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丰台区 2022～2023 学年度第一学期期末练习八年级数学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就
叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形的定义，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原
图重合．
2. 随着科技不断发展，芯片的集成度越来越高．我国企业中芯国际已经实现 14纳米量产，14纳米等于
0.000014毫米，将0.000014用科学记数法表示应为（ ）．
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不
同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：将0.000014用科学记数法表示应为 ，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了科学记数法，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．
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学科网（北京）股份有限公司3. 已知三角形的两边长分别为 和 ，则第三边的长可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定第三边的取值范围，后根据选项计算选择．
【详解】设第三边的长为x，
∵ 角形的两边长分别为 和 ，
,
∴3cm＜x＜13cm
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系定理，熟练确定第三边 的范围是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方法则对选项逐个判断即可．
【详解】解： ，A选项错误，不符合题意；
，B选项错误，不符合题意；
，C选项正确，符合题意；
，D选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】此题考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方，解题的关键是熟练掌握各个运算法
则．
5. 等腰三角形的一个角是 ，它的底角的大小为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【详解】解：①当顶角是 时，它的底角 ；
②底角是 ．
所以底角是 或 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题
时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6. 若a≠b，则下列分式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质进行判断解答即可．
【详解】解：∵a≠b，
∴A. ，此选项错误，不符合题意；
B. ，此选项错误，不符合题意；
C. ，此选项错误，不符合题意；
D. ，此选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟知分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为零
的数或式子，分式的值不变，注意不是同时加或减去一个不为零的数．
7. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点
M、N；再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点
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学科网（北京）股份有限公司D，则下列说法中不正确的是（）
A. BP是∠ABC的平分线 B. AD=BD C. D. CD= BD
【答案】C
【解析】
【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；
B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可
判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝ ∠ABC＝30°，
∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，
∴S ＝2S ，所以C选项的结论错误．
ABD CBD
△ △
故选C．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内
角和进行计算.
8. 我们在观看台球比赛时，发现选手们常常会用反弹的技巧击打目标球．在此过程中，撞击路线与桌边的
夹角等于反射路线与桌边的夹角，如图1， ．如图2，建立平面直角坐标系 ，已知 球位于
点 处， 球位于点 处．现击打 球，使 球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置
不可反弹）撞击，若 球最多在台球桌边反弹两次后击中 球，则满足条件的桌边整点有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】
【分析】根据现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若
A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点只有 一个，即可．
【详解】解：现击打A球，使A球向桌边的整点位置（横纵坐标均为整数，球洞位置不可反弹）撞击，若
A球最多在台球桌边反弹两次后击中B球，则满足条件的桌边整点只有 一个，如图，
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若使分式 有意义，则x的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】由分母不为零可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为零”是解本题的关键．
10. 在平面直角坐标系 中，点 与点 关于 轴对称，则点 的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于 轴对称点的规律，横坐标相同，纵坐标互为相反数，解答即可．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴点 的坐标是 ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题关键是掌握对称点的坐标规律．
11. 分解因式： ___________，
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】直接提取公因式 ，再利用平方差公式分解因式即可得出答案．
【详解】解：
；
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题的关键．
12. 如图，已知 ，请添加一个条件（不添加辅助线）_________，使 ，依据
是_________．
【答案】 ①. ②. ．
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法，结合题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得： ， ，
再由 ，可得 ，
故答案为： ， （答案不唯一）
【点睛】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
13. 若一个正多边形的每一个外角都是 ，则该正多边形的边数是_______．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查多边形外角与边数的关系，正多边形的边数等于 除以每一个外角的度数．
【详解】解：∵一个正多边形的每一个外角都是 ，
∴边数 ．
