2025高考总复习专项复习--一元函数的导数及其应用专题三（含解析）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_专项复习_2025高考总复习专项复习之一元函数的导数及其应用专题（完结）

2024年高考导数复习专题三 知识点一 求过一点的切线方程,用导数判断或证明已知函数的单调性,利用导数研究方 程的根, 利用导数研究双变量问题 典例1、已知函数 ，实数 ， 为方程 的两个不等的根. （1）求实数 的取值范围；（2）证明： . 随堂练习：已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）设 存在两个极值点 ，且 ，若 ，求证： .典例2、已知 ，函数 ，其中 为自然对数的底数. （1）判断函数 的单调性； （2）若 是函数 的两个极值点，证明： . 随堂练习：已知函数 ． （1）若 ，证明：当 时， ；当 时， ． （2）若 存在两个极值点 ，证明： ．典例3、已知函数 (a R)． （1）讨论函数 的单调性； （2）若 ， 为函数 的两个极值点，证明： ． 随堂练习：1、设函数 ． （1）求函数 的最小值； （2）设 存在两个不同零点 ， ，记 ， ，求证：． 随堂练习：2、已知函数 ， ，其中 . （1）若函数 的图象与直线 在第一象限有交点，求 的取值范围. （2）当 时，若 有两个零点 ， ，求证： .知识点二 由导数求函数的最值（不含参）,函数单调性、极值与最值的综合应用 利用导数研究函数的零点 典例4、已知函数 ． （1）求函数 的最大值； （2）若函数 有两个零点，求实数m的取值范围； （3）若不等式 仅有一个整数解，求实数a的取值范围．随堂练习：已知函数 . （1）当 时，求 在区间 上的最小值； （2）若 有两个零点，求 的取值范围. 典例5、已知函数 ． （1）当 时，求 的最小值； （2）若函数 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．随堂练习：已知函数 ， ． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）当 时，求证 有两个零点 ， ，并且 ． 典例6、已知函数 ． （1）当 时，求 的最小值； （2）若函数 有两个不同的零点，求 的取值范围．随堂练习：已知函数 . （1）求 的最小值； （2）记 为 的导函数，设函数 有且只有一个零点，求 的取 值范围.2024年高考导数复习专题三答案典例1、答案 （1） （2）证明见解析 解：（1）函数 的定义域为 ， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 ， 所以（2） 在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ， 首先证明： ， , 在 上单调递增，在 上单调递减, 的最大值 ，所以 成立, 在 处的切线的斜率为 ，其切线方程为 ， 再证明： , ， 在 上单调递增，在 上单调递减, 的最大值 ，所以 成立, 不妨设 ，实数 ， 为方程 的两个不等的实根, 设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ， 则 可得 , 由 可得 ， 设直线 与 在 处的切线的交点的横坐标为 ， 则 可得 ,由 可得 ， 所以 . （注：不等式 ， 可以直接使用） 随堂练习：答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析 解：（1）由题意可知 ， ， 当 时， ，则 在 是单调递增；当 时，若 ，即 时， 若 ，即 时， 和 时， 时， ， 综上， 时， 在 是单调递增； 时， 在 和 递增， 在 递减 （2）由题意可设， 是 的两个根， 则 （用 分别表示出 和 ）， 整理，得 ，此时 设 ，求导得 恒成立， 在 上单调递减， 典例2、答案：（1）答案见解析 （2）证明见解析 解： （1） ， 令 ， ， 当 时， ， 所以 有2个根： ， 所以当 或 时， ， 当 时， ， 所以当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增. 所以 时， 在 上单调递增. 综上得：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增. （2）因为 是函数 的两个极值点，所以 是方程 的两根， 设 ，则 ， ， 要证明 ，即证 ， 即证 ， 即证 ， 令 ，则 ， 即证 ， 即证 ， 令 ， ， 所以 在 上单调递增， 所以 ，故结论成立. 随堂练习：（1）证明见解析；（2）证明见解析. 解：（1）当 时， ，定义域为 ， 在定义域上恒成立， 所以 在 上单调递减，当 时， ；当 时， 原命题得证． （2） ，若存在两个极值点，则 ，解得 ． 由韦达定理可知，原命题即证： ． 不妨设 ，原命题即证： ，由（*）知， 齐次化，即证： ，不放令 ， 原命题即证： ，记 ， 则 ， 当 时， 在 上单调递减， ． 典例3、答案： （1）答案见解析；（2）证明见解析. 解:（1） ，令 当 即 时， ， 在 上单调递增； 当 即 或 时， ① 当 时， 在 上单调递增； ② 当 时，令 ，+ 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 综上：当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减. （2）由（1）知 时 有两个极值点 ， 且 ，不妨设 ， 要证 即证 ， 即 ， 设 由（1）知当 时， 在 上单调递增， ，则 在 上单调递减， .原式得证. 随堂练习：1、答案： （1） ；（2）证明见解析. 解:（1）函数 ，定义域为 ， ， 当 时， ，函数 在 上单调递减；当 时， ，函数 在 上单调递增； 所以 ； （2）不妨设 , ， ， 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增； ∴ 在 递减，在 递增， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∴ 要证 ， 即 即证即证 即证 又由于 ， ， 所以只需证 即证明 ， 即证 ， 即证 随堂练习：2、答案： （1） ；（2）证明见解析. 