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2022-2023 学年度九年级上册人教版数学期中基础练习 1
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 下列四个银行标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意直接根据轴对称和中心对称图形的概念进行分析判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，排除；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，排除；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，当选；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，排除.
故选：C.
【点睛】本题主要考查中心对称与轴对称的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对
称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2. 用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：
故选：D．
【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识
的掌握与基本功等．
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学科网（北京）股份有限公司3. 在平面直角坐标系 中，如果把抛物线 向下平移2个单位得到一条新抛物线，
那么下列关于这两条抛物线的描述中，不正确的是（ ）
A. 开口方向相同 B. 对称轴相同
C. 变化情况相同 D. 与 轴的交点相同
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的求出解析式，再根据二次函数的性质作答．
【详解】解：将抛物线 向下平移2个单位后的解析式为 ，
故抛物线对称轴不变，开口方向不变，变化情况相同，与 轴交点向下平移2个单位，
故选：D．
【点睛】本题考查了平移和二次函数的性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称
轴是直线： ；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
4. 关于x的一元二次方程方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c均为常数，a≠0）的解是x＝m－3，x＝1－m，那
1 2
么方程a（x－m）2＋bx＋c＝mb的解是（ ）
A. x＝－3，x＝1 B. x＝2m－3，x＝1
1 2 1 2
C. x＝2m－3，x＝1－2m D. x＝－3，x＝1－2m
1 2 1 2
【答案】B
【解析】
【分析】先将方程 变形为 ，令 ，再根据
已知方程的解可得 ，由此即可得．
【详解】解：方程 可变形为 ，
令 ，则方程为 ，
由题意得： ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
即方程 的解是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，正确找出两个方程之间的联系，并熟练掌握换元法是解题关键．
5. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 3x－1＝0 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把方程化成一般式，根据一般式 判断选择即可．
【详解】因为3x－1＝0是一元一次方程，
所以A不符合题意；
因为 是一元二次方程，
所以B符合题意；
因为 化简后是一元一次方程，
所以C不符合题意；
因为 不是一元二次方程，
所以D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟
练掌握定义是解题的关键．
的
6. 直角三角形两直角边是方程 两根，则它的斜边为（ ）
A. 8 B. 7 C. 6 D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】设直角三角形的斜边为 ，两直角边分别为 与 ．根据一元二次方程根与系数关系可得 ，
．再根据勾股定理即可求．
【详解】解：设直角三角形的斜边为 ，两直角边分别为 与 ，
直角三角形两直角边是方程 的两根，
， ，
根据勾股定理可得： ，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的
关键．
7. 若 ， ， 为二次函数 的图象上的三点，则 ， ， 的
大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把 ， ， 分别代入 得，
； ； ；
则 ， ， 的大小关系是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
8. 在平面直角坐标系中，抛物线 经过变换后得到抛物线 ，则这个变
换可以是（ ）
A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位
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学科网（北京）股份有限公司C. 向左平移8个单位 D. 向右平移8个单位
【答案】B
【解析】
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．
y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．
所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），
故选B．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9. 如图，直线 与抛物线 交于A、B两点，则 的图象可能是
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目所给的图像，首先判断 中k＞0，其次判断 中a＜0，b＜0，c＜
0，再根据k、b、的符号判断 中b-k＜0，又a＜0，c＜0可判断出图像．
【详解】解：由题图像得 中k＞0， 中a＜0，b＜0，c＜0，
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学科网（北京）股份有限公司∴b-k＜0，
∴函数 对称轴x= ＜0，交x轴于负半轴，
∴当 时，即 ，
移项得方程 ，
∵直线 与抛物线 有两个交点，
∴方程 有两个不等的解，即 与x轴有两个交点，
根据函数 对称轴交x轴负半轴且函数图像与x轴有两个交点，
∴可判断B正确．
故选：B
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象与性质，解题的关键是根据图像判断k、a、b、c的正负号，
再根据二次函数与一元二次方程的关系判断出正确图像．
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图
象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x＝－1，x＝3；③3a＋c＞0；④
1 2
当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3，所以②正确；
1 2
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学科网（北京）股份有限公司∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和
二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物
线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x
轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每小题4分，共32分）
11. 一个二次函数的对称轴为直线x＝2，该函数的图像与y轴的交点到原点的距离为1，则该函数的解析式
为_______．（写出一个符合题意要求的答案即可）
【答案】
【解析】
【分析】设二次函数为 ，由对称轴是直线x＝2，可得k＝2，与y轴的交点到原点的距离为
1，可得与y轴的交点的坐标为（0，±2），利用待定系数法求出解析式．
【详解】解：设二次函数为 ，
∵对称轴为直线x＝2，
∴k＝2，
∴二次函数y＝a（x−k）2的解析式 ，
∵与y轴的交点到原点的距离为1，
∴与y轴交于点（0，1）或（0，−1），
把（0，1）代入得，1＝4a，
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学科网（北京）股份有限公司∴a＝ ，
∴函数的解析式可以为： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，此题是开放题，解题的关键理解题意．还要注意
利用待定系数法求函数解析式．
12. 二次函数y＝x2﹣4x+1的最小值是 ___．
【答案】-3
【解析】
【分析】把二次函数的一般式化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣4x+1化为顶点式为 ，
∵该二次函数开口向上，
∴当x=2时，有最小值，最小值为-3；
故答案为-3．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13. 如图所示：在△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE点B的对应点D恰好落在BC边上，
∠B＝55°，则∠EDC的度数是 ___．
【答案】70°##70度
【解析】
【分析】根据旋转变换的性质得到AD=AB， ，从而得到 ，再根据
解答即可．
【详解】 △ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
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学科网（北京）股份有限公司AD=AB， ，
，
又 ∠B＝55°，
，
又 ，
∠EDC=70°．
故答案为：70°．
【点睛】考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等．
14. 已知A(﹣1，y)、B(﹣2，y)是抛物线y＝﹣2x2上的两点，则y_____y(填＞、＜、＝).
