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人教A版数学--概率专题九
知识点一 求回归直线方程,相关系数的意义及辨析,相关系数的计算,根据回归方程进行
数据估计
典例1、某产品的广告费用支出 与销售额 之间有如下的对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 60 50 70
（1）求回归直线方程；
（2）据此估计广告费用为10时销售收入 的值.
附：线性回归方程 中系数计算公式 ，
，其中 ， 表示样本均值.
随堂练习：某景区对2018年1-5月的游客量x与利润y的统计数据如表：
月份 1 2 3 4 5
游客量（万人） 4 6 5 7 8
利润（万元） 19 34 26 41 45
（1）根据所给统计数据，求y关于x的线性回归方程 ；
（2）据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万
元？（参考数据： ， ） ， ．
典例2、为打造“四态融合、产村一体”的望山、见水、忆乡愁的美丽乡村，增加农民
收入，某乡政府在近几年中任选了5年，经统计，年份代号x与景区农家乐接待游客人
数y（单位：万人）的数据如下表：
年份代号x 2 3 5 7 8
接待游客人数y（万人） 3 3.5 4 6.5 8
（1）根据数据说明变量x与y是正相关还是负相关；
（2）求相关系数r的值，并说明年份与接待游客数的相关性的强与弱；
（3）分析近几年中该景区农家乐接待游客人数y的变化情况，求该景区农家乐接待游
客人数关于年份代号的回归直线方程；并预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游
客的人数（单位：万人，精确到小数点后2位）.
附：一般地，当r的绝对值大于0.75时认为两个变量之间有很强的线性关系.
, .
随堂练习：下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线
图.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化
处理量.
附注：参考数据： ， ， ， ≈2.646.
参考公式：相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
典例3、目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝
试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点已经吸引了越多越多的人.由
此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带
货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播
带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入 （单位：万元）
情况，如表所示.
月份 5 6 7 8
时间代号 1 2 3 4
家乡特产收入 3.9 3.3 2.2 1.8
（1）根据5月至8月的数据，求y与t之间的线性相关系数（精确到0.01），并判断
相关性；
（2）求出y关于t的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.附：①相关系数公式： ；
（若 ，则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合）
②一组数据 ，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘
估计公式
分别为 ， ；
③参考数据： ，
， .
随堂练习：某公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：
万元）对年销售量y（单位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年
研发费 和年销售量 （ ，2，…，6）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
12.5 222 3.5 157.5 4.5 1854 270
表中 ， .
（1）根据散点图判断 与 哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类
型；（给出判断即可，不必说明理由）
（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润 ，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年
利润z的预报值最大？
附：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为 ， .知识点 独立事件的乘法公式,独立重复试验的概率问题,求离散型随机变量的均值
典例4、甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球.甲先投且先投中者获胜，约定有人获胜
或每人都已投球2次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概
率为 ，且各次投篮互不影响.
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，乙只投了1个球的概率.
随堂练习：某社区为了丰富群众的业余活动，倡导群众参加踢毽子，广场舞，投篮，射
门等体育活动.在一次“定点投球”的游戏中，规则如下：每小组两位选手，每位选手
投球两次，投中一次得2分，否则得0分，得分累加，得分之和不低于6分则称两人为
“黄金搭档”.甲，乙两人一组，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，假
设甲，乙两人是否投中互不影响.
（1）若 ， ，求甲，乙两人累计得分之和为4的概率；
（2）若 ，求甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最大值.典例5、甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、
乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记0分；一人投中而另一人未投中，则
投中的记1分，未投中的记 分设每轮比赛中甲投中的概率为 ，乙投中的概率为 ，
甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
（1）经过1轮比赛，记甲的得分为 ，求 的分布列和期望；
（2）经过3轮比赛，用 表示第n轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概
率，研究发现点 均在函数 的图象上，求实数m，s，t
的值．
随堂练习：“练好射击本领，报效国家”，某警校大一新生进行射击打靶训练，甲、乙
在相同的条件下轮流射击，每轮中甲，乙各射击一次，射中者得1分，未射中者得0分已知甲、乙每次射中的概率分别为 ，且各次射击互不影响.
（1）经过1轮射击打靶，记甲、乙两人的得分之和为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）经过3轮射击打靶后，求甲的累计得分高于乙的累计得分的概率.
典例6、11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，
其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，
每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，
未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为
，乙每次投球命中的概率为 ，且各次投球互不影响.
（1）经过1轮投球，记甲的得分为 ，求 的分布列；
（2）若经过 轮投球，用 表示经过第 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的
概率.
①求 ；②规定 ，经过计算机计算可估计得 ，请根据
①中 的值分别写出a，c关于b的表达式，并由此求出数列 的通项公式.随堂练习：足球比赛全场比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时成绩持平，且该场比
赛需要决出胜负，则需进行30分钟的加时赛：若加时赛仍是平局，则采取“点球大
战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢
点球，累计进球个数多者胜；②若在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次
可能射中的球数，则不需再踢，譬如第4轮结束时，双方进球数比为2：0．则不需再踢
第5轮了，③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，
即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到
出现一方进球另一方不进球的情况，进球方获胜．
（1）已知小明在点球训练中踢进点球的概率是 ．在一次赛前训练中，小明踢了3次
点球，且每次踢点球互不影响，记X为踢进点球的次数，求X的分布列与期望；
（2）现有甲，乙两支球队在冠军赛中相遇，比赛120分钟后双方仍旧打平，须互罚点
球决出胜负．设甲队每名球员踢进点球的概率为 ，乙队每名球员踢进点球的概率
为 ．每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．求甲队在点球大战
中比赛4轮并以3∶1获得冠军的概率．
人教A版数学--概率专题九答案
典例1、答案： （1） （2）82.5
解：（1）根据表中所给的五对数据，得到五个有序数对，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ∴所以回归直线方程为 .