故答案为：10．
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学科网（北京）股份有限公司14. 如图1，在边长为 的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，
拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答．
【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即 ，
图2是长为 ，宽为 的长方形，因此面积为 ，
∵两个图形阴影部分面积相等，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面
积．
15. 如图， 是等边三角形 的中线， ，则 的度数为______．
【答案】 ##15度
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据等边三角形的性质可得 ，再由 ，可得
，即可求解．
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形 的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角
形的性质是解题的关键．
16. 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他
的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：
（其中 ， ， 均不为零，且两两互不相等）．
（1）当 时，常数 的值为_________．
（2）利用欧拉公式计算： _________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】 ①. 0 ②. 6063
【解析】
【分析】（1）将 代入欧拉公式化简即可求解；
（2）根据所求式子的特点，令 ，求解即可．
【详解】解：（1）当 时，
，
故答案为0
（2）令 ，则
故答案为∶ 6063．
【点睛】本题考查分式的化简求值，弄清欧拉公式的特点，选取恰当的a、b、c、 r的值进行代入是解题
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学科网（北京）股份有限公司的关键．
三、解答题（本题共68分，第17-18题，每小题5分，第19-24题，每小题6分，第25题7
分，第26题8分，第27题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先计算绝对值、负指数和0指数，再加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了含负指数和0指数的实数运算，解题关键是明确负指数和0指数的算法，准确进行计
算．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式计算，再合并同类项，即可求解．
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用乘法公式计算是解题的关键．
19. 计算： ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先计算括号内的，再计算除法即可求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
20. 已知：如图，点A、D、C在同一直线上， ， ， ．求证： ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由条件证得 ，由全等三角形的性质即可证得结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
在 和 中
，
∴ ，
∴ ．
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 ， 掌 握 全 等 三 角 形 的 判 定 方 法 （ 即
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学科网（北京）股份有限公司）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）是解题关键．
21. 先化简，再求值 ，其中x= ．
【答案】﹣5x+1．
【解析】
【详解】试题分析：根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．
试题解析：原式= = =﹣5x+1
当x= 时，原式=﹣5× +1= ．
考点：多项式乘多项式．
22. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】先去分母将分式方程化成整式方程求解，再检验即可．
【详解】解：在方程两边同时乘以 ，得
解得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程有根．
【点睛】本题考查解分式方程，注意解分式方程要验根．
23. 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图的过程．
已知：如图1， ．
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学科网（北京）股份有限公司求作： ，使 ，且点 在射线 上．
作法：
①如图2，在射线 上任取一点 ；
②作线段 的垂直平分线 ，交 于点 ；
③连接 ．
则 即为所求作 角的．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明： 是线段 的垂直平分线，
_________（_________）（填推理的依据）．
（_________）（填推理的依据）．
，
．
【答案】（1）见解析 （2） ，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；等边对等
角
【解析】
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到 ，则根据等腰三角形的性质得到 ，然
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学科网（北京）股份有限公司后根据三角形外角性质得到 ．
【小问1详解】
解：如图，
即为所求作：
【小问2详解】
证明：∵ 是线段 的垂直平分线，
(线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等)，
(等边对等角），
，
．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图
形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把
复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
24. 观察下列算式，完成问题：
算式①：
算式②：
算式③：
算式④：
……
（1）按照以上四个算式的规律，请写出算式⑤：_________；
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学科网（北京）股份有限公司（2）上述算式用文字表示为：“任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍”．若设两个连续偶数分别为
和 （ 为整数），请证明上述命题成立；
（3）命题“任意两个连续奇数的平方差都是4的奇数倍”是否成立？若成立，请证明；若不成立，请举出
反例．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）不成立，反例见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意写出算式⑤，即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解，即可；
（3）设两个连续奇数分别为 和 （ 为整数），利用平方差公式进行因式分解，即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：算式⑤： ；
