文档内容
2024-2025 学年高三上学期 8 月试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净 后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．足球是一项大众喜爱的运动,为了解喜爱足球是否与性别有关, 随机抽取了若干人进行调查,抽取女性人数是男性的
5 1
2 倍,男性喜爱足球的人数占男性人数的 女性喜爱足球的人数占女性人数的 若本次调查得出“在犯错误的概率
不 ,
6
超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,则被调查的男性至少有（ ）人
a 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 5.635 7.879 10.828
a
A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
2 ．已知函数 是定义在R 上的增函数，则a 的取值范围是 ( )
A ． [1, 3) B ． [ 1, 2 ] C ． [ 2, 3) D ． (0, 3)
3 ．下列求导运算正确的是 ( )
9
= 2x D .
4 ．为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10 名学生，根据测
量
数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 ．已知 x = 225 ， y = 1600
i i
，
ˆ
b = 4 ．该班某学生的脚长为24 ，据此估计其身高为
A ．160 B ． 163 C ． 166 D ． 170
5 ．已知函数 若关于 x 的方程[ f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 恰有 6 个不同的实数根，则 m 的取值
范
围是 ( )
答案第 1页，共 14页A ． B ． C ． D .
答案第 1页，共 14页6 ．已知某家族有A 、B 两种遗传性状，该家族某位成员出现A 性状的概率为 ，出现B 性状的概率为 ，A
、B 两种遗传性状都不出现的概率为 ．则该成员在出现A 性状的条件下，出现B 性状的概率为 ( )
1 3 1 3
A ． B ． C ． D .
4 8 2 4
7 ．高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的
水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，
白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是
又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆
玻璃球落入格子的编号为X ，则随机变量X的期望与方差分别为 ( )
A ． 2, B ．2 ，1 C ．3 ，1 D ． 3,
8 ．图①是底面边长为 2 的正四棱柱，直线l 经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l 顺时针旋转45O ，得图
② , 若△BEF 为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为 ( )
A ． (8 + 2 · 2 )π B ． (8 + 4 · 2)π C ． 12π
二．多选题（共 3 小题，每题 6 分，共 18 分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，
部 分选对得 3 分，有选错的得 0 分。）
9 ．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年
都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均 GDPx（单位：万
元）
和总和生育率y 以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022 近十年来的数据(x
i
, y
i
, z
i
)(i = 1, 2,
...10)
绘制了散点图，并得到经验回归方程 = 7.54 + 0.33x ， = 2.88 — 0.41x ，对应的决定系数分别为R2 ， R 2 ，则 ( )
1 2
答案第 2页，共 14页A ．人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关.
B ．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C ． R2 < R2
1 2
D ．未来三年总和生育率一定继续降低
10 ． 甲箱中有 3 个黄球、2 个绿球，乙箱中有 2 个黄球、3 个绿球（这 10 个球除颜色外，大小、形状完全相同），先
从 甲箱中随机取出2 个球放入乙箱，记事件 A ，B ，C 分别表示事件“取出2 个黄球” ，“取出2 个绿球” ，“取出
一黄一 绿两个球” ，再从乙箱中摸出一球，记事件 D 表示摸出的球为黄球，则下列说法不正确的是 ( )
A ．A ，B 是对立事件 B ．事件 B ，D 相互独立
C ． D .
11．已知定义在R 上的函数 满足f ，则
A ． f (x) 的最小正周期为 4 B ． f (2) = 0
C ．函数 是奇函数 = —2024
三．填空题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分。）
f x − 1
( )
12 ． 已知直线l 分别与曲线f (x) = ln x ， g (x) = ex 相切于点 (x 1 , ln x 1 ) ， x 2 , ex2 ， 则 — 的值为
.
13 ．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为 R 的函数： f (x) = x ， f (x) = x2 ， f (x) = x3 ，
1 2 3
f (x) = sin x ，f (x) = cos x ， f (x) = 2 | x | +1 ．现从盒子中逐一抽取卡片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放
4 5 6
回，
若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为 X，则X < 3 的概率为 .
