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人教A版数学--概率专题三
知识点一 独立性检验解决实际问题,计算条件概率
典例1、2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运
会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会
开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式
情况进行了问卷调查，统计数据如下：
收看 没收看
男生 60 20
女生 20 20
（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.025 0.01 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8
人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播
站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；
②记 为入选的2人中的女生人数，求随机变量 的分布列及数学期望.随堂练习：今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起
了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，
得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，
组织了两个研究小组
（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进
行全面的体能测试，
①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完
成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是多
少？
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的
学业成绩与体育成绩之间的 列联表.
学业优秀 学业不优秀 总计
体育成绩不优秀 100 200 300
体育成绩优秀 50 50 100
总计 150 250 400
请你根据联表判断是否有 %的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
0.46 0.71 1.32 2.07 2.71 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828
典例2、近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖
区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，
40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
(1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认
为是否愿意接种疫苗与性别有关?
愿意接种 不愿意接种 合计
男
女
合计
（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因
不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种：有4份担心疫苗的有效性：
有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担
心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：
0.050 0.010 0.005
3.841 6.635 7.879随堂练习：深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，
为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：
球队胜 球队负 总计
甲参加
甲未参加
总计
（1）求 、 、 、 、 的值，据此能否有 的把握认为球队胜利与甲球员参赛有
关；
（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，
且出场率分别为： 、 、 、 ，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球
队输球的概率依次为： 、 、 、 .则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：.
典例3、2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引
了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学
生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：
4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计
得到如下等高累积型条形图：
（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；
（2）若抽取了100名学生，完成下列 列联表，并依据小概率值 的独立性检
验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由．
参加社团 未参加社团 合计
男生
女生合计
附： ，
临界值表：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
随堂练习：一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员
从年龄在[20，60]内的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：
（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若
某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个
环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年
龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计使用移动支付
不使用移动支付
小计 200
（3）现从该超市年龄在20到60的200人的顾客中，随机依次抽取2人，已知第1次抽
到的是使用移动支付的顾客，求第2次抽到的是不使用移动支付的顾客的概率．
附表：
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
．
知识点二 根据频率分布表解决实际问题,用频率估计概率,求离散型随机变量的均值
典例4、某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大
力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水
平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深入调查，如表是该
部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．
老年人 中年人 青年人
满意度
报团游 自助游 报团游 自助游 报团游 自助游
满意 12 1 18 4 15 6
一般 2 1 6 4 4 12
不满意 1 1 6 2 3 2（1）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向
于选择报团游？
（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的游客中，
随机抽取3人征集整改建议，记 表示这3人中老年人的人数，求 的分布列和期
望；
（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？
随堂练习：某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 的包裹收费 元；重量
超过 的包裹，除 收费 元之外，超过 的部分，每超出 (不足 ，按 计
算)需再收 元.该公司将最近承揽的 件包裹的重量统计如表：
包裹重量（单位： ）
包裹件数公司对近 天，每天揽件数量统计如表：
包裹件数范围
包裹件数（近似处理）
天数
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（ ）计算该公司未来 天揽件数在 之间的概率；
（ ）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他
费用.目前前台有工作人员 人，每人每天揽件不会超过 件，且日工资为 元.
