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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京市人大附中七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了倒数的定义．直接利用倒数的定义“两个数乘积是1的数互为倒数”得出答案．
【详解】解： 的倒数为 ．
故选：B．
2. “霜降见霜，谷米满仓”，2023年我国粮食再获丰收．据统计，去年秋粮的种植面积为 亿亩，比
前年增加了700多万亩，奠定了增产的基础．将1310000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
的
【分析】本题考查了科学记数法 表示方法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小
数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表
示时关键是要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解：将1310000000用科学记数法表示应为 ，
故选：B．
3. 下列各组有理数的大小关系中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】本题主要考查了有理数比较大小，熟知正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大
其值越小是解题的关键．
【详解】解：A、 ，原式错误，不符合题意；
B、 ，原式正确，符合题意；
C、∵ ，
∴ 原式错误，不符合题意；
D、 ，原式错误，不符合题意；
故选B．
4. 方程 的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查解一元一次方程，方程两边同除以 即可求得答案．
【详解】方程两边同除以 ，得
．
故选：B
5. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则进行判断即可，此题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A． ，故选项错误，不符合题意；
B． ，故选项正确，符合题意；
C． 与 不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意；
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D． 与 不是同类项，不能合并同类项，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
6. 若 ，则下列等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】A．等式 两边都减 ，得 ，故本选项不符合题意；
B．等式 两边都加 ，得 ，故本选项不符合题意；
C．等式 两边都乘 ，得 ，故本选项符合题意；
D．等式 两边都除以 ，得 ，故本选项不符合题意．
故选：C．
7. 如图， 是线段 的中点， 是线段 的中点，若 ，则线段 的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，由 是线段 的中点，得出
，由 是线段 的中点得出 ，最后有 计算即可得
出答案，找准线段之间的关系是解此题的关键．
【详解】解： 是线段 的中点， ，
，
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是线段 的中点，
，
，
故选：C．
8. 已知有理数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用数轴比较数的大小，有理数绝对值的性质，乘法和加法计算，解题的关键是掌握
相关法则并应用．
【详解】解：由数轴可知： ，
∴ ，
故选：D．
9. 如图，在正方形网格中有 ， 两点，点 在点 的南偏东 方向上，且点 在点 的东北方向上，
则点 可能的位置是图中的（ ）
A. 点 处 B. 点 处 C. 点 处 D. 点 处
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键；先画出图形，结合网格特点可
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得： ， ， 在 的东北方向， 在 的南偏东 的方向，再画等边三角形 ，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由网格特点可得： ， ， 在 的东北方向，
在 的南偏东 的方向，
在网格中画等边三角形 ， ，连接 并延长，
∴ ，
∴点 可能的位置是图中的 ，
故选B
10. 一副直角三角板如图1放置：直角三角板 的边 与直角三角板
的边 重合，点F在线段 的延长线上．如图2，将图1的直角三角板 绕
点B以每秒 的速度顺时针旋转（当射线 与射线 重合时停止）， 平分 ，当满足
时，三角板 的运动时间为（ ）
A. 31秒 B. 秒 C. 32秒 D. 秒
【答案】B
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【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中
角度的计算，解题的关键是根据旋转的特点，利用角平分线的定义，列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故选：B．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11. 如果单项式 与 是同类项，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了同类项的定义和代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫
做同类项，据此可得 ，则 ．
【详解】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 若关于 的一元一次方程 的解为正数，则 的一个取值可以为______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先解方程得到 ，再由方程的解为正数得到 ，据
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此可得答案．
【详解】解：解方程 得 ，
∵关于 的一元一次方程 的解为正数，
∴ ，
∴ ，
∴ 的一个取值可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）．
13. 小明一家准备自驾去居庸关长城游玩．出发前，爸爸用地图软件查到导航路程为 ，小明用地
