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训练 2 用动力学和能量观点分析多运动组合问题
1.“高台滑雪”一直受到一些极限运动爱好者的青睐。挑战者以某一速度从某曲面飞出，在
空中表演各种花式动作，飞跃障碍物(壕沟)后，成功在对面安全着陆。某实验小组在实验室
中利用物块演示分析该模型的运动过程：如图所示，ABC为一段半径为R＝5 m的光滑圆弧
轨道，B为圆弧轨道的最低点。P为一倾角θ＝37°的固定斜面，为减小在斜面上的滑动距离，
在斜面顶端表面处铺了一层防滑薄木板 DE，木板上边缘与斜面顶端D重合，圆形轨道末端
C与斜面顶端D之间的水平距离为x＝0.32 m。一物块以某一速度从A端进入，沿圆形轨道
运动后从C端沿圆弧切线方向飞出，再经过时间t＝0.2 s恰好以平行于薄木板的方向从D端
滑上薄木板，物块始终未脱离薄木板，斜面足够长。已知物块质量 m＝3 kg，薄木板质量M
＝1 kg，木板与斜面之间的动摩擦因数μ ＝，木板与物块之间的动摩擦因数μ ＝，重力加速
1 2
度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力，求：
(1)物块滑到圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小(计算结果可以保留根号)；
(2)物块相对于木板运动的距离；
(3)整个过程中，系统由于摩擦产生的热量。2．(2023·福建龙岩市九校联考)如图所示，倾角θ＝37°的斜面AB通过平滑的小圆弧与水平
直轨道BC连接，CD、DE为两段竖直放置的四分之一圆管，两管相切于 D处，半径均为R
＝0.15 m。右侧有一倾角α＝30°的光滑斜面PQ固定在水平地面上。质量为m＝0.4 kg、可
视为质点的小物块从斜面AB顶端由静止释放，经ABCDE轨道从E处水平飞出后，恰能从
P点平行PQ方向飞入斜面。小物块经过C点时受到圆管的作用力大小为28 N，小物块与斜
面AB的动摩擦因数μ ＝0.375，与BCDE段之间的摩擦不计，重力加速度g取10 m/s2，sin
1
37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)求斜面AB的长度；
(2)求E点与P点的竖直距离；
(3)若斜面PQ上距离P点L ＝0.2 m的M点下方有一段长度可调的粗糙部分 MN，其调节范
2
围为0.2 m≤L≤0.5 m，与小物块间的动摩擦因数μ ＝，斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧始
2
终在弹性限度内，且不与粗糙部分MN重叠，求小物块在MN段上运动的总路程s与MN长
度L的关系式。
训练 2 用动力学和能量观点分析多运动组合问题
1．(1)(91.92－24) N (2)1.5 m
(3)87 J
解析 (1)物块由C到D，做斜上抛运动
水平方向v ＝＝1.6 m/s
水平
物块恰好以平行于薄木板的方向从D端滑上薄木板，则在D的速度大小
v＝＝2 m/s，
v ＝vsin θ＝1.2 m/s
竖直
物块在C端时竖直方向速度大小
v ′＝v －gt＝－0.8 m/s，
竖直 竖直
v ＝＝ m/s
C
由B到C有mv 2＝mv 2＋mgR(1－cos α)
B C
其中cos α＝，在B点有F －mg＝m
N
由牛顿第三定律得
F ＝F ＝(91.92－24) N
压 N
(2)物块刚滑上木板时，对物块有 μmgcos θ－mgsin θ＝ma ，解得物块加速度大小 a ＝
2 m m
m/s2，做匀减速直线运动
对木板有μmgcos θ＋Mgsin θ－μ(M＋m)gcos θ＝Ma ，解得木板加速度大小a ＝ m/s2，
2 1 M M
做匀加速直线运动，设两者经时间t 达到共速v ，则有v－a t＝a t＝v
1 共 m1 M1 共
解得t＝1.5 s，v ＝1 m/s
1 共
此过程中s ＝t＝ m，
物 1
s ＝t＝ m
板 1
物块相对于木板运动的距离
Δs＝s －s ＝1.5 m
物 板
(3)由于μ>tan θ，此后两者一起做匀减速直线运动，直到停止。以物块和木板为整体，
2
a ＝μgcos θ－gsin θ＝ m/s2，
共 1
s ＝＝1.5 m
共
Q ＝μmgcos θ·Δs＝30 J
物－板 2
Q ＝μ(M＋m)gcos θ·(s ＋s )＝57 J
板－斜 1 板 共
整个过程中，系统由于摩擦产生的热量Q＝Q ＋Q ＝87 J。
物－板 板－斜
2．(1)1.5 m (2)0.05 m
(3)s＝
解析 (1)在C处有
F －mg＝m
N
小物块由A运动到C的过程中，由动能定理可得mgLsin 37°－μmgLcos 37°＝mv 2－0，解得
1 C
L＝1.5 m
(2)小物块由A运动到E的过程中，由动能定理可得
mgLsin 37°－μmgLcos 37°－mg·2R＝mv 2－0
1 E
小物块恰能从P点平行PQ飞入斜面，即其速度与水平方向夹角为30°，则tan 30°＝
E点与P点的竖直距离为
h＝gt2＝0.05 m
(3)物块飞入P点的速度大小为
v ＝＝2 m/s
P
若经弹簧一次反弹后恰能回到P点，经过粗糙段MN两次，
则－μmgcos 30°·2L＝0－mv 2
2 0 P解得L＝0.4 m，即当0.2 m≤L<0.4 m时，小物块经过弹簧一次反弹后从P点飞出，此时s＝
0
2L
当0.4 m≤L≤0.5 m时，小物块无法冲出斜面，
且mgsin 30°>μmgcos 30°
2
故小物块不会停在MN段上，最终在N点与弹簧间往复运动，在N点的速度为零，由动能
定理可得
mg(L＋L)sin 30°－μmgscos 30°＝0－mv 2，解得s＝2L＋1.2 m
2 2 P
综上所述，小物块在MN段上运动的总路程s与其长度L的关系式为
s＝
