文档内容
#$#%届高三统一考试试题
数学参考答案
!!&"!解析"本题考查集合的运算#考查运算求解能力!
%’"
解不等式
"
##!得$$"%!!所以#(""&$$"%!#!则’! #(""&"%$或"(!#!
#!)"!解析"本题考查复数的运算#考查运算求解能力!
由题可知$(#’*!$(+*!则$( +* ( $#,*%&+* (’!,#*!复数 $ #的虚部为#!
! # #’* + $
!
%!)"!解析"本题考查函数的图象#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!
#,-./$’#"% #,-./#" !
因为%$’"%( (’ (’%$"%!所以%$"%为奇函数!故排除1!2!又%$ %(!($!所
/*0$’"% /*0" #
以排除&!
"!&"!解析"本题考查直线与抛物线的位置关系#考查分类讨论的数学思想!
因为点$!!#%在抛物线&#(""上!所以有且只有一条过点$!!#%的直线与抛物线相切!此时的直线方程为&
(",!!当斜率为$时!直线与抛物线相交!且只有一个交点!此时的直线方程为&(#!故选&!
+!1"!解析"本题考查球的应用#考查空间想象能力!
设球’的半径为(!则"!(#(%3!!所以((%!)#)*外接圆的半径为槡%!所以点’到平面#)*的距离为
槡%#’$槡%%#(槡3!三棱锥’’#)*的体积为
!
4
槡%
4%#4槡3(
5槡#
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3!2"!解析"本题考查指数和对数的运算#考查抽象概括能力!
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由题意!+(,-"(
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!即-"(
% !所以-(槡%
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(67
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可得 .$67%’#67#%(’67%!即.( *!3!
" #67#’67%
8!1"!解析"本题考查排列组合#考查逻辑推理的核心素养!
将+人按%!!!!分成三组!且甲’乙在同一组的安排方法有1!种!
%
将+人按#!#!!分成三组!且甲’乙在同一组的安排方法有1#种!
%
则甲’乙两人被分在同一个足球场的安排方法种数为$1!,1#%)%(%3!
% % %
9!2"!解析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
由已知可得-./($!," %,$!’" %),-./($!," %’$!’" %),!(#-./$!’" %,-./$!," %!
#-./$!," %-./$!’" %’#-./$!’" %’-./$!," %,!($!
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又$$!$"$ !所以$$!,"$!!’ $!’"$$!则!’"(’ !所以"’!( !
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5!)1"!解析"本题考查三角函数的图象与性质#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!
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由题可得%$"%(#/*0$#"’ %!)正确*因为%$ %(#/*0$ ’ %(’!!所以%$"%的图象不关于直线"
% !# 3 %
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( 对称!&错误*因为%$ %(#/*0$ ’ %($!所以%$"%的图象关于点$ !$%对称!1正确*因为#"’
!# 3 % % 3
! ! #! !
+$’ ! %!所以函数%$"%在$$! %内不是增函数!2错误!
% % % #
!$!&1"!解析"本题考查平均数与方差#考查数据处理能力!
!$45,!$48 !$ !$
由题意!该样本数据的平均数,,( (9!方差/#( 4(!!,$5’9%#), 4(9,$8’9%#)(
!$,!$ #$ #$
!!高三数学"参考答案"第""""!页#共"页$!%
书书书!$:+!
!!!)&1"!解析"本题考查抽象函数的性质#考查抽象概括能力!
令0(1(!!得%$!%(%$!%,%$!%!所以%$!%($!选项)正确!
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%!%$"%在$$!,;%上是减函数!又%$"%为!上的奇函
! !
数!%$’!%($!%$$%($!所以%$"%有三个零点!将%$"%的图象向右平移#个单位长度得到%$"’#%的图
象!所以%$"’#%有三个零点!选项&正确!
由于%$"%为奇函数!所以%$"%在$’;!$%上也是减函数!选项1正确!
由题意!画出%$"’#%的图象!如图所示!
""$$! ""($!
"%$"’#%$$等价于 或
%$"’#%($ %$"’#%$$!
由图可知!不等式的解集为""&"$$或!$"$#或"(%#!选项2不正确!故选
)&1!
!#!)12"!解析"本题考查空间向量与立体几何#考查直观想象和逻辑推理的核心素养!
!
对于)!易证2
!
).平面#)
!
*!所以当#(
#
时!2
!
3.平面#)
!
*!即平面#2
!
3.平面#)
!
*!故)项
正确*对于&!平面#
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2* !/平面#)
!
*!又因为4+平面#
!
2*
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!所以3与#
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重合!5与*
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重合!此时#(
!
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#
时!35.)
!
*
!
!35.#
!
*!此时35最小!最小值
! #
为槡#!故1项正确*对于2!当#(
#
! $(
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时!在#
!
2
!
上取靠近2
!
点的三等分点6!连接64并延长交
#2于点7$图略%!易得点7是#2上靠近#点的三等分点!在)*上取靠近)点的三等分点8!易知四边
"槡!$
形6785为矩形!求得面积为 !故2项正确!故选)12项!
%
!%!!3"!解析"本题考查平面向量的数量积公式#考查运算求解能力!
由$!’"%."!得$!’"%&"($!即!&"("#!0’3(!$!则0(!3!
!"!’"#,%"’#$答案不唯一%"!解析"本题考查不等式的应用#考查化归与转化的数学思想!
令%$"%(’"#,%"’#!则%$"%&60"(’$"’!%$"’#%60"($的解集为8!
