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人教A版数学--概率专题二
知识点一 由频率分布直方图估计平均数,利用二项分布求分布列
典例1、2022年卡塔尔世界杯正赛在北京时间11月21日-12月18日进行，共有32支
球队获得比赛资格．赛场内外，丰富的中国元素成为世界杯重要的组成部分：“中国制
造”的卢赛尔体育场将见证新的世界冠军产生，中国企业成为本届世界杯最大赞助商，
世界杯周边商品七成“义乌造”．某企业还开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让
大家更多的了解世界杯的相关知识，并倡议大家做文明球迷．该企业为了解广大球迷对
世界杯知识的知晓情况，在球迷中开展了网上问卷调查，球迷参与度极高，现从大批参
与者中随机抽取200名幸运球迷，他们得分（满分100分）数据的频率分布直方图如图
所示：
（1）若用样本来估计总体，根据频率分布直方图，求m的值，并计算这200人得分的
平均值 （同一组数据用该区间中点值作为代表）；
（2）该企业对选中的200名幸运球迷组织抽奖活动：每人可获得3次抽奖机会，且每
次抽中价值为100元纪念品的概率均为 ，未抽中奖的概率为 ，现有幸运球迷张
先生参与了抽奖活动，记Y为他获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望．随堂练习：青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视
知识的掌握程度，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满
分：100分）都在区间 中，并将数据分组，制成如下频率分布表：
分数
频率 0.15 0.25 0.30 0.10
（1）试估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）用样本估计总体，用频率估计概率，从该校学生中随机抽取4人深入调查，设X
为抽取的4人中得分在 的人数，求 的分布列与数学期望．
典例2、第 届冬季奥林匹克运动会，于 年 月在北京市和张家口市联合举行．某
校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了
“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为 、 、 、 、 五个等级，
分别对应的分数为 、 、 、 、 ．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果
如图所示．（1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要
证明）
（2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；
（3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为 分并且乙的成绩为 分或 分的次
数为 ，求 的分布列（频率当作概率使用）．
随堂练习：“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人
们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的
约占80%.现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按
年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4
组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求这200人的平均年龄（每一组用该组区间的中点值作为代表）；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随
机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各
人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建
设的人数为X，求随机变量X的分布列.典例3、某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度
d（单位： ）．该样本数据分组如下： ， ， ， ， ，
，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，
长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，
62.1，62.2，62.6.
（1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度 （结果精确到 ，同
一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，
记ξ为抽取的零件长度在 的个数，求ξ的分布列和数学期望；
随堂练习：新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学
生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过
一学期的教学实验，张老师所教的 名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在
内，按区间分组为 ， ， ， ， ，绘制成如下频
率分布直方图，规定不低于 分（百分制）为优秀．（1）求这 名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；
（2）按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取 名学生座谈，再在这 名学生中，选
名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量 ，求 的分布列和期望．
知识点二 计算古典概型问题的概率,利用互斥事件的概率公式求概率,写出简单离散型
随机变量分布列,求离散型随机变量的均值典例4、甲、乙两个学校进行球类运动比赛,比赛共设足球、篮球、排球三个项目,每个
项目胜方得100分,负方得0分,没有平局,三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠
军,已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.5,各项目比赛互不影响.
（1）求乙获得冠军的概率;
（2）用 表示甲校的总得分,求 的分布列与期望.
随堂练习：有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3
个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结
束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.
（1）分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；
（2）小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定
某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次
游戏中小李的得分之和为X，求X的分布列和数学期望 .
典例5、我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲､乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了
一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，
甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 ，甲､乙
两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲公司至少答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲､乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
随堂练习：某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举
行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的
天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为 ，
后两天每天出现风雨天气的概率均为 ，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前
两天的晚上均出现风雨天气的概率为 ，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率
为 .
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数 的分布列和数学期望 .典例6、足球比赛两队踢平，需要通过点球决胜。
1、扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左､中､右
三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门
将即使方向判断正确也有 的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，
求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；
2、好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲､乙､丙三名前锋队员在某次传接球的训练
中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能
地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n次
传球之前球在甲脚下的概率为p，易知 ．
n
①试证明： 为等比数列；
②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为q，比较p 与q 的大小．
n 10 10
随堂练习：为弘扬中国传统文化，山东电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如
下：
①有易、中、难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题
中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次．四轮
答题得分总和不低于10分进入决赛．选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概
率及得分如下表：容易题 中等题 难题
答对概率 0.7 0.5 0.3
答对得分 3 4 5
（1）若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答
题并说明理由；
（2）甲四轮答题中，选择了一个容易题、两个中等题、一个难题，若容易题答对，记
甲预赛四轮得分总和为X，求随机变量X的数学期望．
人教A版数学--概率专题二答案
典例1、答案：（1） ， （2）分布列见解析，
解：（1） ，解得 .
.
由题知： ，
， ，
， ，
的分布列.