14 ．已知函数f (x) = x3 + ax2 + b 在x = —2 时取得极大值 4 ，则a +b = .
四．解答题（共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛. 比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通
过 的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学
生可
答案第 3页，共 14页获得奖品一纪念版手办. 已知学生每轮通过的概率都为 ，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 ，通过
第
答案第 3页，共 14页二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为 .
(1)求学生小杰获得奖品的概率；
(2)已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；
(3)求学生小杰通过的比赛轮数X的分布列与数学期望.
16 ．如图， AE 丄 平面 ABCD ， E, F 在平面ABCD 的同侧， AE//DF ， AD//BC ， AD 丄 AB ， AD = AB = BC
= 1 .
(1)若B, E, F , C 四点在同一平面内，求线段EF 的长；
(2)若DF = 2AE ，平面BEF 与平面BCF 的夹角为30o ，求线段 AE 的长.
17 ．已知函数 = ln x + 一
(1)若a = 0 ，求f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程；
(2)若x , x (x < x ) 是f(x) 的两个极值点，证明：
1 2 1 2
18 ．已知在四棱锥P 一 ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形， △PAD 是正三角形，E、F、M、O 分别是
PC 、 PD 、 BC 、 的中点， PO 丄 平面 ABCD .
AD
(1)求证： EF 丄 PA ；
(2)求点 B 到平面 的距离；
EFM
(3)在线段PA 上是否存在点 N，使得直线MN 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求线段PN的长度，
若
EFM
不存在，说明理由.
19 ．2023 年 11 月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900
多 项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，
老师 建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手
空空走 出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什
么也没摘 到.假设小明在果园中一共会遇到n 颗番石榴（不妨设n 颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴
答案第 4页，共 14页出现在各个
答案第 4页，共 14页位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前
k(1 ≤ k < n) 颗番石榴，自第k+1 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后
一 颗.设k = tn ，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P .
(1)若n = 4, k = 2 ，求P ；
(2)当n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求P 的最大值及P 取最大值时t 的值.
数学答案
1 ．C【详解】设被调查的男性为x 人,则女性为2x 人,依据题意可得列联表如下表:
男性 女性 合计
5 x 2 x 3 x
喜爱足球
6 3 2
x 4 x 3 x
不喜爱足球
6 3 2
合计 x 2x 3x
因为本次调查得出“在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱足球与性别有关”的结论,所以有
2x
x2 ≥ 7.879 , 即 ≥ 7.879
3
解得x ≥ 11.8185 ,又因为上述列联表中的所有数字均为整数,故x 的最小值为 12.
2 ．B【详解】因为f(x 是定义在R 上的增函
数，
所以 ，解得1≤ a ≤ 2 .
一1+ 2a ≤ 3 一 a + 2
l
答案第 5页，共 14页,
) , ,
3 ．D【详解】 (| sinx - sin | = cosx - 0 = cos x ， (3x + 1)2 7」 = 2( 3x + 1) . 3 = 6( 2x + 1) ，(2 x ) = 2x ln 2 ，
( ,
,
(log x ) = .
2
4 ．C【详解】 由已知x = 22.5, y = 160 ,
: = 160 - 4× 22.5 = 70, y = 4 × 24 + 70 = 166 ， 故选 C.
