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专题 20 磁场对运动电荷的作用
[题型导航]
题型一 对洛伦兹力的理解和应用.......................................................................................................1
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路...............................................................................................3
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动...............................................................................4
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题...............................................................................7
[考点分析]
题型一 对洛伦兹力的理解和应用
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判定方法
左手定则：掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向；
大拇指——指向洛伦兹力的方向．
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面(注意：洛伦兹力不做功)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.(θ＝0°或180°)
(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝ q v B .(θ＝90°)
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.
[例题1] 如图所示，在方向垂直纸面向里、磁感应强度 B＝0.5T的匀强磁场中，固定一个
倾角 ＝37°的绝缘光滑斜面。一个质量m＝0.1g、电荷量q＝4×10﹣4C的小滑块由静止沿斜面
滑下α，小滑块滑至某一位置时将离开斜面。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取 10m/s2．则
（ ）A．小滑块带正电
B．该斜面长度至少为1.6m
C．小滑块离开斜面前做变加速直线运动
D．小滑块离开斜面时的速度大小为4m/s
[例题2] （多选）如图所示，两根长直导线竖直平行固定放置，且与水平固定放置的光滑
绝缘杆MN分别交于c、d两点，点o是cd的中点，杆MN上a、b两点关于o点对称．两导线
均通有大小相等、方向向上的电流，已知长直导线在周围某点产生磁场的磁感应强度与电流成
正比、与该点到导线的距离成反比．一带正电的小球穿在杆上，以初速度v 从a点出发沿杆运
0
动到b点．在a、b、o三点杆对小球的支持力大小分别为F 、F 、F ．下列说法可能正确的是
a b o
（ ）
A．F ＞F
a o
B．F ＞F
b a
C．小球一直做匀速直线运动
D．小球先做加速运动后做减速运动
[例题3] 如图所示，在竖直绝缘的平台上，一个带正电的小球以水平速度v 抛出，经时间
0
t落在地面上的A点，落地时速度大小为v ，若加一垂直纸面向里的匀强磁场，qv B＜mg，小
1 0
球仍以水平速度v 抛出，则对小球的运动情况说法错误的是（ ）
0
A．因为高度没变，小球运动时间仍为t
B．小球在水平方向做变加速运动，将落在A点的右侧C．小球竖直方向做变加速运动，加速度小于重力加速度
D．小球落地时的速度大小仍为V
题型二 带电粒子做圆周运动分析思路
1．匀速圆周运动的规律
若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动．
2．圆心的确定
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和
出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图3甲所示，P为入射点，M为出射点)．
图3
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出
射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射
点)．
3．半径的确定
可利用物理学公式或几何知识(勾股定理、三角函数等)求出半径大小．
4．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为θ时，其运动时间表示为
t＝T(或t＝)．
[例题4] （多选）如图所示，直角坐标系 xOy在水平面内，之轴竖直向上。坐标原点 O
处固定一带正电的点电荷，空间中存在竖直向下的匀强磁场。质量为 m、带电量为q的小球
A，绕之轴做匀速圆周运动，小球与坐标原点的距离为 r，O点和小球A的连线与之轴的夹角
