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必刷大题 12 数列的综合问题
1．(2023·怀仁模拟)在递增的等比数列{a}中，前n项和为S，＝，a＝1.
n n 1
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝log a ，求数列{b}的前n项和T.
n 3 2n－1 n n
解 (1)设等比数列{a}的公比为q，
n
由＝，得S＝4S,
4 2
所以a＋a＝3(a＋a)，即(a＋a)q2＝3(a＋a)，
3 4 1 2 1 2 1 2
所以q2＝3，
因为等比数列{a}递增，所以q＝，
n
所以a＝aqn－1＝ .
n 1
(2)由(1)可得a ＝3n－1，所以b＝log a ＝n－1，
2n－1 n 3 2n－1
故T＝0＋1＋2＋…＋n－1＝.
n
2．(2022·潍坊模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S，且a＝2，S＝a＋6.
n n 1 3 3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝log a，求数列{ab}的前n项和T.
n 2 n n n n
解 (1)设数列{a}的公比为q，由a＝2，S＝a＋6，
n 1 3 3
得a(1＋q＋q2)＝6＋aq2，解得q＝2，
1 1
所以a＝2n.
n
(2)由(1)可得b＝log a＝n，所以ab＝n·2n，
n 2 n n n
T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
n
2T＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
n
所以－T＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，
n
所以T＝(n－1)2n＋1＋2.
n
3．已知等差数列{a}和等比数列{b}满足a＝2，b＝4，a＝2log b，n∈N*.
n n 1 2 n 2 n
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
(2)设数列{a}中不在数列{b}中的项按从小到大的顺序构成数列{c}，记数列{c}的前n项和
n n n n
为S，求S .
n 100
解 (1)设等差数列{a}的公差为d，
n
因为b＝4，所以a＝2log b＝4，
2 2 2 2
所以d＝a－a＝2，
2 1
所以a＝2＋(n－1)×2＝2n.
n又a＝2log b，即2n＝2log b，
n 2 n 2 n
所以n＝log b，
2 n
所以b＝2n.
n
(2)由(1)得b＝2n＝2·2n－1＝a ，
n 2n－1
即b 是数列{a}中的第2n－1项．
n n
设数列{a}的前n项和为P，数列{b}的前n项和为Q，
n n n n
因为b＝a ＝a ，b＝a ＝a ，
7 26 64 8 27 128
所以数列{c}的前100项是由数列{a}的前107项去掉数列{b}的前7项后构成的，
n n n
所以S ＝P －Q＝－＝11 302.
100 107 7
4．(2023·荆州模拟)设正项数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，且满足________．给出下列三
n n 1
个条件：①a ＝4，2lg a ＝lg a ＋lg a (n≥2)；②S ＝ma －1(m∈R)；③2a ＋3a ＋4a
3 n n－1 n＋1 n n 1 2 3
＋…＋(n＋1)a＝kn·2n(k∈R)．
n
请从其中任选一个将题目补充完整，并求解以下问题．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，且数列{b}的前n项和T＝，求n的值．
n n n
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)选条件①时，a＝4,2lg a＝lg a ＋lg a (n≥2)，
3 n n－1 n＋1
整理得a＝a ·a ，故正项数列{a}为等比数列，
n－1 n＋1 n
由于a＝1，a＝4，故公比q2＝＝4，解得q＝2，
1 3
故a＝aqn－1＝2n－1.
n 1
选条件②时，S＝ma －1(m∈R)，
n n
当n＝1时，整理得a＝ma －1，解得m＝2，
1 1
故S＝2a－1，(a)
n n
当n≥2时，S ＝2a －1，(b)
n－1 n－1
(a)－(b)得a＝2a－2a ，整理得＝2(常数)，
n n n－1
所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列，
n
所以a＝2n－1.
n
选条件③时，2a＋3a＋4a＋…＋(n＋1)a＝kn·2n(k∈R)，
1 2 3 n
当n＝1时，整理得2a＝k·21，解得k＝1，
1
故2a＋3a＋4a＋…＋(n＋1)a＝n·2n(k∈R)，(a)
1 2 3 n
当n≥2时，2a＋3a＋4a＋…＋na ＝(n－1)·2n－1，(b)
1 2 3 n－1
(a)－(b)得a＝2n－1(首项符合通项)，
n
所以a＝2n－1.
n
(2)由(1)得b＝＝＝－，
n所以T＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，解得n＝99.
n
5．(2023·济南模拟)已知{a}是递增的等差数列，a ＋a ＝18，a ，a ，a 分别为等比数列
n 1 5 1 3 9
{b}的前三项．
n
(1)求数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)删去数列{b}中的第a 项(其中i＝1,2,3，…)，将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
n i
{c}，求数列{c}的前n项和S.
n n n
解 (1)设数列{a}的公差为d(d>0)，数列{b}的公比为q，
n n
由已知得解得a＝3，d＝3，所以a＝3n；
1 n
所以b＝a＝3，q＝＝3，所以b＝3n.
1 1 n
(2)由题意可知新数列{c}为b，b，b，b，…，
n 1 2 4 5
则当n为偶数时，S＝
n
＝ ＝ ，
则当n为奇数时，
S＝S ＋c＝S ＋ ＝S ＋ ＝ ，
n n－1 n n－1 n－1
综上，S＝
n
6．(2022·天津)设{a}是等差数列，{b}是等比数列，且a＝b＝a－b＝a－b＝1.
n n 1 1 2 2 3 3
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)设{a}的前n项和为S，求证：(S ＋a )b＝S b －Sb；
n n n＋1 n＋1 n n＋1 n＋1 n n
(3)求a －(－1)ka]b.
k＋1 k k
(1)解 设{a}的公差为d，{b}的公比为q，
n n
则a＝1＋(n－1)d，b＝qn－1，
n n
由a－b＝a－b＝1可得
2 2 3 3
⇒d＝q＝2(d＝q＝0舍去)，
所以a＝2n－1，b＝2n－1.
n n
(2)证明 因为b ＝2b≠0，
n＋1 n
所以要证(S ＋a )b＝S b －Sb，
n＋1 n＋1 n n＋1 n＋1 n n即证(S ＋a )b＝S ·2b－Sb，
n＋1 n＋1 n n＋1 n n n
即证S ＋a ＝2S －S，
n＋1 n＋1 n＋1 n
即证a ＝S －S，
n＋1 n＋1 n
而a ＝S －S 显然成立，
n＋1 n＋1 n
所以(S ＋a )b＝S ·b －S·b.
n＋1 n＋1 n n＋1 n＋1 n n
(3)解 因为[a －(－1)2k－1a ]b ＋[a －(－1)2ka ]b
2k 2k－1 2k－1 2k＋1 2k 2k
＝(4k－1＋4k－3)×22k－2＋[4k＋1－(4k－1)]×22k－1＝2k·4k，
所以a －(－1)ka]b
k＋1 k k
＝[a －(－1)2k－1a ]b ＋[a －(－1)2ka ]b }＝k·4k，
2k 2k－1 2k－1 2k＋1 2k 2k
设T＝k·4k，
n
所以T＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n×4n，
n
4T＝2×42＋4×43＋…＋(2n－2)·4n＋2n×4n＋1，
n
两式相减得－3T＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－2n×4n＋1
n
＝2×－2n×4n＋1
＝－2n×4n＋1，
所以T＝，
n
所以a －(－1)ka]b
k＋1 k k
＝.