图软件中的测距功能测出他家和目的地之间的距离为 ，如图所示，小明发现他测得的距离比爸爸
查到的导航路程少．请你用所学数学知识说明其中的道理：______．
【答案】两点之间，线段最短
【解析】
【分析】本题考查了线段的性质，根据两点之间，线段最短即可得出答案，熟练掌握线段的性质是解此题
的关键．
【详解】解：由题意可得：其中的道理为两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
14. 有这样一个问题：把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余18本，如果每人分4本，
则还缺22本．这个班有多少学生？设这个班有 名学生，则可列方程为______（只列不解）．
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【答案】
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设这个班有 名学生，根据图书数量不变，列出一
元一次方程，即可得出答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
【详解】解：设这个班有 名学生，
由题意得： ，
故答案为： ．
15. 如图所示的网格是正方形网格，则 ______ ．（填“ ”“ ”或“ ”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了角的比较，根据 ， 即可得到结论．
【详解】解：如图所示， ，
∴ ，
故答案为： ．
16. 互不重合的三个点 ， ， 均在数轴上，已知 ， ， ，给出下列说法：
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①若点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，则 ， ；
②若点 表示的数为 ， ，则点 表示的数为 ；
③有理数 ， ， 满足 ；
④若 ， ， ，则点 一定在线段 上．
其中所有正确说法的序号是 ________（填写正确的序号）
【答案】①③④
【解析】
【分析】本题主要考查数轴、线段：
①可知 ， ， ，即可判断说法是否正确；
②可知 ，即可判断说法是否正确；
③ ， ， 的关系可能情形为： ， ， ，分类讨论，即可判断说法是否正确；
④分三种情况讨论：当点 在 上时，当点 在 上时，当点 在 上时，即可判断说法是否正确．
【详解】①若 表示数为 ， 表示数为 ， 表示数为 ，
则 ， ， ．
故①正确
②若 表示数为 ， ，则
，
∴ ．
∴ 或 ．
∴ 表示数为 或 ．
故②错误，
③ ， ， 的关系可能情形为： ， ， ．
当 或 时， ，
当 时， ，
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∴ ．
故③正确，
④若 ， ， ，且 ．
当点 在 上时，则有 ，即
．
化简得： ，不成立．
当点 在 上时，则有 ，即
．
化简得 ，不成立．
当点 在 上时，则有 ，即
．
化简得 ，
解得 ．
∴点 定在线段 上．
故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题（本题共52分，第17-18题，每小题7分，第19-22题，每小题7分，第23-24
题）
17. 计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）7 （2）1
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键．
（1）根据有理数的混合运算法则计算即可得出答案；
（2）先计算乘方与绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可．
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【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解： ．
.
18 解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【小问1详解】
解：
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ；
【小问2详解】
解：
去分母得： ，
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去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
系数化为1得： ．
19. 先化简求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键，将原式去括号，合并同类项后
代入数值计算即可．
【详解】解：原式
；
当 时，
原式 ．
20. 如图，已知 ，点 在射线 上．
（1）请按照下列步骤画图(保留作图痕迹)：
①用圆规在射线 上取一点 ，使 ；
②在 内部作射线 ，使 ；
③在射线 上取一点 (不与点 重合)，连接 ， ；
（2）由图可知， (填“ ”“ ”或“ ”)．
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【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查基本的几何图形：
（1）按要求作图即可；
（2）根据线段比较的方法，借助圆规，即可求得答案．
【小问1详解】
如图所示：
【小问2详解】
借助圆规可知， ．
故答案为：
21. 如图， ， 是 内部的两条射线， ， ， 与
互为补角，求 的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，补角的定义，根据度数之和为180度的两个角互为补角
得到 ，进而推出 ，则 ．
【详解】解：∵ 与 互为补角，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
22. 如图，点C，D在线段 上， ， ，D为线段 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）若E是直线 上一点，且 ，求线段 的长．
【答案】（1）5 （2）7或17
【解析】
【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系，注意分情况讨论是解题的关键．
（1）先计算出 ，再根据线段中点的定义求解；
（2）分E在A的左侧、右侧两种情况，利用线段的和差关系分别求解即可．
【小问1详解】
解： ，
∵D为线段 的中点，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
若E在A的左侧，则 ，