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）由频率分布表可得 ，解得 ，
所以这200份问卷得分的平均值为：
；
由题意可得 的可能取值为 ，则 ，
又 ，
则 的分布列为：
典例2、答案： （1）乙比甲的单板滑雪成绩更稳定 （2）众数为 分，平均数为
分
（3）分布列答案见解析
解：（1）由图可知，乙比甲的单板滑雪成绩更稳定.
（2）因为甲单板滑雪项目测试中 分和 分成绩的频率之和为 ，
分成绩的频率为 ，所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的众数为 分，
测试成绩 分的频率为 ，
所以，甲单板滑雪项目各次测试分数的平均数为
.（3）由题意可知，在每次测试中，甲的成绩为 分，
并且乙的成绩为 分或 分的概率为： ，
依题意， ，所以， ，
， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
随堂练习：答案： （1）41.5（岁）． （2） （3）分布列见解析
解：（1）由小矩形面积和等于1可得： ， ∴ a＝
0.035
∴平均年龄为
（岁）．
（2）第1组总人数为200×0.01×10＝20，第2组总人数为200×0.015×10＝30
故用分层抽样后，第1组抽取 人，第2组抽取 人
∴再从这5人中抽取3人，
设至少1人的年龄在第1组中的事件为A，其概率为： .
（3）由题意可知X服从二项分布X～B（3， ）， ，
， .
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
典例3、答案：（1） ， ， ，60 （2）分布列见解析，2.1
解：（1）由题意可得 ， ，
所以 ， ， .
.
（2）由（1）可知从该工厂生产的新零件中随机选取1件，
长度d在 的概率
且随机变量ξ服从二项分布 ，
所以 ， ，
， ，
所以随机变量ξ分布列为
ξ 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343
.
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析；期望
解：（1） 名学生的平均成绩为
.
（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为 ，
则非优秀学员对应的频率为 ，
抽取的 名学生中，有优秀学生 人，非优秀学生 人；
则 所有可能的取值为 ，
； ；
； ；
的分布列为：
数学期望 .
典例4、答案： （1）0.5 （2）分布列见解析,150解:（1）由题知,乙获得冠军时,需要乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜,
乙在两个项目中获胜的概率
,
乙在三个项目均获胜的概率 ,
故乙获得冠军的概率 ;
（2）由题分析可得, 的所有可能取值为0,100,200,300,
,
,
,
,
所以 的分布列如下：
0 100 200 300
0.12 0.38 0.38 0.12
的期望 .
随堂练习：答案： （1） ； . （2）分布列见解析， .
解：（1）设“3轮获胜”为事件 ，“5轮获胜”为事件 ，
3轮：白黑黑： ，黑白黑： ，
所以，先摸球者3轮获胜的概率为若进行5轮，前四个球的情况为：黑白白白： ，
白黑白白： ，白白黑白： ，白白白黑：
，
所以，先摸球者5轮获胜的概率为
（2）由（1）得先摸球者获胜的概率为 .
X的所有可能取值为：0､1､2､3，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则 .
典例5、答案： （1） ； （2）甲公司竞标成功的可能性更大．解：（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；
所求概率
（2）设甲公司正确完成面试的题数为 ，则 的取值分别为 ．
．
则 的分布列为：
1 2 3
， ；
设乙公司正确完成面试的题为 ，则 取值分别为 ．
， ，
，
则 的分布列为：
0 1 2 3
．
．由 可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
随堂练习：答案： （1） （2）分布列见解析，
解：（1）由已知可得， ，又 ，解得
设 表示第i天可以举行音乐会，B表示该社区能举行4场音乐会
则
（2） 的可能取值为0，1，2，3，4，5
；
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5P
从而数学期望为：
典例6、答案： （）1分布列见解析；期望为 （2）①证明见解析 ；②
解：（1）方法一： 的所有可能取值为 ，
在一次扑球中，扑到点球的概率 ，
所以 ，
，
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
方法二：依题意可得，门将每次可以扑到点球的概率为 ，
门将在前三次扑到点球的个数 可能的取值为 ，易知 ，
所以 ，故 的分布列为：
0 1 2 3
所以 的期望 ．
（2）①第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
则当 时，第 次传球之前球在甲脚下的概率为 ，
第 次传球之前球不在甲脚下的概率为 ，
则 ，
即 ，又 ，
所以 是以 为首项，公比为 的等比数列．
②由①可知 ，所以 ，
所以 ， 故 ．
随堂练习：答案： （1）后两轮应该选择容易题进行答题，理由见解析 （2）
解：（1）依题意，甲前两轮都选择了中等题，只答对了一个，则甲得分为 分，要进
入决赛，还需要得 分，
所以甲后两轮的选择有三种方案：方案一：都选择容易题，则总得分不低于10分的概率为 ；
方案二：都选择难题，则总得分不低于10分的概率为 ；
方案三：选择一个容易题、一个难题，则总得分不低于10分的概率为：
；
因为 ，所以甲后两轮应该选择容易题进行答题.
依题意，X的可能取值为3、7、8、11、12、16，
则 ，
，
，
所以X的分布列为：
X 3 7 8 11 12 16
P
所以 .