1 2 1 2
【答案】>
【解析】
【分析】本题需先根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出
与 的大小关系．
【详解】∵二次函数 的图象的对称轴是y轴，且 ，
∴在对称轴的左面y随x的增大而增大，
∵点 、 是二次函数 的图象上两点，
，
∴ ．
故答案为>．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以
及点的坐标特征是本题的关键．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方
向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为________，CE的长为_______．
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学科网（北京）股份有限公司.
【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】由题意可知 为等腰直角三角形， ，旋转的性质可得 ， ，
根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由题意可知 为等腰直角三角形，
由旋转的性质可得， 为旋转角， ，旋转角的度数为
连接 ，如下图：
则 ，
由勾股定理可得：
故答案为 ，
【点睛】此题考查了旋转的性质，涉及了勾股定理，掌握旋转的有关性质以及勾股定理是解题的关键．
16. 抛物线 上三点分别为 ，则 的大小关系为_________（用
“＞”号连接）
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】计算抛物线 的对称轴为 ，根据抛物线的图象性质，开口向上，在对称
轴 的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴 的右侧，y随x的增大而增大，据此解题.
【详解】 抛物线 的对称轴为 ， ，抛物线开口向上，
时，y随x的增大而减小，
时，y随x的增大而增大，
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，其中涉及二次函数的增减性等知识，是重要考点，难度
较易，掌握相关知识是解题关键.
17. 抛物线y＝ax2﹣4x﹣3（其中a≥0，a为常数），若当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据抛物线解析式可求出抛物线的对称轴为直线x=2，又当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，
求出对应的函数值，结合y恰好有3个整数值这个条件，列出不等式求出a的取值范围．
【详解】解：∵抛物线y=ax2-4ax-3，
∴对称轴为直线x= =2，
∴当4≤x＜5时，y随x的增大而增大，
∴当x=4时，y=-3，
x=5时，y=5a-3，
∵当4≤x＜5时，对应的函数值y恰好有3个整数值，
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学科网（北京）股份有限公司∴它的三个整数分别是-3，-2，-1，
∴-1＜5a-3≤0，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和解一元一次不等式，掌握二次函数的对称性，得出函数的单调性是
解题关键．
18. 已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于 、 两点（点 在点 左侧），点 关
于 轴的对称点为 ，我们称以 为顶点且过点 ，对称轴与 轴平行的抛物线为抛物线 的“梦之
星”抛物线，直线 为抛物线 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直
线分别是 和 ，则这条抛物线的解析式为________．
【答案】
【解析】
的
【分析】先求出y=x2+2x+1和y=2x+2 交点C′的坐标为（1，4），再求出“梦之星”抛物线y=x2+2x+1的
顶点A坐标（-1，0），接着利用点C和点C′关于x轴对称得到C（1，-4），则可设顶点式y=a（x-1）2-
4，然后把A点坐标代入求出a的值即可得到原抛物线解析式．
【详解】∵y=x2+2x+1=(x+1)2，
∴A点坐标为(−1，0)，
解方程组 得 或 ，
∴点C′的坐标为(1，4)，
∵点C和点C′关于x轴对称，
∴C(1，−4)，
设原抛物线解析式为y=a(x−1)2−4，
把A(−1，0)代入得4a−4=0，解得a=1，
∴原抛物线解析式为y=(x−1)2−4=x2−2x−3．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为y=x2−2x−3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质与运算．
三、解答题（58分）
19. 解下列方程：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用公式法解答，即可求解；
（2）利用配方法解答，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【小问2详解】
解：原方程可化为 ，
配方得， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，
公式法，配方法是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司20. 在平面直角坐标系中，将 ， ， ， 四个点用线段连接成一个图案，
如图所示．
（1）如果原来四个点的纵坐标保持不变，横坐标都加上 ，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那
么所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？
（2）如果原来四个点的横坐标保持不变，纵坐标都减去 ，将对应所得的点相应地用线段连接起来，那么
所得的图案是由原来的图案进行了怎样的平移得到的？
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）将 ， ， ， 四个点的横坐标都加 ，得到 ，
， ， ，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得；
（2）将 ， ， ， 四个点的纵坐标都减 ，得到 ，
， ， ，顺次连接各点，比较所得的图案与原来的图案的位置即得．
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：图形如图所示，将原来 ， ， ， 四个点的横坐标都加上 ，得到
， ， ， ，顺次连接各点，所得的图案是由原来的图案向右平移 个单位
得到的；
【小问2详解】
图形如图所示，将原来 ， ， ， 四个点的纵坐标都减去 ，得到
， ， ， ，顺次连接各点，所得的图案是由原来的图案向下
平移 个单位得到的．
【点睛】本题考查作图 平移变换，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，点的横坐标坐标右加左减，
纵坐标上加下减．