0
5 ．A【详解】根据f (x ) ，作出f 的大致图象如下：
由图可知：当f (x ) = 0 时，此时由两个根，分别为-2, 1，
当0 < t < 1 时，此时f (x) = t 有 4 个交
点， 当1 ≤ t ≤ 3 时，此时f (x) = t 有 3
个交点， 当t > 3 时，此时f (x) = t 有 2
个交点，
故要使得[f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 由 6 个不同的零点，则令f (x) = t ， t 2 + mt + 2 = 0 有 6 个不同的实数
根， f (x ) = 0 显然不是[f(x)]2 + mf(x) + 2 = 0 的根，
设g(t ) = t2 + mt + 2 的两个零点分别为t , t ，且t ≠ t ，
1 2 1 2
故当0 < t < 1, t > 3 时，此时f (x) = t 有 4 个交点， f (x) = t 有 2 个交点，满足题意，
1 2 1 2
故需要满足 解得m < - ，
当1 ≤ t < t ≤ 3 时，此时f (x) = t 有 3 个交点， f (x) = t 有 3 个交点，满足题意，
1 2 1 2
故需要满足 ， 解得-3 ≤ m < -2 ，
1
0
综上可得-3≤ m < -2 · 2 或m < -
3
6 ．B【详解】记事件E :该家族某位成员出现A 性状，事件F : 该家族某位成员出现B 性状，
则P(E ) = ， P (F ) = ， P ( E ∩ F ) = ，则P(E U F) = 1-P ( E ∩ F ) = ，
答案第 6页，共 14页又因为P(EU F) = P (E ) + P(F )- P(EF) ，则P(EF) = P (E )+ P (F )-P (E UF )=
， 故所求概率为P ( F E )
7 ．C【详解】 白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4 次，向左或向右的概率均为
， 则向左的次数服从二项分布 .
4 4
1 ) 1 1 ) 1
因为P(X = 1) = C4 × (| = , P(X = 2) = C3 × (| = ，
4 | 4 |
( 2 , 16 ( 2 ,
4 4 4
1 ) 3 1 ) 1 1 ) 1
P(X = 3) = C2 × (| = , P(X = 4) = C1 × (| = , P(X = 5) = C0 × |( =
4 | 4 | 4 |
( 2 , 8 ( 2 , 4 ( 2 ,
所以E(X) = 1 × + 2 × + 3× + 4 × + 5× = 3 ，
D(X) = (1 - 3)2 × + (2 - 3)2 × + (3 - 3)2 × + (4 - 3)2 × + (5 - 3)2 × = 1 .
8 ．A【详解】
如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点M , N ,过点M 作MH 丄 EF 于点H ，连接BH , BN ，
依题意，易得直角梯形MNBH , 因△BEF 为边长为 2 的正三角形,则BH 丄 EF ，且BH = ´ 2 =
·、i3 , 又MH = 1 , BN = · , 则MN = · ( )2 - ( -1)2 = 2 .
设该几何体外接球球心为点O ,半径为R ,则点O 为MN的中点，则OM =
2
在Rt△OME 中， R2 = OM2 + ME2 = + 2 ,
于是该几何体外接球的表面积为4πR2 = 4π( + 2) = (8 + 2 )π .
9．AB 【详解】由回归方程 = 7.54 + 0.33x 知人均 GDP 和女性平均受教育年限正相关，故 A 正确；因为 = 7.54 +
0.33x ， = 2.88 - 0.41x ，
可得女性平均受教育年限 z 和总和生育率y 的关系式为 = 2.88 - 0.41× ,
所以女性平均受教育年限 z 和总和生育率y 负相关，故 B 正确；
由散点图可知，回归方程 = 7.54 + 0.33x 相对 = 2.88 - 0.41x 拟合效果更好，所以R2 > R2 ，故 C 错误；
1 2
答案第 7页，共 14页根据回归方程 = 2.88 - 0.41 预测，未来总和生育率预测值有可能降
低， 但实际值不一定会降低，故 D 错误.
10 ．ABD【详解】对于 A ，事件 A ，B 不能同时发生，但能同时不发生，故 A ，B 是互斥事件，但不是对立事
件， 故 A 错误；对于 B ，事件 B 发生与否，影响事件 D ，所以事件 B ，D 不是相互独立事件，故 B 错误；
对于 C ， P (D ) = P (A)P ( D A ) + P(B )P ( D B ) + P(C )P ( D C )
2 1 2 1 1 1 1
C C C C C C C 16
3 4 2 2 2 3 3
= . + . + . = ，故 C
C C2 C1 C2 1C C2 351
5 7 5 7 5 7
对于 D ， P (CD) = P (C )P (D C )= . = ，故 D 错误.