为 ＝37°。重力加速度为g，cos37°＝0.8，sin37°＝0.6，不计空气阻力，下列说法正确的是（
）θA．从上往下看带电小球沿逆时针方向做匀速圆周运动
5
B．小球A与点电荷之间的库仑力大小为 mg
4
C．小球A做圆周运动的过程中所受的库仑力不变
D．小球A做圆周运动的速度越小，所需的磁感应强度越小
[例题5] （多选）狄拉克曾经预言，自然界应该存在只有一个磁极的磁单极子，其周围磁
k
感线呈均匀辐射状分布（如图甲所示），距离它r处的磁感应强度大小为B= （k为常数），
r2
其磁场分布与负点电荷Q的电场（如图乙所示）分布相似．现假设磁单极子S和负点电荷Q均
固定，有带电小球分别在S极和Q附近做匀速圆周运动．则关于小球做匀速圆周运动的判断正
确的是（ ）
A．若小球带正电，其运动轨迹平面可在S的正上方，如图甲所示
B．若小球带正电，其运动轨迹平面可在Q的正下方，如图乙所示
C．若小球带负电，其运动轨迹平面可在S的正上方，如图甲所示
D．若小球带负电，其运动轨迹平面可在Q的正下方，如图乙所示
题型三 带电粒子在有界匀强磁场中的圆周运动
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
1．直线边界(进出磁场具有对称性，如图7所示)图7
2．平行边界(存在临界条件，如图8所示)
图8
3．圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图9所示)
图9
4．分析带电粒子在匀强磁场中运动的关键是：
(1)画出运动轨迹；
(2)确定圆心和半径；
(3)利用洛伦兹力提供向心力列式．
[例题6] 如图所示，两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三
角形ABC理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形顶点A处有一质子源，能沿∠BAC
q
的角平分线发射速度不同的质子（质子重力不计），所有质子均能通过C点，质子比荷 =k，
m
则质子的速度可能为（ ）3BkL BkL
A． B． C．2BkL D．3BkL
2 4
[例题7] 如图所示，正六边形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。一带正电粒子以速度
v 从a点沿ad方向射入磁场，从c点离开磁场；若该粒子以速度v 从a点沿ae方向射入磁场，
1 2
则从d点离开磁场。不计粒子重力，v 的值为（ ）
1
v
2
√6 √3 √3
A．√3 B． C． D．
2 2 3
[例题8] 如图所示，某带电粒子（重力不计）由M点以垂直于磁场边界的速度v射入宽度
为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与原来射入方向的夹角为 ＝30°，磁场的磁感应强度
大小为B。由此推断该带电粒子（ ） θ
A．带负电且动能不变
B．运动轨迹为抛物线
v
C．电荷量与质量的比值为
dB
πd
D．穿越磁场的时间为
3v[例题9] 如图，虚线内有垂直纸面的匀强磁场，acb是半圆，圆心是O，半径为r，∠bOc
＝60°，现有一质量为m、电荷量为+q的离子，以速度v沿半径Oc射入磁场，从bd边垂直边
界离开磁场，则（ ）
A．离子做圆周运动的半径为2r
B．离子离开磁场时距b点为3r
mv
C．虚线内的磁感应强度大小为
3qr
5√3πr
D．离子在磁场中的运动时间为
6v
[例题10] 坐标原点O处有一粒子源，沿xOy平面向第一象限的各个方向以相同速率发射
带正电的同种粒子。有人设计了一个磁场区域，区域内存在着方向垂直于xOy平面向里的匀强
磁场，使上述所有粒子从该区域的边界射出时均能沿y轴负方向运动。不计粒子的重力和粒子
间相互作用，则该匀强磁场区域面积最小时对应的形状为（ ）
A． B．
C． D．
题型四 带电粒子在磁场运动的临界和极值问题
1．临界问题的分析思路物理现象从一种状态变化成另一种状态时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与
临界状态相关的物理条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．
临界问题的一般解题模式为：
(1)找出临界状态及临界条件；
(2)总结临界点的规律；
(3)解出临界量．
2．带电体在磁场中的临界问题的处理方法
带电体进入有界磁场区域，一般存在临界问题，处理的方法是寻找临界状态，画出临界轨迹：
(1)带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零．
(2)射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边界相切．
[例题11] 如图所示，垂直于纸面的匀强磁场存在于半径为的圆内，一束速度为v 的带电粒
0
子对圆心从P点入射时，经磁场后速度方向偏转60°射出，现将磁感应强度调整为原来的 2倍，
粒子束的速度大小不变，方向可在纸面内调节、不计重力及粒子束之间相互作用，则粒子束出
射点距P点的最远距离为（ ）
√3r 2√3r
A．√3r B．1.5r C． D．
3 3
[例题12] （多选）如图所示，在垂直于xOy平面的直角坐标系中，y轴正半轴区域有垂直
于纸面向里的匀强磁场B，x轴是磁场的理想边界。质量均为m、带电量均为+q的粒子分别从
x轴上的P（﹣a，0）点，以初速度v 沿x轴正向射出，在Q(√3a，0)点以另一速度沿与x