21. 已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标．
【答案】（1）此抛物线与x轴必有两个不同的交点；（2）（ ，﹣ ）．
【解析】
【分析】（1）由△=[-（k+2）]2-4×1×（2k-2）=k2-4k+12=（k-2）2+8＞0可得答案；
（2）先根据抛物线与直线y=x+k2-1的一个交点在y轴上得出2k-2=k2-1，据此求得k的值，再代入函数解
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学科网（北京）股份有限公司析式，配方成顶点式，从而得出答案．
【详解】（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2﹣4k+12
＝（k﹣2）2+8＞0，
∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，
∴2k﹣2＝k2﹣1，
解得k＝1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣ ）2﹣ ，
所以该二次函数的顶点坐标为（ ，﹣ ）．
【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常
数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系及熟练求二次函数的顶点式．
22. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料
围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪
舍面积为80m2？
【答案】所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时，猪舍面积为80m2
【解析】
【分析】可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为 m，由
题意得出方程 求出边长的值．
【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的 一边的长为 m，
由题意得 ，
化简，得 ，解得： ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， （舍去），
当 时， ，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的
运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．
23. 已知二次函数y＝ ．
（1）写出二次函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
（2）画出函数的图象；
（3）根据图象说出当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最
大值还是最小值？最值是多少？
【答案】（1）抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3
（2）见解析 （3）当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，
y有最大值，最大值为2
【解析】
为
【分析】（1）把抛物线解析式化 顶点式可求得其顶点坐标及对称轴；
（2）可分别求得抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象；
（3）结合抛物线图象及增减性可求得答案．
【小问1详解】
解：（1）∵y＝ ＝ ，
∴抛物线的开口方向向下，顶点坐标为（﹣3，2），对称轴为x＝﹣3；
【小问2详解】
在y＝ 中，
令y＝0可得 ．
解得x＝﹣1或﹣5，
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学科网（北京）股份有限公司令x＝0可得y＝ ，结合（1）中的顶点坐标及对称轴，可画出其图象如图所示：
【小问3详解】
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，2），
∴当x＜﹣3时，y随x的增大而增大，当x＞﹣3时，y随x增大而减小，当x＝﹣3时，y有最大值，最
大值为2．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 中，
其对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
24. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+c(a≠0)与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，
得到点B.直线 与x轴，y轴分别交于点C，D.
（1）求抛物线的对称轴.
（2）若点A与点D关于x轴对称.
①求点B的坐标.
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
【答案】（1）x=2；（2）点B坐标为（2，3）；②a>0或a≤ .
【解析】
【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴方程为x= 即可的答案；
（2）①根据直线 与x轴，y轴分别交于点C，D可得C、D两点坐标，根据关于x轴对称的点
的坐标特征可得A点坐标，根据平移性质即可得B点坐标；
②分a>0与a<0两种情况，结合图象，根据二次函数的性质即可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）∵抛物线的解析式为y=ax2-4ax+c(a≠0)，
∴抛物线的对称轴为x= =2，
（2）①∵直线解析式为 ，
∴x=0时，y=-3，y=0时，x=5，
∴C点坐标为（5，0），D点坐标为（0，-3），
∵点A于点D关于x轴对称，
∴点A坐标为（0，3），
∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，
∴点B坐标为（2，3）.
②如图，当a>0时，抛物线开口向上，
∵点A（0，3），对称轴为x=2，
∴抛物线经过点A关于x=2的对称点（4，3），
∴抛物线与线段BC都有交点，
的
当a<0时，抛物线 开口向下，
∵点A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为y=ax2-4ax+3，
当x=5时，25a-20a+3=0，
解得：a= ，
∵ 越大，抛物线的开口越小，
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学科网（北京）股份有限公司∴a≤ .
综上所述：a的取值范围为a>0或a≤ .
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数 越大，抛物线的开口越小的性质及二
次函数的对称性是解题关键.
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学科网（北京）股份有限公司第21页/共21页
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