11．AB【详解】对于 A ，因为f (x +1) + f (x + 3) = f (2024)
， 所以f (x) + f (x + 2) = f (2024) ， f (x + 2) + f (x + 4)
= f (2024)， 所以f (x + 4) = f (x) ，故f (x) 的最小正周期为
4 ，A 正确；
对于 B ，因为f (x +1) + f (x + 3) = f (2024)
， 令x = 2021 ，则f (2022) + f (2024) = f
(2024) ， 所以f (2022) = 0 ，
由 A 可知， f (2022) = f (4 × 505 + 2) = f (2) = 0 ，故 B
正确； 对于 C ， 因为f (-x) = f (x + 2) ，①
令x = 0 ，则f (0) = f (2) = 0 ，
所以f (2024) = f (4 × 506) = f (0) =
0 ， 所以f (x) + f (x + 2) = f (2024)
= 0 ，②
由①② , 所以f (x) + f (-x) = 0 ，即 ，故f (x)为奇函
数， 若函数 是奇函数，则f (-xf -−1)x = = -−f (fxx - 1) ，
所以f (-x -1)f =x −f -1 (x +1) = -f (x +1) ，即f (x -1) = f (x +1) ，
所以f (x + 2) = f (x +1) +17」= f (x +1) -17」= f (x ) ，
所以f (x)的最小正周期为 2 ，与选项 A 矛盾，故 C 错误；
1 ) 1 1 ) 1
对于 D ，因为f (x)为奇函数，且f(| = ，所以f(|- = - ，
| |
( 2 , 4 ( 2 ,
答案第 8页，共 14页又因为f (x) 的最小正周期为 4 ，所以f
因为f (-x) = f (x + 2)
) )
所以 k. f k- | = 1 × f (| | + 2× f + 3× f + 4× f ，
, ( ,
8 1 ) 9 ) 11 ) 13 ) 15 )
Σ k. f (|k- = 5× f (| + 6× f (| + 7× f (| + 8× f (|
| | | | |
( 2, ( 2, ( 2 , ( 2 , (
k =5
1 ) 3 ) 5 ) 7 )
= 5 × f (| + 6× f (| + 7 × f (| + 8× f (|
| | | |
( 2 , ( 2 , ( 2 , (
1 1 1) 1)
= 5 × + 6× + 7 ×(| - + 8×(| - = -1，
| |
4 4 ( 4, (
以此类推，
所以 = 506× = -506 ，故 D 错误.
12 ．1
由f = ln x ， g = ex ，有f, = ex
， f (x)在点(x , ln x ) 处的切线方程为y - ln x =
1 1 1
2
g (x ) 在点 ( x , ex ) 处的切线方程为y - ex2 = ex (x - x )，
2 2 2
则有 ，得ln x -1 = ln e-x2 -1 = -x -1 = ex2
1 2
= ex
2
所以ex2 = 可得
.
13 ． /0.8
【详解】易判断f (x) = x2 ，f (x) = cos x ， f (x) = 2 | x |+1 为偶函数，所以写有偶函数的卡片有 3 张， X 的取
2 5 6
值范 围是{1, 2, 3, 4} .
答案第 9页，共 14页14 ． 3
【详解】 由题意可知f, (x) = 3x2 + 2ax ，
答案第 9页，共 14页因为函数f (x) = x3 + ax2 + b 在x = -2 时取得极大值 4 ，所以
{l
解之得
检验，此时f,(x) = 3x (x + 2) ，令f, (x) > 0 → x > 0 或x <
-2 ， 令f, (x ) < 0 → 0 > x > -2 ，
[a
3
即f (x)在(-∞, -2), (0, +∞) 上单调递增，在(-2, 0) 上单调递减，即{ 满足题意，
lb 0
故a +b = 3 .
15 ．(1) (2) (3)分布列见解析， .
【详解】（1）记事件 A ：学生通过第i 轮，事件B ：学生通过第i 轮就选择奖品离
i i
开， 事件C ：学生通过第i 轮且继续答题， (i = 1, 2, 3 ），
i
由题意得P(A ) = , P (B | A ) = , P (C | A ) = , P (A | C ) = , P (B | A ) = ， P (C | A ) = , P (A |
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 3
C ) = .
