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2024年高考导数复习专题三
知识点一 求过一点的切线方程,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究方
程的根,
利用导数研究双变量问题
典例1、已知函数 ，实数 ， 为方程 的两个不等的根.
（1）求实数 的取值范围；（2）证明： .
随堂练习：已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证：
.典例2、已知 ，函数 ，其中 为自然对数的底数.
（1）判断函数 的单调性；
（2）若 是函数 的两个极值点，证明： .
随堂练习：已知函数 ．
（1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ．
（2）若 存在两个极值点 ，证明： ．典例3、已知函数 (a R)．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ， 为函数 的两个极值点，证明： ．
随堂练习：1、设函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）设 存在两个不同零点 ， ，记 ， ，求证：．
随堂练习：2、已知函数 ， ，其中 .
（1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围.
（2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .知识点二 由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
典例4、已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围；
（3）若不等式 仅有一个整数解，求实数a的取值范围．随堂练习：已知函数 .
（1）当 时，求 在区间 上的最小值；
（2）若 有两个零点，求 的取值范围.
典例5、已知函数 ．
（1）当 时，求 的最小值； （2）若函数 有两个不同的零点，求实数a
的取值范围．随堂练习：已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的最小值；
（2）当 时，求证 有两个零点 ， ，并且 ．
典例6、已知函数 ．
（1）当 时，求 的最小值；
（2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．随堂练习：已知函数 .
（1）求 的最小值；
（2）记 为 的导函数，设函数 有且只有一个零点，求 的取
值范围.2024年高考导数复习专题三答案典例1、答案 （1）
（2）证明见解析
解：（1）函数 的定义域为 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ， 所以（2） 在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ，
首先证明： ，
,
在 上单调递增，在 上单调递减,
的最大值 ，所以 成立,
在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ，
再证明： ,
，
在 上单调递增，在 上单调递减,
的最大值 ，所以 成立,
不妨设 ，实数 ， 为方程 的两个不等的实根,
设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ，
则 可得 , 由 可得 ，
设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ，
则 可得 ,由 可得 ， 所以 .
（注：不等式 ， 可以直接使用）
随堂练习：答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析
解：（1）由题意可知 ， ，
当 时， ，则 在 是单调递增；当 时，若 ，即
时， 若 ，即 时， 和
时， 时， ，
综上， 时， 在 是单调递增；
时， 在 和 递增， 在
递减
（2）由题意可设， 是 的两个根， 则
（用 分别表示出 和 ），
整理，得 ，此时
设 ，求导得
恒成立，
在 上单调递减，
典例2、答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析
解： （1） ， 令 ， ，
当 时， ， 所以 有2个根： ，
所以当 或 时， ，
当 时， ，
所以当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；
当 时， ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增.
所以 时， 在 上单调递增.
综上得：当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 上单调递增.
（2）因为 是函数 的两个极值点，所以 是方程 的两根，
设 ，则 ， ，
要证明 ，即证 ， 即证 ，
即证 ， 令 ，则 ，
即证 ， 即证 ，
令 ， ，
所以 在 上单调递增， 所以 ，故结论成立.
随堂练习：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
解：（1）当 时， ，定义域为 ，
在定义域上恒成立，
所以 在 上单调递减，当 时， ；当 时，
原命题得证．
（2） ，若存在两个极值点，则 ，解得
．
由韦达定理可知，原命题即证： ．
不妨设 ，原命题即证： ，由（*）知，
齐次化，即证： ，不放令 ，
原命题即证： ，记 ，
则 ，
当 时， 在 上单调递减， ．
典例3、答案： （1）答案见解析；（2）证明见解析.
解:（1） ，令
当 即 时， ， 在 上单调递增； 当 即 或
时，
① 当 时， 在 上单调递增；
② 当 时，令 ，+ 0 - 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
综上：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增， 在
上单调递减.
（2）由（1）知 时 有两个极值点 ， 且 ，不妨设
，
要证 即证
，
即 ，
设 由（1）知当 时， 在 上单调递增，
，则 在 上单调递减， .原式得证.
随堂练习：1、答案： （1） ；（2）证明见解析.
解:（1）函数 ，定义域为 ， ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；当 时， ，函数 在 上单调递增； 所以
；
（2）不妨设 , ，
，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增；
∴ 在 递减，在 递增， ∴ ， ，
∴ ， ∴ ，
∵ ，即 ， ∴
，
∴
要证 ， 即 即证即证 即证
又由于 ， ， 所以只需证
即证明 ， 即证 ， 即证
随堂练习：2、答案： （1） ；（2）证明见解析.
解：（1）设 ， 则由题设知，方程 ，在 有解，
而 .
设 ，则 .
①若 ，由 可知 ，且 ，
从而 ，即 在 上单调递减，从而 恒成立，
因而方程 在 上无解.
