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2021-2022 学年北京市通州区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1. 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质计算即可；
【详解】根据 可得：
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确；
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，准确分析是解题的关键．
2. 研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能
的
作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220﹣年龄）×0.8，最低值不低于（220﹣年龄）×0.6．以
40岁为例计算，220﹣40＝180，180×0.8＝144，180×0.6＝108，所以40岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不
等式可表示为（ ）
A. 108≤p≤144 B. 108＜p＜144 C. 108≤p≤190 D. 108＜p＜190
【答案】A
【解析】
【分析】由题干中信息可得“不超过”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30岁的年龄最佳燃脂心率范
围用不等式表示为114≤p≤152．
【详解】 最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8， ，
p≤144最佳燃脂心率最低值不低于（220-年龄）×0.6， ，
108≤p
在四个选项中只有A选项正确.
故选: A．
【点睛】本题主要考查不等式的简单应用，能将体现不等关系的文字语言转化为数学语言是解决题目的关键．体现
不等关系的文字语言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5 B. （ab2）3＝ab6 C. （﹣a2）3＝a6 D. a2•a3＝a5
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即得答案．
【详解】解：A．a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．（ab2）3＝a3b6，故本选项运算错误，不合题意；
C．（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项运算错误，不合题意；
D．a2•a3＝a5，故本选项运算正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方以及同底数幂的乘法等运算法则，属于基础题型，熟练掌握上
述基本知识是解题的关键．
4. 已知 是关于x，y的二元一次方程ax+y＝1的一个解，那么a的值为（ ）
A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【分析】把 代入到二元一次方程中得到关于a的方程进行求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程ax+y＝1的一个解，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，熟知二元一次方程的解得定义是解题的关
键．
5. 如果不等式组 无解，那么 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】根据大大小小无解可得m≥3．
【详解】解：∵不等式组 无解，
∴m≥3，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了不等式组的解集，关键是掌握同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大
小小解不了．
6. 对于二元一次方程组 ，我们把x，y的系数和方程右边的常数分离出来组成一个矩阵：
，用加减消元法解二元一次方程组的过程，就是对方程组中各方程中未知数的系数和常数项
进行变换的过程．若将②×5，则得到矩阵 ，用加减消元法可以消去y，如解二元一次方程组
时，我们用加减消元法消去x，得到的矩阵应是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将所求方程组化为 ，再结合定义即可求解．
【详解】解：对于解二元一次方程组 时，我们用加减消元法消去x，即 ，可得到 ，
则得到的矩阵应为 ，
故选：C．【点睛】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7. 如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形，若将图1中的阴影部分沿虚线剪拼成一个
长方形如图2，上述操作能验证的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据阴影部分拼前拼后的面积相等列出等式即可．
【详解】解：阴影部分拼前面积 ，
阴影部分拼后面积为 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，掌握等面积法是解题关键．
8. 如果x是一个有理数，我们定义{x}表示不小于x的最小整数．如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{﹣6}＝﹣
6．若m满足{2m+8}＝6，则m的取值范围是（ ）
A. m≤﹣1 B. ﹣ ＜m≤﹣1 C. m≥﹣4 D. ﹣4≤m＜﹣
【答案】B
【解析】
【分析】根据{x}表示不小于x的最小整数，{2m+8}＝6，可得 ，由此求解即可．
【详解】解：∵{x}表示不小于x的最小整数，{2m+8}＝6，
∴ ，解得 ，
故选B．
【点睛】本题主要考查了新定义和解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键．二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9. 关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则此不等式组的解集是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据数轴表示的不等式解集求解即可．
【详解】解：由数轴可知，此不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示不等式组的解集，熟知数轴与不等式解集的关系式解题的关键．
10. 已知2x+5y＝7，用含x的代数式表示y，则y＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边．
【详解】解：∵2x+5y＝7，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