2
记事件B ：学生获得奖品.则B = B + B + B ，
1 2 3
P (B ) = P (A B ) = P (A ) P ( B ∣A ) = × = ，
1 1 1 1 1 1
P (B ) = P (A )P ( C ∣A ) P ( A ∣ C ) P ( B ∣ C ) = × × × = ，
2 1 1 1 2 1 2 2
P (B ) = P (A )P ( C ∣A ) P ( A ∣ C ) P ( C ∣A ) P ( A ∣ C ) = × × ×
3 1 1 1 2 2 2 2 3 2
× = ， P (B ) = P (B ) + P(B ) + P(B ) = + + = .
1 2 3
（2）学生小杰获得奖品，则至少通过两轮比赛的概率：
（3） 由题意，随机变量X可取0, 1, 2, 3，
可得P(X = 0) = P ( A ) = ， P(X = 1) = P ( A B +C A ) = P (A B )+ P
1 1 1 1 2 1 1
( C A ) = P (A )P ( B ∣A ) + P (A )P ( C ∣A ) P ( A ∣C ) = × +
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1
× × = ，
答案第 10页，共 14页P (X = 3) = P (A )P ( C ∣A ) P ( A ∣C ) P ( C ∣A ) P ( A ∣C ) = × × × ×
1 1 1 2 1 2 2 3 2
= ， P (X = 2) = 1- P(X = 0)- P(X = 1)- P(X = 3) = 1 - - - = ，
答案第 10页，共 14页所以X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 1 1 1
P
2 3 8 24
所以期望为
16 ．(1)1； (2)
【详解】（1）」AD//BC ， BC 平面BCEF ， AD 丈 平面BCEF ， :AD// 平面
BCEF ， 」AE//DF ，则A, E, F, D 四点共面，
」AD// 平面BCEF ，AD 平面 ADFE ，平面BCEF ∩ 平面 ADFE = EF ，:AD//EF ，又AE//DF ，则四边形
ADFE 是平行四边形，
: EF = AD = 1 ；
（2） 以A 为原点，分别以AB 、 AD 、 AE 所在直线为x 轴、 y 轴、 z 轴，
-- -→ -- -→
建立空间直角坐标系，设AE = λ(λ> 0) ，则E(0, 0,λ)，F (0, 1, 2λ)， )，C (1, 2, 0)，B E = (-1, 0,λ) ，B F
--
= (-1, 1, 2λ) ， B = (0, 2, 0) ， B 1,0,0
设 = (x 1 , y 1 , z 1 ) 是平面BEF 的一个法向量，
由 ，得 ，令z = 1 ，可得x = y = -
1 1 1
0
可得 = (λ, -λ, 1) ，
设 ( )是平面BFC 的一个法向量，
- y
-→
n . =B x 2 , y 2 , Z 0 2 [ 2 0
由{ - - ，得{ 2 ，令z 2 = 1 ，可得x 2 = 2λ,y 2 = 0 ，
. B 0 l - x 2 y 2 + 2λz 2 = 0
可得 = (2λ, 0, 1)，
→ →
→ → m . n 2λ2 +1 3
依题意 cosm, n→ =→ ,
m n λ2 + ( - )2 +1 . λ )2 + 02 +12 =
解得λ= ， : AE = .
