可得出答案；
（3）先计算出已经选择的4名学生的身高的平均数，结合题意分析即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：中位数 ，
众数 ；
【小问2详解】
解：甲组学生身高的平均值是 ，
甲组学生身高的方差是
，
乙组学生身高的平均值是 ，
乙组学生身高的方差是
，
∵ ，
∴舞台呈现效果更好的是甲组；
【小问3详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：∵ ，
∴在乙组选择另外两名参赛学生时，要求所选的两名学生与已确定的四名学生所组成的参赛队身高的方差
最小，则选择的乙组的学生的身高接近 ，故乙组选出的另外两名学生的身高分别为 和 ．
25. 如图，矩形 中，点E为边 上任意一点，连结 ，点F为线段 的中点，过点F作
， 与 、 分别相交于点M、N，连结 、 ．
（1）求证：四边形 为菱形；
（2）若 ， ，当 时，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据已知证明 ，证得 ，根据一组对边平行且相等的四边形是
平行四边形证得四边形 是平行四边形，然后证明 ，即可证得结论；
（2） ， ，则 ，设 ，则 ，利用勾股定理求出x即可解答．
【小问1详解】
证明：矩形 中， ，
∴ ， ，
∵点F为 的中点，
∴ ，
第21页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ 于点F， ，
∴ ，
∴四边形 为菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，
解得 ，
∴ 的长为5．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：
①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的
对角线相等．
26. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象经过点 ， ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数： 的值小于函数 的值，直接写出
的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2） 的取值范围为
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活
运用是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）当 时， ，然后结合题意，得不等式，即可求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵一次函数 的图象经过点 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴这个一次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：当 时， ，
根据题意得：当 时， ，
解得： ，
∵当 时，对于 的每一个值，函数： 的值小于函数 的值，
∴ 的取值范围为 ．
27. 如图，正方形 中，点 在 延长线上，点 是 的中点，连接 ，在射线 上方作
第23页/共32页
学科网（北京）股份有限公司，且 ．连接 ．
（1）补全图形；
（2）用等式表示 与 的数量关系并证明；
（3）连接 ，若正方形边长为5， 直接写出线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）作 交 的延长线于 ，则 ，证明 ，得
出 ，从而得到 ，进而得出 ，作
交 的延长线于 ，连接 ，则四边形 为正方形，再证明
得出 ，证明出 为等腰直角三角形，最后
由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案；
（3）由（2）可得：四边形 为正方形， ， ，由正方形的性质结合题意得出
， ，计算出 ，即可得解．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
第24页/共32页
学科网（北京）股份有限公司；
【小问2详解】
解： ，
证明如下：如图，作 交 的延长线于 ，则 ，
，
∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
第25页/共32页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
作 交 的延长线于 ，连接 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示：
，
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学科网（北京）股份有限公司由（2）可得：四边形 为正方形， ， ，
∵正方形边长为5， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾
股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
28. 在平面直角坐标系 中，对于线段 和点Q，给出如下定义：若在直线 上存在点P，使得
四边形 为平行四边形，则称点Q为线段 的“相随点”．
（1）已知，点 ， ．
①在点 ， ， ， 中，线段 的“相随点”是 ；
②若点Q为线段 的“相随点”，连接 ， ，直接写出 的最小值及此时点Q的坐标；
（2）已知点 ，点 ，正方形 边长为2，且以点 为中心，各边与坐标轴垂直
或平行，若对于正方形 上的任意一点，都存在线段 上的两点M，N，使得该点为线段 的
“相随点”，请直接写出 t 的取值范围．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）① ， ；② ；
（2）
【解析】
【分析】（1）①首先求出 ，然后根据平行四边形的性质得到 ， ，
然后设 ，然后分别验证求解即可；
②首先判断出点Q在直线 上运动，连接 ， ，作点O关于直线 的对称点 ，连
接 ， ，得到 ，当点 ，Q，B三点共线时， 有最小值，
即 的长度，然后求出 ，最后利用勾股定理求解即可；
（2）首先得出正方形 左上角的顶点坐标为 ，右下角的顶点坐标为 ，设 ，
然后分两种情况讨论，分别根据平行四边形的性质求解即可．
【小问1详解】
①∵点 ， ．
∴
∵四边形 为平行四边形
∴ ，
∵点P在直线 上
∴设
∴若 ，且
∴ ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ 符合题意，
∴ 是线段 的“相随点”；
∴若 ，且
∴ ，
∴
∴ ，此时点P，Q和点A，B共线，围不成平行四边形，不符合题意；
∴若 ，且
∴ ，
∴
∴ 符合题意，
∴ 是线段 的“相随点”；
∴若 ，且
∴ ，
∴ ， ，矛盾，不符合题意；
综上所述，线段 的“相随点”是 ， ；
②∵点Q为线段 的“相随点”，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴设 ，
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴点Q在直线 上运动
如图所示，连接 ， ，作点O关于直线 的对称点 ，连接 ，
∴
∴
∴当点 ，Q，B三点共线时， 有最小值，即 的长度
∵点O和点 关于直线 对称
∴
∵
∴
∴ 的最小值为 ；
【小问2详解】
∵正方形 边长为2，且以点 为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
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学科网（北京）股份有限公司∴正方形 左上角的顶点坐标为 ，右下角的顶点坐标为
∵点 ，点 ，设
的
若 与 等长，如图所示，当正方形 左上角 顶点为线段 的“相随点”时，
∴ ，
∴ ，解得
若 与 等长，如图所示，当正方形 右下角的顶点为线段 的“相随点”时，
∴ ，解得
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学科网（北京）股份有限公司∴ t 的取值范围为 ．
【点睛】此题考查了一次函数与四边形综合题，新定义问题，平行四边形的性质，正方形的性质，勾股定
理等知识，解题的关键是正确分析题目，掌握以上知识点．
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