11. 二元一次方程 的正整数解为___________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】将x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】解：方程2x＋y＝5，
解得：y＝﹣2x＋5，
当x＝1时，y＝3；x＝2时，y＝1，则方程的正整数解为 ， ，故答案为： ，
【点睛】此题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 已知am＝4，an＝8，求am+n的值 _____．
【答案】32
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法的逆运算计算法则求解即可．
【详解】解：∵am＝4，an＝8，
∴ ，
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
13. 已知x+y＝3，xy＝2，则x2+y2＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】将x+y＝3两边平方，利用完全平方公式展开，将xy的值代入即可求出所求式子的值；
【
详解】解：将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+4+y2＝9，
x2+y2＝5
故答案为：5
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．
14. 若（x+2）（x﹣n）＝x2+mx+6，则m＝_____，n＝_____．
【答案】 ①. 5 ②. -3
【解析】
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则得到x2+（2﹣n）x﹣2n=x2+mx+6，由此得到关于m、n的二元
一次方程组，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵（x+2）（x﹣n）=x2+mx+6，
∴x2﹣nx+2x﹣2n=x2+mx+6，
∴x2+（2﹣n）x﹣2n=x2+mx+6，则 ，
解得： ．
故答案为：5，﹣3．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
的
15. 多项式4x3+M+1是完全平方式，请你写出一个满足条件 单项式M：_____．
【答案】
【解析】
【分析】如果这里首末两项是4x3，1，那么4x3，无法写成某个单项式的平方，故首末两项是M和1，则乘
积项是 ，所以M = ．
【详解】解：∵
∴加上的单项式是
故答案为：
【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键．
16. 已知a，b都是有理数，观察表中的运算，则m＝_____．
a，b的运算 a+b a﹣b
运算的结果 0 4 m
【答案】-8
【解析】
【分析】根据表格列出二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出m的值．
【详解】解：根据表格，可得 ，解方程组，得 ，
则 ．故答案为：-8．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解本题的关键．
17. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木
长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 尺，
问木条长多少尺？”如果设木条长 尺，绳子长 尺，可列方程组为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设木条长 尺，绳子长 尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于 的二元一次方程组，
此题得解．
【详解】设木条长 尺，绳子长 尺，
依题意，得： ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
18. 已知关于x，y的方程组 ，其中 ，给出下列结论：
①当 时，x，y的值互为相反数；
② 是方程组的解；
③无论a取何值，x，y恒有关系式 ；
④若 ，则 ．
其中正确结论的序号是 _____．（把所有正确结论的序号都填上）【答案】③④##④③
【解析】【分析】①先求出方程组的解 ，把 代入求出x、y即可；②把 代入 ，
求出a的值，再根据 判断即可；③根据原方程组的解，计算 即可；④根据 和
求出 ，求出 ，再求出（ ）的范围即可．
【详解】解：解方程组 ，
得 ，
①当 时，
， ，
故结论①错误；
②把 代入 ，
得 ，
解得 ，
∵ ，
∴此时 不符合题意，故结论②错误；
③由原方程组的解 可知，
，故结论③正确；
④∵ ，
∴ ，即 ，由∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故结论④正确．
故答案为：③④．【点睛】本题主要考查了二元一次方程解的定义、解二元一次方程组和解不等式组等知识，根据条件分别
求得方程组的解是解题关键．
三、解答题（共10小题，满分64分）
19. 计算：x2•x4+（x2）3﹣（﹣3x3）2
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的运算法则直接计算即可．
【详解】解：原式=
【点睛】本题考查了同底数幂、幂的乘方、积的乘方法则，熟练掌握法则是解题的关键．
20. 解不等式：5x﹣1＜2（x+4），并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ；把它的解集在数轴上见解析
【解析】
【分析】根据去括号、移项、合并同类项的步骤解不等式，然后把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
系数画为1得： ．
把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
21. 解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】不等式组的所有非负整数解为：0，1，2，3．
【解析】
【分析】先解不等式组求出x的取值范围，然后找出符合范围的非负整数解．【详解】解：
由不等式①得：x≥－2，
由不等式②得：， ，
∴不等式组的解集为： ，
∴x的非负整数解为：0，1，2，3．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的非负整数解，求不等式的公共解，要
遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
22. 解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法求出方程组的解即可．
【详解】 ，
①×4+②得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
则方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法与代入消元法是求解的关键.