1
轴正向成一定的角度射出，结果两粒子恰在y轴上对心正碰并粘合为一个整体，且粘合后整体
的速度也沿y轴方向。若不计粒子重力，及粒子间的相互作用，则（ ）A．Q点发射粒子的速度为√3v
1
2
B．两粒子粘合后的运动周期将增大
5πm
C．两粒子发射的时间差为
6qB
9-2√3
D．粘合体到x轴的最小距离为 a
6
[例题13] （多选）如图所示，矩形OMPN空间内存在垂直于平面向里、磁感应强度大小
为B的匀强磁场。有大量速率不同的电子从O点沿着ON方向进入磁场。已知电子质量为m，
电荷量为e，OM长度为3d，ON长度为2d，忽略电子之间的相互作用，电子重力不计。下列
说法正确的是（ ）
A．电子速率越小，在磁场里运动的时间一定越长
πm
B．电子在磁场里运动的最长时间为
eB
C．MP上有电子射出部分的长度为√3d
D．MP上有电子射出部分的长度为(2-√3)d
[例题14] （多选）如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为
磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长
为R。一束质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子，在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入
磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，不计粒子间的相互
作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）πm
A．所有粒子所用最短时间为
6qB
2πm
B．所有粒子所用最短时间为
3qB
C．从M点射出粒子的速率一定小于从N点射出粒子的速率
D．从M点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N点射出粒子所用时间
[例题15] 某种离子诊断测量筒化装置如图所示。竖直平面内存在边界为正方形 EFGH、方
向垂直纸面向外的匀强磁场，探测板CD平行于HG水平放置，只能沿竖直方向移动。a、b两
束宽度不计带正电的离子从静止开始经匀强电场U 加速后持续从边界EH水平射入磁场a束离
0
子在EH的中点射入经磁场偏转后垂直于HG向下射出，并打在探测板的右端点D点，已知正
方形边界的边长为2R，两束离子间的距离为0.6R，离子的质量均为m、电荷量均为q，不计重
力及离子间的相互作用，U 已知。求：
0
（1）求磁场的磁感应强度B的大小以及a束离子在磁场运动的时间t；
（2）要使两束离子均能打到探测板上，求探测板CD到HG的距离最大时多少？
[例题16] 如图所示，两个同心圆半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸
面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．圆心O处有一放射源，放射出的粒子质量为m，带电荷
为﹣q，假设粒子速度方向都和纸面平行．
（1）图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向的夹角为60°，要想使该粒子经过
磁场第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
（2）要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？e
[例题17] 如图所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为 的电子
m
以v 从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为（ ）
0
A．B 2mv B．B 2mv C．B √3mv D．B √3mv
＞ 0 ＜ 0 ＞ 0 ＜ 0
ae ae ae ae
[例题18] 如图所示，一束带负电的粒子（质量为m、电荷量为e）以速度v垂直磁场的边
界从A点射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中．若粒子的速度大小可变，方向不变，
要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过（ ）
eBd 2eBd eBd 2eBd
A． B． C． D．
2m 3m m m
[例题19] 如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在
以直径A A 为边界的两个半圆形区域Ⅰ、Ⅱ中，直径A A 与A A 的夹角为60°，一质量为
2 4 2 4 1 3
m、带电荷量为+q的粒子以某一速度从Ⅰ区的边缘点A 处沿与A A 成30°角的方向射入磁场，
1 1 3
随后该粒子以垂直于A A 的方向经过圆心O进入Ⅱ区，最后再从A 处射出磁场．已知该粒子
2 4 4
从射入到射出磁场所用的时间为t，（忽略粒子重力），求：
（1）画出粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的运动轨迹；
（2）粒子在磁场Ⅰ和Ⅱ中的轨道半径r 和r 比值；
1 2
（3）Ⅰ区和Ⅱ区中磁感应强度的大小B 和B ．
1 2