②若 ，则 ，又 时， ，
因此 ，在 上必存在实根，设最小的正实根为 ，
由函数的连续性可知， 上恒有 ， 即 在 上单调递减，也即 ，在 上单调递减，从而在 上恒有 ，
因而 在 上单调递减，故在 上恒有 ，即 ，
注意到 ，因此 ，
令 时，则有 ，由零点的存在性定理可知函数 在 ， 上有零
点，符合题意.
③若 时，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增，
也即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在
上无解.
综上可知， 的取值范围是 .
（2）因为 有两个零点，所以 （2） ， 即 ，
设 ，则要证 ，因为 ， ，
又因为 在 上单调递增， 所以只要证明 ，
设 ， 则 ，
所以 在 上单调递减， （2） ，所以 ，
因为 有两个零点， ， ，所以 ，
方程 即 构造函数 ， 则 ，
， ， 记 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，且 ，设 ， ， 所以 递增，
当 时， ， 当 时， ， 所以
，
即 ，
， ， ， 所以
，
同理 ， 所以 ，
所以 ， 所以 ，
由 得： ， 综上： .
典例4、答案： (1) ；(2) ；(3) ．
解:(1)函数 ，则 ，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数 取得极大值，也
是最大值为 ．
(2)函数 有两个零点，相当于函数 的图象与直线 有两
个交点．
当 时， ， 时， ， 结合（1）中结论，可得 ．(3)因为 ，所以不等式 仅有一个整数解，
即 只有一个整数解，因为 的极大值为 ， ， ，
所以当 时， 只有一个整数解 ，
即当 时，不等式 仅有一个整数解 ． 所以实数 的取值范围
是
随堂练习：答案： （1） ； （2） .
解： （1） ，令 ，得 .当 时，
，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
当 时， 有极小值，也是最小值，最小值为 .
（2） ，定义域 ，由题意 ， 即 有两个零点，
令 所以 在 时， ，函数单调递增；
当 时， 函数单调递减.所以函数 的最大值
时， ， 函数 的图象如图所示，所以 ，所以 .
典例5、答案：（1） 0 （2）
解：（1）当 时， 令
， ，
，
因为 在 上单调递增， 所以 ，
又因为 时， ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 在 上是增函数，且 ， 所以 在 上是增函数，所
以 ；
由于 ，问题转化为求 在区间 有一根时，实数a的取值范围，当
，即 时，
（2）由（1）可知，
即 在区间 无零点，不满足题意， 当 ，即 时，
令 ， 令 ，①当 时， ，
所以 在 上为增函数，
，
所以存在唯一一个实数 ，使 ．
②当 时， ， ．
由①②知，当 时， 单调递减， 当 时， 单
调递增，
因为 ， 所以存在唯一实数 ，使
，
所以当 时， 单调递减， 当 时， 单调递
增，
因为 ， 所以存在唯一实数 ，使 ，
即 在区间 有唯一零点 ，
综上所得，函数 两个不同的零点时，实数a的取值范围是 ．
随堂练习：答案：（1） 1 （2）证明见解析
解：（1）当 时， ， ．令 ，则 ，所以 在 单调递增，
又因为 ， ，所以存在 ，使得 ，此时
．
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增．
所以 的最小值为 ，
（2） ， ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增． 则 ，
这时 ， 利用 放缩
记 的正根为 所以 ，
所以 存在两个零点 和 ， ， ，
因为 ，即 两式相减得 ；
两式相加得 ． 要证 ，即只要证 ， 令 ， ，
，则 在 单调递增，所以 ，
又因为 ，所以 得证，所以 成立．
典例6、答案： （1）1 （2）
解：（1） 的定义域为 ， 时， ，
当 时， ；当 时，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 是 的极小值点，也是 的最小值点，故 ．
（2）由 ，定义域为
，
当 时， ，所以 在 上单调递减，则 最多有一个零点，
不合题意；
当 时，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 的极小值为 ．
设 ，则 ，所以 ，从而 在 上单调递
减，又 ．
当 ，即 时， ； 所以当 时， 最多有一个零点，不合题
意；
当 ，即 时， ，即 ； 又
，
则 ，所以 在 内有一个零点． 由（1）得: ，
所以 ，所以 在 内有一个零
点，
结合 的单调性，可知 时， 有两个不同的零点，故 的取值范围为
．
随堂练习：答案： （1） 1、 ； （2） 或 .
解：（1）由题得 ，
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增， 所以 是 的极小值点；
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以 只能在 内取得最小值，因为 是 在（0， ）内的极小值点，
也是最小值点，
所以 ．
（2）由题可得 （ ）， ∴
①当 时， ，函数 在 上单调递增，
又∵ ， ∴函数 有且仅有1个零点，∴ 符合题意；
②当 时，令 ， ，函数 在 上单调
递增，
因为 ，
∴存在唯一的实数 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
又∵ 时， ， 时， ，且 ，
∴当函数 有且仅有1个零点时， ，
∴ 符合题意
综上可知， 的取值范围是 或 .