23. 已知2x2﹣2x＝1，求代数式（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）的值．
【答案】-7
【解析】
【分析】先根据完全平方公式、平方差公式化简题目中的式子，然后将2x2﹣2x＝1整体代入化简后的式子
计算即可．
【详解】解：（x﹣1）2+（x﹣3）（x+3）＝x2﹣2x+1+x2﹣9＝2x2﹣2x﹣8，
∵2x2﹣2x＝1，
∴原式＝1﹣8＝﹣7．
【点睛】本题考查了整式乘法的完全平方公式和平方差公式以及代数式求值，属于常考题型，熟练掌握整
式的乘法公式、灵活应用整体的思想是解题的关键．
24. 已知关于x，y 二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2，求k的值．
的
【答案】8
【解析】
【分析】先用加减法求得x−y的值(用含k的式子表示)，然后再列方程求解即可．
【详解】解：
由 得，x-y=k-6
关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2
k-6=2
解得k=8
故k的值为8
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解，不解方程组求得x−y的值(用含k的式子表示)是解题的关
键．
25. 在化简整式（x﹣2）■（x+2）+▲中，“■”表示运算符号“﹣”“×”中的某一个，“▲”表示一个
整式．
（1）计算（x﹣2）﹣（x+2）+（﹣5+y）；
（2）若（x﹣2）（x+2）+▲＝3x2+6，求出整式“▲”；
（3）若（x﹣2）■（x+2）+▲的计算结果是二次单项式，请直接写出一组满足条件的“■”及“▲”．
【答案】（1）
（2）（3）“■”表示“ ”，“▲”表示“4”（答案不唯一合理即可）【解析】
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）将（x﹣2）（x＋2）移项到等号右边即可得▲的代数式，根据平方差公式计算化简即可；
（3）根据计算结果是二次得■运算符号为乘号，将原式化简，根据计算结果是单项式得出▲的值．
【小问1详解】
解：原式＝x﹣2﹣x﹣2﹣5＋y
＝y﹣9
【小问2详解】
根据题意得：▲＝3x2＋6﹣（x﹣2）（x＋2）
＝3x2＋6﹣（x2﹣4）
＝3x2＋6﹣x2＋4
＝2x2＋10
【小问3详解】
当■表示的运算符号是“×”时，
∴原式＝（x﹣2）（x＋2）＋▲
＝x2﹣4＋▲，
∵计算结果是单项式，
∴▲的值为4；
当■表示的运算符号是“-”时，
∴原式＝（x﹣2）-（x＋2）＋▲
＝﹣4＋▲，
∵计算结果是二次单项式，
∴▲的值可以为4+y2．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解决问题的关键是熟练掌握运算顺序和法则．
26. 列方程组或不等式解决问题：2022年北京冬奥会、冬残奥会已圆满结束，活泼敦厚的“冰墩墩”，喜
庆祥和的“雪容融”引起广大民众的喜爱．王老师想要购买两种吉祥物作为本次冬奥会的纪念品，已知购
买2件“冰墩墩”和1件“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的单价；
（2）学校现需一次性购买上述型号的“冰墩墩”和“雪容融”纪念品共100个，要求购买的总费用不超过
5000元，则最多可以购买多少个“冰墩墩”？
【答案】（1）“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元（2）最多可以购买66个“冰墩墩”
【解析】
【分析】（1）设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为x元，y元，然后根据购买2件“冰墩墩”和1件
“雪容融”共需150元，购买3件“冰墩墩”和2件“雪容融”共需245元列出方程求解即可；
（2）设购买“冰墩墩”m个，则购买“雪容融”（100-m）个，然后根据总费用不超过5200元列出不等式
求解即可．
【小问1详解】
解：设“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为x元，y元，
由题意得： ，
解得 ，
∴“冰墩墩”和“雪容融”的单价分别为55元，40元；