（2）当 时，预报 的值为 .
随堂练习：答案： （1） ； （2）能，理由见解析.
解：（1） ， ，
，
（2）当 时， ，
上半年景区总利润为： 万元，
据估计景区上半年的总利润能突破220万元.
典例2、答案： （1）正相关； （2）0.959，年份与接待游客数的相关性很强；
（3） ，9.04万人.
解：（1）由表中数据可得 ， ，
则 ，
由于变量y的值随x的值的增加而增加（ ）， 因此x与y之间是正相
关；（2）因为 ，
所以年份与接待游客数的相关性很强；
（3）因为 ，
所以景区农家乐接待游客人数y关于年份代号x的回归直线方程为 ，
当x=10时， ，
由此预测在年份代号为10时该景区农家乐接待游客人数约为9.04万人.
随堂练习：答案： (1)答案见解析；(2)答案见解析.
解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得： ， ，
，
，
.
因为 与 的相关系数近似为0.99，说明 与 的线性相关相当高，
从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.
（2）由 及（1）得 ，
.所以， 关于 的回归方程为： .
将2016年对应的 代入回归方程得： .
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.
典例3、答案： （1） ；认为y与t之间有很强的相关性.
（2）y关于t的回归直线方程为： ，不能.
解：（1）由表格数据可知： ， ，
则： ，
由题意知： ，
，
代入相关系数公式可得： ，
因为 ，所以认为y与t之间有很强的相关性.
（2）由题意可得： ，
， ， ，
所以 ，则 ，
所以y关于t的回归直线方程为： ，
把 代入可得： ， 所以预测9月收入不能突破1万元.
随堂练习：答案： （1） ； （2） ； （3）30万元.
解：（1）由散点图可以判断 更适宜作为年研发费x的回归方程类型；
（2）令 ，先建立y关于 的线性回归方程，
因为 ， ，
所以y关于μ的线性回归方程 ，
（3）因此，γ关于x的回归方程为 ；
由（2）可知 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以当研发费为30万元时，年利润z的预报值最大
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）设 ， 分别表示甲､乙在第 次投篮时投中，
则 ， ， ，
“甲获胜”为事件 ， 则
；
（2）记“投篮结束时，乙只投了1个球”为事件 .则 .
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题意得甲，乙两人累计得分之和为4的概率为：
（2）他们在一轮游戏中获得“黄金搭档”的概率为：
，
因为 ，所以 ，
令 ，由 ， 及 ，得 ，
，
当 时，P的最大值为 . 故甲，乙在一轮游戏中为“黄金搭档”的概率的最
大值 .
典例5、答案：（1）答案见解析 （2） ， ，
解：（1） 的可能取值为 ，
则 ； ；，
的分布列为：
0 1
．
（2）由（1）知 ， 经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一是甲两轮得分都为 ；二是两轮中甲有一轮得0分，另一轮得 分，
则 ．
经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：
三轮中甲得分都为 ；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得0分；
三轮中甲有一轮得 分，另两轮得0分；三轮中甲有两轮得 分，另一轮得1分，
则 ，
由题意，点 均在函数 的图象上，
则 ， ②－①得 ④， ③－②得
⑤，⑤÷④得 ⑥， 将⑥代入④得 ⑦， 将⑥⑦代入①得 ，
综上， ， ， ．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析， ；（2） .
解:（1） 的可能取值为0，1，2，
由题意可知 ，
， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
.
（2）经过3轮射击后甲的累计得分高于乙的累计得分有三种情况：
一是甲累计得3分，此时乙的累计得分低于3分，
二是甲累计得2分，此时乙的累计得分低于2分，
三是甲累计得1分，此时乙累计得0分，
所以
典例6、答案：（1）分布列见解析；（2）① ；② ，.
解:（1）记一轮投球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， 相互独立，
由题意 ， ，甲的得分 的取值为 ，
，
，
，
∴ 的分布列为：
－1 0 1
（2）由（1） ，
，
同理，经过2轮投球，甲的得分 取值 ：
记 ， ， ，则
， ， ， ，
由此得甲的得分 的分布列为：－2 －1 0 1 2
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
代入 得： ， ∴ ，
∴数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ， ∴
．
∴ ．
随堂练习：答案： （1）分布列见解析， （2）
解：（1）由题意可知小明踢进点球的次数 ，所以X的取值可能是0，1，2，
3．
因为 ； ；
； ．
所以X的分布列为X 0 1 2 3
P
所以 ．
（2）设“甲队在点球大战中比赛4轮并以3:1获得冠军”为事件A．
当甲队前三个点球都进时，乙队前三个点球必进一个球，
﹔
当甲队前三个点球有一个没进时，
所以 .