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若E在A的右侧，则 ，
∴线段 的长为17或7．
23. 故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，掌握了先进的现代科
学技术，拥有上百位从事各类文物保护修复与研究的优秀专业技术人才，是一所名副其实的、的现代科学
理念和架构的“文物综合性医院”．半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿．文物修复师们计划
用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物．需要720个月完成．假设每
名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师
才能按时完成修复工作？
【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要增加 名文物修复师才能按时完成修复工作，
根据工作总量 工作时间 工作效率列出方程求解即可．
【详解】解：设还需要增加 名文物修复师才能按时完成修复工作．
依题意列方程，得 ．
解得 ．
答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作．
24. 定义一种新运算“&”：当 时， ；当 时， ；当 时，
．例如： ．
（1）直接写出 ；
（2）已知 ，求 的值；
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（3）若关于 的方程 的解为 ，则 的值为 ．
【答案】（1）
（2）2或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法、解一元一次方程，理解题意，采用分类讨论的思想，准确进行计算是
解此题的关键．
（1）由 得出 ，即可得解；
（2）分三种情况：当 时，当 时，当 时，分别得出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（3）由题意可得 ，从而得出 ，解方程
即可得出答案．
【小问1详解】
解： ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：当 时， ，即 ，
解得： ；
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当 时， ，即 ，
解得： ；
当 时， ，即 ，
解得： （不符合题意，舍去）；
综上所述， 的值为2或 ；
【小问3详解】
解： ，
，
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
25. 已知 为直线 上一点，射线 ， ， 位于直线 的上方， ，
， 在 的左侧．
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（1）如图1，若 ，则 ；
（2）已知 ，射线 平分 ．
①如图2，当 时，猜想 与 之间的数量关系，并证明；
②射线 在直线 的下方，且满足 ，射线 平分 ，当 与
互余时，直接写出 的度数为 ．
【答案】（1）
（2）① ，理由见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的定义、余角和补角:
（1）根据 ，即可求得答案；
（ 2 ） ① 根 据 ， ，
，进而可求得 ；
②根据 ，
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可求得 ，
，然后分两种情况： 和 ．
【小问1详解】
∵ ， ， ， ，
∴ ．
故答案为：
【小问2详解】
①由题可得射线 平分 ，则
，
又∵ ， ， ，
，
∴ ．
∴ ．
②∵ 与 互余，
∴ ．
∵射线 平分 ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ．
∴ ．
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∵射线 在直线 的下方，
∴ ．
∴ ．
当 时，如图所示．
由（2）①得 ，
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
当 时，如图所示．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
综上所述， 的度数为 ．
故答案为： ．
26. 在数轴上，把原点记作点 ，点 和点 分别表示的数为 ， ，我们称关于 的一元一次方
程 为线段 的相关方程，将方程 的解记为 ， 在数轴上对应的点为 ，
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若点 在线段 上，则称线段 为美好线段， 为线段 的美好点．
（1）若 ， ，则线段 的相关方程为 ；线段 是否是美好线段
（填“是”或“否” ；
（2）已知 ，若线段 的美好点恰好是线段 的中点，求点 表示的数；
（3）已知数组 ， ， ， ， ， ， ， ，一共有4047个数，
数组 ， ，0，1，2，3，4，5，6，7，一共有10个数．有理数 是数组 中的一个数，有理数
是数组 中的一个数，若线段 为美好线段，且线段 的美好点在数轴的正半轴上，则这样的美好
点一共有 个．
【答案】26. ，是
27.
28. 46
【解析】
【分析】本题考查了定义新运算，一元一次方程的解，数轴上的点
（1）由题意和美好线段 的定义可得答案；
（2）由线段 的美好点恰好是线段 的中点，得 ，将 代入计算可得 ，即
可求出点 表示的数；
（3）根据一元一次方程的定义求出 ，再解得 ，分两种情况 或 ，当
时，解得 ；当 时，解得 ，即可得美好点数．
【小问1详解】
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解：由题意可知线段 的相关方程为
，
解得： ，
，
线段 是美好线段；
故答案为： ； 是．
【小问2详解】
解：由题意可知： ，
，
解得： ，
，
点 表示的数是 ；
【小问3详解】
解： 是关于 的一元一次方程，
，
解方程 ，
解得： ，
即 ，
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点 在线段 上，
，即 ，
，
解得： ，
，
，
或 ，
因为美好点在数轴的正半轴上，即 ，
所以 ，
当 时， ，
即 ，
解得： ，所以 ，
，即 ，
解得： ，
所以 ，
所以 可取 ， ， ， ， 共8个；
当 时， ，所以 ，
解得： ，
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所以 ，
，
即 ，
解得： ，
所以 ，
所以 可取 ， ， ， ， 共38个，
，
美好点一共有46个；
故答案为：46．
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