【小问2详解】
解：设购买“冰墩墩”m个，则购买“雪容融”（100-m）个，
由题意得： ，
∴ ，
∵m是整数，
∴m最大为66，
∴最多可以购买66个“冰墩墩”．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出式子求解是
关键．
27. 用等号或不等号填空，探究规律并解决问题：
（1）比较a2+b2与2ab的大小：
①当a＝3，b＝3时，a2+b2 2ab；
②当a＝2，b＝ 时，a2+b2 2ab；
③当a＝﹣2，b＝3时，a2+b2 ab．
（2）通过上面的填空，猜想a2+b2与2ab的大小关系，并证明你的猜想；
（3）如图，直线l上从左至右任取A、B、G三点，以AB，BG为边，在线段AG的两侧分别作正方形ABCD，BEFG，连接CG，设两个正方形的面积分别为S，S，若三角形BCG的面积为1，求S+S
1 2 1 2的最小值．
【答案】（1）① ；② ；③
（2） ；理由见解析
（3） 的最小值为4
【解析】
【分析】（1）代入计算得出答案；
（2）根据（1）的结果，得出结论；
（3）由题意可知ab＝2，S＋S＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，进而得出答案．
1 2
【小问1详解】
解：①把a＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，
∴a2＋b2＝2ab；
故答案为：＝；
②把a＝2，b＝ 代入，a2＋b2＝4＋ ＝ ，2ab＝2×2× ＝2，
∴a2＋b2＞2ab；
故答案为：＞；
③把a＝−2，b＝3代入，a2＋b2＝4＋9＝13，2ab＝2×（−2）×3＝−12，
∴a2＋b2＞2ab，
故答案为：＞．
【小问2详解】
由（1）可得，a2＋b2≥2ab，理由如下：
∵ ，
又∵ ，
∴a2＋b2≥2ab．【小问3详解】由题意可知S＝a2，S＝b2，
1 2
∵△ACF的面积为1，即 ，
∴ab＝2，
∵S＋S＝a2＋b2≥2ab，
1 2
∴S＋S＝a2＋b2≥4，
1 2
因此S＋S 的最小值为4．
1 2
【点睛】本题主要考查完全平方公式 的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提，
根据偶次幂的性质得出a2＋b2≥2ab是正确解答的关键．
28. 对于任意两个有理数m、n，可以写成有序数对（m，n）的形式．
定义如下：数对（m，n）的关联数对记为（m，n′），n′＝
例如：（1，4）的关联数对是（1，4），（﹣1，4）的关联数对是（﹣1，﹣4）．
（1）（﹣3，﹣1）的关联数对是 ；
（2）若数对（x，y）中的x，y值是二元一次方程x﹣y＝﹣2的一个解，其中﹣4≤x≤3．求其关联数对
（x，y′）中y′的取值范围；
（3）若数对（x，y）中的x，y值是二元一次方程x+y＝4的一个解，其中﹣1≤x≤a，a＞﹣1．当其关联数
对y′的取值范围是﹣5≤y′≤3时，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）（-3，1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据关联数对的定义求解即可；
（2）分当 时和当 时，两种情况讨论求解即可；
（3）分当 时， ，当 时， ，两种情况讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴（﹣3，﹣1）的关联数对是（-3，1）故答案为：（-3，1）
【小问2详解】解：∵ ，
∴ ，
∴数对（x，y）即为数对（x，x+2），
当 时， ，
∴ ，
∴当 时，数对（x，x+2）的关联熟知即为（x，-x-2），
∴ ，
当 时， ，
∴当 时，数对（x，x+2）的关联熟知即为（x，x+2），
∴ ，
∴ 或 ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∵﹣5≤y′≤3，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴综上所述 或 ，
∵﹣5≤y′≤3，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，正确理解题意是解题的关键．