公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 人，试计算裁员前后公司每日利润的数学
期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
典例5、北京市某区针对高三年级的一次测试做调研分析，随机抽取同时选考物理､化
学的学生330名，下表是物理､化学成绩等级和人数的数据分布情况：物理成绩等级
化学成绩等级
人数（名） 110 53 2 55 70 15 3 12 10
（1）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取1人，已知该生的物理成绩
等级为 ，估计该生的化学成绩等级为 的概率；
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生中随机抽取2人，以 表示这2人中物
理､化学成绩等级均为 的人数，求 的分布列和数学期望（以上表中物理､化学成
绩等级均为 的频率作为每名学生物理､化学成绩等级均为 的概率）；
（3）记抽取的330名学生在这次考试中数学成绩（满分150分）的方差为 ，排名前
的成绩方差为 ，排名后 的成绩方差为 ，则 不可能同时大于 和 ，
这种判断是否正确.（直接写出结论）.随堂练习：自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自
由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：
20以下 70以上
使用人数 3 12 17 6 4 2 0
未使用人数 0 0 3 14 36 3 0
（1）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在 且未使用自由购的概率；
（2）从被抽取的年龄在 使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，
用 表示这3人中年龄在 的人数，求随机变量 的分布列及数学期望；
（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某
日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.典例6、2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条､段数为历年
最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营.地铁19号线一期全长约22公
里，共设10座车站，此次开通牡丹园､积水潭､牛街､草桥､新发地､新宫共6座车站.在
试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的 名乘客，记录了他们的乘车情
况，得到下表（单位：人）：
下车站
牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
上车站
牡丹园 /// 5 6 4 2 7 24
积水潭 12 /// 20 13 7 8 60
牛街 5 7 /// 3 8 1 24
草桥 13 9 9 /// 1 6 38
新发地 4 10 16 2 /// 3 35
新宫 2 5 5 4 3 /// 19
合计 36 36 56 26 21 25 200
（1）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车
的概率；
（2）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站
下车的人数为 ，求随机变量 的分布列以及数学期望；
（3）为了研究各站客流量的相关情况，用 表示所有在积水潭站上下车的乘客的上､下
车情况，“ ”表示上车，“ ”表示下车.相应地，用 ， 分别表示在牛
街，草桥站上､下车情况，直接写出方差 ， ， 大小关系.随堂练习：2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不
断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的
纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价
格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者
简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
心理价位（元/件） 90 100 110 120
人数 10 20 50 20
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就
会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件
该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件）， ，且每位消费者
是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.
（1）若 ，试估计消费者购买该纪念品的概率；
（2）在（1）的前提下，某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，
试求X的分布列和数学期望 ；
（3）假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当
该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望 达到最大值？人教A版数学--概率专题三答案
典例1、答案：(1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）① ；②答案见
解析.
解：（1）因为 ，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.
（2）①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生 人，女生 人，
记事件 “选出的两人中有女生”，共有 或 种不同的
选法，
“选出的两人为一名男生､一名女生”，共有 种不同的选法，
则
②根据题意， 所有可能取值为
所以 的分布列为
0 1 2
P(或 服从超几何分布， ， ， ， .)
随堂练习：答案：（1）① ② （2）有
解:（1）①因为 0.02：0.03：0.06＝2：3：6， 所以
，，
则从1～5，6～10，11～15中选出的个数分别为2个，3个，6个，
因为单次完成11～15个引体向上的人数共有0.06×5×400＝120人，
则单次完成11～15个引体向上的男生甲被抽到的概率是p＝
②由题知抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是
（2）因为K2= ≈8.889＞7.879，
所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
典例2、答案：（1）列联表见解析；有；（2） ．
解:（1）
愿意接种 不愿意接种 合计
男 30 10 40
女 50 5 55
合计 80 15 95
有 的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，
则 , , 所以 .随堂练习：答案：（1） ， ， ，有 的把握认为球队胜利与甲
球员参赛有关
（2）① ；② ；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次
解：（1）由列联表中的数据可得 ， ， ，
，
有 的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）①设 表示“乙球员担当前锋”； 表示“乙球员担当中锋 ”；
表示“乙球员担当后卫”； 表示“乙球员担当守门员”； 表示“球队
输掉某场比赛”，
则
；
② ；
③因为 ，
，
，
所以， ，
所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.
