文档内容
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
2023-2024 学年北京师大附属实验中学九年级（上）期末数学试卷
一、单项选择题(本题共8小题，每小题2分，共16分)
1. 下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 抛物线y＝2（x﹣1）2+5的顶点坐标是（ ）
A. （1，5） B. （2，1） C. （2，5） D. （﹣1，5）
3. 已知关于x的方程 是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A. B. 3 C. D. 不能确定
4. 的半径为3，点 在 外，点 到圆心的距离为 ，则 需要满足的条件（ ）
A. B. C. D. 无法确定
5. 小明将图 案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度 ，设计出一个外轮廓为正六边
形的图案（如图），则 可以为（ ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
6. 若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，抛物线y＝a ＋bx＋c与直线y＝kx交于M，N两点，则二次函数y＝a ＋（b﹣k）x＋c的图象
可能是（ ）
A. B. C. D.
8. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下所示：
抛掷次数 m 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000
5000
“正面向上”的次数 n 265 512 793 1034 1306 1558 2083
2598
“正面向上”的频率 0.530 0.512 0.529 0.517 0.522 0.519 0.521
0.520
下面有 3 个推断：
①当抛掷次数是 1000 时， “正面向上”的频率是 0.512，所以“正面向上”的概率是0.512；
②随着试验次数的增加， “正面向上”的频率总在 0.520 附近摆动， 显示出一定的稳定性， 可以估计“正
面 向上”的概率是 0.520；
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
③若再次做随机抛掷该纪念币的实验，则当抛掷次数为 3000 时，出现“正面向上”的次数不一定是 1558
次．
其中所有合理推断的序号是（ ）
A. ② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（共8小题，每题2分，共16分）
的
9. 若正六边形 边长是1，则它的半径是________．
10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点 ，这个二次函数的解析式可以
是______．
11. 草坪上的自动喷水装置的旋转角为 ，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为
平方米，则这个扇形的半径是__米．
12. 如图，抛物线 的对称轴为 ，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐
标为（4，0），则点Q的坐标为__________．
13. 如图，PA，PB是 的切线，A，B为切点，AC是 的直径， ，则 的度数为
______．
14. 已知a是 的根，则代数式 的值为______．
15. 如图， 与 关于点 成中心对称， ，则 的长是________．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的
16. 抛物线 交x轴于点A（a，0）和B（b，0）（点A在点B左侧），抛物线 顶点为
D，下列四个结论：①抛物线过点（2，m）；②当m＝0时，△ABD是等腰直角三角形；③a＋b＝4；④抛
物线上有两点P（ ， ）和Q（ ， ），若 ＜ ，且 ＋ ＞2，则 ＞ ．其中结论正确的
序号是______________________．
三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每
题6分，第27-28题，每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解方程： ．
18. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
的
求作：过点P ⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
19. 如图，在 中， ，点D，F分别在 上， ，连接 ，将线段
绕点C按顺时针方向旋转 后得 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若直线 交 于点G，直接写出 的度数．
20. 如图，已知抛物线 经过点 ．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
（2）当 时，直接写出y的取值范围．
21. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象．为宣传北京2022年冬奥会，中国邮政发行了若干
套冬奥会纪念邮票，其中有一套展现雪上运动的邮票，如图所示：
某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
的
（1）在抢答环节中，若答对一题，可从4枚邮票中任意抽取1枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项” 概
率是 ．
（2）在抢答环节中，若答对两题，可从4枚邮票中任意抽取2枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，
求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率．
22. 关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求 的取值范围．
23. 如图，在平面直角坐标系 中， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，
点D的坐标为 ．
（1） 与 关于点D中心对称，其中点A与点 对应，点B与点 对应，请在坐标系中画出
，并写出点 的坐标；
（2）若点 是 内部任意一点，请直接写出这个点关于点D中心对称的对应点 的坐标．
24. 如图， 为 的直径， 交 于点C，D为 上一点，延长 交 于点E，延长
至F，使 ，连接 ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求证： 为 的切线；
（2）若 且 ，求 的半径．
25. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米．建立如图2所示的平面直角
坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形
，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离 为
米．
（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程 ；
的
（2）求下边缘抛物线与 轴交点 坐标；
（3）若 米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为 ，线段AB的两个端点分别为
， ．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
（1）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；
（2）若 ，且对于该抛物线上的两点 ， ，当 ， 时，均满足
，求t的取值范围；
（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
27. 在 中， ， ，点 为直线 上一个动点（点D不与点A，C重合），连
接 ，将线段 绕 点逆时针旋转 得线段 ，连接 ．
（1）如图1，若点 在线段 上，
①依题意补全图1；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
（2）若BC＝m，直接写出当AE取得最小值时CD的长（用含m的式子表示）．
28. 在平面直角坐标系 中， 的半径为1，P是 外一点，给出如下的定义：若在 上存在一
点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在 上，则称Q为点P关于 的关联点．
（1）当点P在直线 上时．
①若点 ，在点 ， ， 中，点P关于 的关联点是 ；
②若P关于 的关联点Q存在，求点P的横坐标p的取值范围．
（2）已知点 ，动点M满足 ，若M关于 的关联点N存在，直接写出MN的取值范围．
微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