槡"#
!+! "!解析"本题考查双曲线的综合#考查数学运算和逻辑推理的核心素养!
3
易知9 &9 ( -# !所以 ! 4 ! ( -# !即 -# ( ! !所以*的离心率为槡!, -# ( 槡"# !
8# 8) ,# 槡!%’! 槡"’! ,# ,# 3 ,# 3
%
!3!
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"!解析"本题考查函数的综合应用#考查化归与转化的数学思想!
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由已知可得#,槡" $ ,-’< " # $ ($!" $+( ! " !<)!不妨设直线:+#槡" $ ",&’< " # $ ($!则点#$,!-%是直线:上
的一点!原点’到直线:的距离;( < " # $ (槡<"$ !则&’#&(槡,#,-##;(槡<"$ !设<$"%(
槡"" $ ,! "" $ ,! "" $ ,!
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则当1(!时!!(#!即,("!………………………………………………………………………………!分
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上式与 !, #, %,,, 1 (1#,1相减!得 1 (#1!
# % " 1,! 1,!
所以,(#1$1,!%!…………………………………………………………………………………………"分
1
又,("!满足,(#1$1,!%!所以,(#1#,#1!…………………………………………………………+分
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$#%证明+ ( ( ( ’ )!…………………………………8分
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所以 , ,,, ( ( ’ )$ ! ………………………………………!$分
%, ", $1,#%, " # $1,!%$1,#% 9
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!9!解+$!%设甲获得的奖金为=元!则=可能的取值为$!#$$!8$$!…………………………………………!分
8$=(#$$%($:84$:+4$:+4$:9($:!"!…………………………………………………………………#分
8$=(8$$%($:84$:+4$:+4$:#($:$%+!………………………………………………………………%分
8$=($%(!’$:!"’$:$%+($:9#+!………………………………………………………………………"分
所以4=($:9#+4$,$:!"4#$$,$:$%+48$$(+#:+! …………………………………………………3分
$#%由$!%可知!获得二等奖的概率为$:!"!获得一等奖的概率为$:$%+! ………………………………9分
设事件#+甲和乙最后所得奖金之和为5$$元!设事件)+甲选手获得一等奖!
8$#)% $:$%+4$:!" !
则所求的概率8$)&#%( ( ( !………………………………………………!#分
8$#% $:$%+4$:!"4# #
!5!$!%证明+由--./*’-./)(!!可得--./*’>-./)(>!…………………………………………………#分
所以/*0)-./*’/*0*-./)(/*0*!………………………………………………………………………%分
则/*0$)’*%(/*0*! ………………………………………………………………………………………"分
所以)’*(*或)’*,*(!$舍去%!即)(#*!…………………………………………………………3分
1$$#$ ! !1$$!’%*$ ! !
# #
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$#%解+由)#)*为锐角三角形!可得0$$)$ !则0$$#*$ ! 即 $*$ !…………………5分
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! 2$$*$
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由正弦定理可得 ( !则,( ( ( (%’"/*0#*+$!!#%!
/*0# /*0* /*0* /*0* /*0*
所以,的取值范围为$!!#%! ………………………………………………………………………………!#分
#$!$!%证明+连接#’!因为#).#*!’为)*的中点!所以’#(’)(’*!………………………………!分
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间直角坐标系!则#$槡#!$!$%!*$$!’槡#!$%!#
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776 776 776 776
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设平面# ! ) ! *的法向量为#($"!&!$%!由 #&# 77 ! 6 *($! 得0 2’槡#&’槡#$($!
令&(!!得"(!!$(’!!即#($!!!!’!%!………………………………………………………………9分
776
设平面#
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?*的法向量为$($,!-!>%!由 "
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&$&&#& 槡%4槡$!’##%#,# % "
776 %776 槡%
即当)?( )*时!二面角?’#*’) 的余弦值为 !……………………………………………!#分
! " ! ! ! ! %
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-(’#!
$#%证明+要证%$"%$?@0"!只需证%/*0"’%"-./"’"#/*0"($!………………………………………8分
令<$"%(%/*0"’%"-./"’"#/*0"!则<=$"%(%-./"’%-./",%"/*0"’#"/*0"’"#-./"("$/*0"’
"-./"%!………………………………………………………………………………………………………9分
令@$"%(/*0"’"-./"!"+$$!!)!则@=$"%(-./"’-./","/*0"("/*0"($!所以@$"%在$$!!)上单调
递增!所以@$"%(@$$%($!即<=$"%($!…………………………………………………………………!$分
所以<$"%在$$!!)上单调递增!则<$"%(<$$%($!即当"+$$!!)时!%$"%$?@0"!…………………!#分
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776 776
因为’5(槡%’3!所以"(槡%0!&(槡%1!…………………………………………………………………#分
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则0 $ " ! ," $%# 作差可得 " $,&# $ , $ # !,#&$&! ’%($!
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# $(!!所以"
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,"&$&# ($!………………………………………………………………………………………9分
所以*!2都在直线"
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联立0 2 " " # ,&#(!! 可得&#( "# $ , $ "&# $ ( !# $!"#("$!’ !# $%!
即&*2&(#槡"#,&#(槡!3’"#
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点8到直线*2的距离;( "# $ ,"&# $ ( !# ( "槡% !……………………………………!!分
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4槡!3’"#
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(#槡%!………………………………!#分
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!!高三数学"参考答案"第"""""页#共"页$!%