典例3、答案：（1） ：（2）填表见解析；性别与参加社团无关；答案见解析．
解:（1）方法（1）：设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件
、
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件则 ， 则
．
方法（2）：用第（2）问的 列联表中的条件频数直接求解
设高一和高二的所有学生中任选一人是男生为事件
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件 则
．
（2） 列联表如下：
参加社团 未参加社团 合计
男生 6 54 60
女生 8 32 40
合计 14 86 100
零假设为 ：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关．
根据列联表中的数据，经计算得到： ，
依据小概率值 的独立性检验，没有充分的证据推断 不成立，
因此可以认为 成立，即性别与参加社团无关．
随堂练习：答案：（1） 个；（2）填表见解析；有99.9%的把握认为使用移动支付
与年龄有关；（3） ．
解：（1）根据图中数据，得到如下表格：
类型╲年 [20， [25， [30， [35， [40， [45， [50， [55，
龄段 25) 30) 35) 40) 45) 50) 55) 60]
使用移动
20 25 25 15 15 10 8 7
支付
不使用移 0 0 4 6 10 10 23 22动支付
由频率估计概率，计算得该超市使用移动支付的概率为：
；
所以某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数为： ；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年
龄有关：
年龄<40 年龄≥40 小计
使用移动支付 85 40 125
不使用移动支付 10 65 75
小计 95 105 200
假设移动支付与年龄无关，则K2的观测值 ，
因为56.17>10.828， 所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；
（3）解法一：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客， 所以
；
解法二：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，
则 所以
典例4、答案：（1）老年人更倾向于选择报团游；（2）分布列见解析， ；（3）建议
他选择报团游．
解：（1）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
， ， ，
因为 ，所以老年人更倾向于选择报团游；（2）由题意可得， 的可能取值为0，1，2，
所以 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
所以 ；
（3）由上表可知，报团游的满意率为 ， 自助游的满意率为
，
因为 ，故建议他选择报团游．
随堂练习：答案：（1） ；（2）① 元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值
为 元，不利.
解:（ ）样本包裹件数在 之间的天数为 ，频率 ，
显然未来 天中，包裹件数在 之间的概率为
（ ）（ ）样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位： ）
快递费（单位：元）包裹件数
故样本中每件快递收取的费用的平均值为
（元），
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 元
（ ）根据题意及（ ）（ ），揽件数每增加 ，可使前台工资和公司利润增加
（元），
将题目中的天数转化为频率，得
包裹件数范围
包裹件数近似
天数
频率
若不裁员，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）；
若裁员 人，则每天可揽件的上限为 件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数近似
实际揽件数
频率
故公司平均每日利润的期望值为 （元）因 ，故公司将前台工作人员裁员 人对提高公司利润不利.
典例5、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望为 （3）不正确
解：（1）设事件 为“该生物理成绩等级为 的情况下，化学成绩等级为 ”，
样本中物理成绩等级为 的人数为 ，在该群体中化学成绩等级为
的人数为110，所以频率为 ，由样本估计总体可得 ，
故该生物理成绩等级为 ，估计该生化学成绩等级为 的概率为 .
（2）从该区高三年级同时选考物理､化学的学生随机选取一名，
物理､化学成绩等级均为 的概率估计为 .
由题意随机变量 的取值范围是
则 的分布列：
0 1 2
（3）不正确； 举例：，排名前 的成绩均为 分，方差为 ，排名后 的成
绩均为 分，方差为 ，显然 ，所以 ， ，故 同时大于 和 .
随堂练习：答案：（1） ；（2）详见解析；（3）2200
解:（1）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17
人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为
．
（2） 所有的可能取值为1,2,3，
, , .
所以 的分布列为
1 2 3
所以 的数学期望为 .
（3）在随机抽取的100名顾客中， 使用自由购的共有 人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为 .
典例 6、答案： （1） （2）分布列答案见解析，数学期望：1 （3）
解：（1）设选取的乘客在积水潭站上车､在牛街站下车为事件 ，由已知，在积水潭站上车的乘客有 人，其中在牛街站下车的乘客有 人，
所以 .
（2）由题意可知，
； ；
； .
随机变量 的分布列为
所以随机变量 的数学期望为： . .
（两点分布： ）
随堂练习：答案：（1）0.9 （2）分布列见详解，
（3）当该纪念品的销售价格定为110元时， 达到最大值 ．
解：（1） 时，消费者购买该纪念品的概率
由题意 ， ， ，
，同理 ， ， ，，
的分布列为：
0 1 2 3 4
.
（2）由（2）知 时， （ 时等号成立），
时， （ 时等号成立），
时， （ 时等号成立），
，因此 最大，此时 ．
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望 达到最大值 ．