故答案为：
【小问2详解】
解：设两个连续偶数分别为 和 （ 为整数），
，
∵ 是4的奇数倍，
∴任意两个连续偶数的平方差都是4的奇数倍；
【小问3详解】
解：不成立，
设两个连续奇数分别为 和 （ 为整数），
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学科网（北京）股份有限公司∵ 是偶数，
∴任意两个连续奇数的平方差不是4的奇数倍，
例如： 是4的2倍，不是奇数倍．
【点睛】本题考查了因式分解——平方差公式的应用，有理数的混合运算，合理应用公式是解决本题的关
键．
25. 小刚家近期准备换车，看中了价格相同的两款车，他对这两款车的部分信息做了调查，如下表所示：
燃油车 新能源车
油箱容积：40升 电池电量：60千瓦时
油价：9元/升 电价：0.6元/千瓦时
续航里程： 千米 续航里程： 千米
每千米行驶费用： 元 每千米行驶费用：_______元
（续航里程指车辆在最大的能源储备下可连续行驶的总里程）
的
（1）表中 新能源车每千米行驶费用为________元（用含 的代数式表示）；
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，分别求出两款车每千米行驶费用；
（3）在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元．每年行驶里程至
少超过_______千米时，使用新能源车的年费用更低（年费用=年行驶费用+年其它费用）．
【答案】（1）
（2）燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元
（3）5000
【解析】
【分析】（1）根据每千米行驶费用=相应的费用÷续航里程，即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）结合（1）进行求解即可；
（3）根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为： (元)；
【小问2详解】
解：∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
∴ (元)， (元)，
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元；
【小问3详解】
解：设每年行驶里程为 ，
由题意得： ，
解得 ，
答：当每年行驶里程大于 时，买新能源车的年费用更低．
【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列
出相应的分式方程和不等式．
26. 如图，在 中， ， ，射线 ， 的夹角为 ，过点 作
于点 ，直线 交 于点 ，连接 ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）如图1，射线 ， 都在 的内部．
①设 ，则 （用含有 的式子表示）；
②作点 关于直线 的对称点 ，则线段 与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线 在 的内部，射线 在 的外部，其他条件不变，用等式表示线段
， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）① ；②
（2） ，证明见详解
【解析】
【分析】（1）①根据 ，即可获得答案；
②连接 ，证明 ，即可获得答案；
（2）作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，设 ，证明 ，
由全等三角形的性质可得 ，即可获得结论．
【小问1详解】
解：①∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②如下图，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司由对称的性质可得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：① ；② ；
【小问2详解】
，证明如下：
作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，如下图，
由对称的性质可得 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
27. 在平面中，对于点 ， ， ，若 ，且 ，则称点 是点 和点 的“垂
等点”．在平面直角坐标系 中，
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学科网（北京）股份有限公司（1）已知点 ，点 ，则点 ， ， 中是点 和点 的“垂等
点”的是_______；
（2）已知点 ， ．
①若在第二象限内存在点 ，使得点 是点 和点 的”垂等点”，写出点 的坐标（用含 的式子表示），
并说明理由；
②当 时，点 ，点 是线段 ， 上的动点（点 ，点 不与点 ， ， 重合）．若点 是
点 和点 的”垂等点”，直接写出点 的纵坐标 的取值范围．
【答案】（1）点 ， ；
（2）①点 的坐标为 ，理由见解析；② 的纵坐标 的取值范围为 ．
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理以及两点间距离的求法即可判断；
（2）①过点C作 轴于点D，连接 ，利用 证明 得 ，
，从而有 ，即可求解；②设 ，
，过点F作 轴， 轴于点M、N，分当点F在第二象限时，点F在
第三象限时以及点F在第一象限时求解即可．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
∵点 ，点 ，点 ，
∴ ， ， ，
∴ 即 ， ，
∴ ，
∴点 是点 和点 的“垂等点”，
∵点 ，点 ，点 ，
∴ ， ， ，
∴ 即 ， ，
∴ ，
∴点 是点 和点 的“垂等点”，
∵点 ，点 ，点 ，
∴ ， ，
∴ 即 ，
∴点 不是点 和点 的“垂等点”，
综上，点 和点 的“垂等点”的是点 ， ，
故答案为：点 ， ；
【小问2详解】
解：①点 的坐标为 ，理由如下：
如图1，过点C作 轴于点D，连接 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵点 ， 在第二象限内存在点 ，使得点 是点 和点 的“垂等点”，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ；
②当点F在第二象限时，如图2，图2-1，设 ， ， 过
点F作 轴， 轴于点M、N，
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学科网（北京）股份有限公司∵点 是点 和点 的“垂等点”，
∴ ， ，
∵ 轴， 轴， 轴 轴，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
第25页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，此时 ，
∴ ，
∴点F在第二象限的角平分线上，即点F在 上，
∴ ，
如图3，当点F，在第三象限时，设 ， 过点F作 轴， 轴
于点M、N，
同理可证；四边形 是正方形，点F在第三象限的角平分线上，即点F在 上，
∴ ，
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
如图4，当点F，在第一象限时，设 ， 过点F作 轴， 轴
于点M、N，
同理可证；四边形 是正方形，点F在第一象限的角平分线上，即点F在 上，
∴ ，
∴ ，此时 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的纵坐标 的取值范围为
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、坐标与图形、勾股定理及逆定理、一次函数的图像及
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学科网（北京）股份有限公司性质以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线构造三角形全等以及分类讨论是解题的关键．
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