解：（1）设 ， 则由题设知，方程 ，在 有解， 而 . 设 ，则 . ①若 ，由 可知 ，且 ， 从而 ，即 在 上单调递减，从而 恒成立， 因而方程 在 上无解. ②若 ，则 ，又 时， ， 因此 ，在 上必存在实根，设最小的正实根为 ， 由函数的连续性可知， 上恒有 ， 即 在 上单调递减，也即 ，在 上单调递减，从而在 上恒有 ， 因而 在 上单调递减，故在 上恒有 ，即 ， 注意到 ，因此 ， 令 时，则有 ，由零点的存在性定理可知函数 在 ， 上有零 点，符合题意. ③若 时，则由 可知， 恒成立，从而 在 上单调递增， 也即 在 上单调递增，从而 恒成立，故方程 在 上无解. 综上可知， 的取值范围是 . （2）因为 有两个零点，所以 （2） ， 即 ， 设 ，则要证 ，因为 ， ， 又因为 在 上单调递增， 所以只要证明 ， 设 ， 则 ， 所以 在 上单调递减， （2） ，所以 ， 因为 有两个零点， ， ，所以 ， 方程 即 构造函数 ， 则 ， ， ， 记 ， 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ，且 ，设 ， ， 所以 递增， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， ， ， ， 所以 ， 同理 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 由 得： ， 综上： . 典例4、答案： (1) ；(2) ；(3) ． 解:(1)函数 ，则 ，当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减，所以当 时，函数 取得极大值，也 是最大值为 ． (2)函数 有两个零点，相当于函数 的图象与直线 有两 个交点． 当 时， ， 时， ， 结合（1）中结论，可得 ．(3)因为 ，所以不等式 仅有一个整数解， 即 只有一个整数解，因为 的极大值为 ， ， ， 所以当 时， 只有一个整数解 ， 即当 时，不等式 仅有一个整数解 ． 所以实数 的取值范围 是 随堂练习：答案： （1） ； （2） . 解： （1） ，令 ，得 .当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增. 当 时， 有极小值，也是最小值，最小值为 . （2） ，定义域 ，由题意 ， 即 有两个零点， 令 所以 在 时， ，函数单调递增； 当 时， 函数单调递减.所以函数 的最大值 时， ， 函数 的图象如图所示，所以 ，所以 . 典例5、答案：（1） 0 （2） 解：（1）当 时， 令 ， ， ， 因为 在 上单调递增， 所以 ， 又因为 时， ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立， 所以 在 上是增函数，且 ， 所以 在 上是增函数，所 以 ； 由于 ，问题转化为求 在区间 有一根时，实数a的取值范围，当 ，即 时， （2）由（1）可知， 即 在区间 无零点，不满足题意， 当 ，即 时， 令 ， 令 ，①当 时， ， 所以 在 上为增函数， ， 所以存在唯一一个实数 ，使 ． ②当 时， ， ． 由①②知，当 时， 单调递减， 当 时， 单 调递增， 因为 ， 所以存在唯一实数 ，使 ， 所以当 时， 单调递减， 当 时， 单调递 增， 因为 ， 所以存在唯一实数 ，使 ， 即 在区间 有唯一零点 ， 综上所得，函数 两个不同的零点时，实数a的取值范围是 ． 随堂练习：答案：（1） 1 （2）证明见解析 解：（1）当 时， ， ．令 ，则 ，所以 在 单调递增， 又因为 ， ，所以存在 ，使得 ，此时 ． 当 时， ， 在 单调递减； 当 时， ， 在 单调递增． 所以 的最小值为 ， （2） ， ，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 则 ， 这时 ， 利用 放缩 记 的正根为 所以 ， 所以 存在两个零点 和 ， ， ， 因为 ，即 两式相减得 ； 两式相加得 ． 要证 ，即只要证 ， 令 ， ， ，则 在 单调递增，所以 ， 又因为 ，所以 得证，所以 成立． 典例6、答案： （1）1 （2） 解：（1） 的定义域为 ， 时， ， 当 时， ；当 时， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 所以 是 的极小值点，也是 的最小值点，故 ． （2）由 ，定义域为 ， 当 时， ，所以 在 上单调递减，则 最多有一个零点， 不合题意； 当 时，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 则 的极小值为 ． 设 ，则 ，所以 ，从而 在 上单调递 减，又 ． 当 ，即 时， ； 所以当 时， 最多有一个零点，不合题 意； 当 ，即 时， ，即 ； 又 ， 则 ，所以 在 内有一个零点． 由（1）得: ， 所以 ，所以 在 内有一个零 点， 结合 的单调性，可知 时， 有两个不同的零点，故 的取值范围为 ． 随堂练习：答案： （1） 1、 ； （2） 或 . 解：（1）由题得 ， ∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 所以 是 的极小值点； 又当 时， ，当 时， ，当 时， ， 所以 只能在 内取得最小值，因为 是 在（0， ）内的极小值点， 也是最小值点， 所以 ． （2）由题可得 （ ）， ∴ ①当 时， ，函数 在 上单调递增， 又∵ ， ∴函数 有且仅有1个零点，∴ 符合题意； ②当 时，令 ， ，函数 在 上单调 递增， 因为 ， ∴存在唯一的实数 ，使得 ，即 ， 当 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增； 又∵ 时， ， 时， ，且 ， ∴当函数 有且仅有1个零点时， ， ∴ 符合题意 综上可知， 的取值范围是 或 .