17 ．(1)2x + y - 5 = 0 ； (2)证明见解析
答案第 11页，共 14页当 a = 0 时， f = ln x + ，则f,
所以 = ln1+ = 3 ， f, = -2 ，
所以f(x) 在点(1, f(1)) 处的切线方程为y - 3 = -2(x -1)
， 即2x + y - 5 = 0
（2）证明： 由f(x) = ln x + - ，可知
因为x , x （ x < x ）是f (x) 的极值点，
1 2 1 2
所以x 1 , x 2 方程x2 - 3x + a = 0 的两个不等的正实数
根， 所以x + x = 3 ， xx = a > 0 ，
1 2 1 2
要证 成立，
ln x - ln x 3 ln x - ln x x + x
只需证 1 2 < ，即证 1 2 < 1 2 ，
x - x a x - x x x
1 2 1 2 1 2
设 ，则0 < t < 1 ，即证ln t > t - ，
令h (t ) = ln t - t + (0 < t < 1) ，
所以h (t ) 在(0, 1) 上单调递减，则h (t ) > h (1) = 0 ，
所以ln t > t - ，故
4
18 ．(1)证明见详解 (2) (3)存在点N 满足题意， PN =
3
【详解】（1）因为PO 丄 平面 ABCD ， CD 平面 ABCD
， 所以PO 丄 CD ，又底面 ABCD 是正方形，则 CD 丄
AD ， 且 AD 与PO 是平面PAD 内两条相交直线，
所以CD 丄 平面PAD ， PA 平面PAD ，所以CD 丄 PA ，
答案第 12页，共 14页又E, F 分别是PC, PD 的中点，所以EF / /CD
， 所以EF 丄 PA.
（2）因为E, F , M , O 分别是PC, PD , BC, AD 的中
点， 所以EF / /CD / /OM，
所以平面 EFM 即是平面 FOM ，
由（1）知CD 丄 平面PAD ，则OM 丄 平面PAD ， FO 平面PAD ，
: OM 丄 FO ，则S = OM . OF = × 4 × 2 = 4 ，
VFOM
设点B 到平面EFM 的距离为d ，由 V
B — FOM
= V
F — OBM
，
得 S . d = S . PO ，即4d = × 2 × 4 ×
VFOM VOBM
, 解得d = ，
所以点B 到平面EFM 的距离为 · .
（3）如图以O 为原点， OA -- , O - M -- , OP 为x, y, z 轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，
( ) ( ) ( )
则P 0
,
0
,
2
， ，
M ( 0
,
4
,
0 )
，
E —1
,
2
, ，
F —1
,
0
, ，
: P -- A = ( 2 , 0 , —2 A) 2 ， , 0 , 0 E - - F - → = ( 0 , —2 , 0 ) ， E -- M - = ( 1 , 2 , — ) ，
-- --
设线段PA 上存在点N(x, 0, z ) ，使得MN 与平面EFM 所成角的正弦值为 ，且P = tP A (0 ≤ t ≤
1)，
: ( x, 0, z — 2 i3 ) = t ( 2, 0, —2 · ) ，
-
--
:M N = (2t , —4, 2 ·、i3 — 2 s3t ) ，
设平面EFM 的一个法向量为 ( )，
-→
n = a, b, C
·
则 即 ，令c = 1 ，得a = 3,b = 0 ，
3c = 0
: =
(、i3,
0, 1
)
，
整理得18t2 — 27t + 7 = 0 ，
4t2
+
解得 或 （舍），
即存在点N 使得直线MN 与平面EFM 所成角的正弦值为 ，此时PN = .答案第 13页，共 14页(2) P 的最大值为 ，此时t 的值为 .
【详解】（1）依题意，4 个番石榴的位置从第 1 个到第 4 个排序，有A4 = 24 种情
4
况， 要摘到那个最大的番石榴，有以下两种情况：
①最大的番石榴是第 3 个，其它的随意在哪个位置，有A3 = 6 种情况；
3
②最大的番石榴是最后 1 个，第二大的番石榴是第 1 个或第 2 个，其它的随意在哪个位置，有2A 2 = 4 种情况，
2
所以所求概率为 .
（2）记事件A 表示最大的番石榴被摘到，事件B 表示最大的番石榴排在第i 个，则P
i
， 由全概率公式知
当1 ≤ i ≤k 时，最大的番石榴在前k 个中，不会被摘到，此时P(A| B ) = 0；
i
当k+1 ≤ i ≤ n 时，最大的番石榴被摘到，当且仅当前i -1个番石榴中的最大一个在前k 个之中时，此时P
， 因此
令 求导得 ，由g , 得
， 当 时， g , > 0 ，当x ∈ 时， g,
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 = g 于是当 取得最大值 ，
max
1 1
所以P 的最大值为 e ，此时t 的值为
e .
答案第 14页，共 14页
