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人教A版数学--概率专题八
知识点一 写出简单离散型随机变量分布列,计算条件概率,求离散型随机变量的均值
典例1、在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每
道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得 分，选择错误得 分；多项选择题，每道
题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得 分，部分选对得 分，有选择错误
的得 分．
（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知
道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是 ．问小明在做某道单项选择题时，
在该道题做对的条件下，求他知道这道单项选择题正确答案的概率．
（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为 ，选择两个选项的概率为 ，
选择三个选项的概率为 ．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全
不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项
选择题所得的分数为 ，求 的分布列及数学期望．
随堂练习：某单位有A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐
和午餐都在单位用餐，近100个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲 30 20 40 10
乙 20 25 15 40假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（1）估计一天中甲选择2个餐厅用餐的概率；
（2）记X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求X的
分布列和数学期望E（X）；
（3）判断甲、乙两人在早餐选择A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择B餐
厅用餐？说明理由．
典例2、为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部
的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投
3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，
每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.
甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，
根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数
的数学期望；
（2）在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
随堂练习：某餐饮店饺子有水饺、蒸饺，面有带汤面条、带汤面块、干拌面条、干拌面块．其中蒸饺、干拌面条、干拌面块是不把食物与汤混在一起盛的，称为不带汤食物，
其余的都是把食物与汤混在一起的．
（1）甲、乙、丙、丁四人各随机在上述食品中选一种就餐．记事件A＝“恰有2人选择
面”，
事件B＝“甲选择不带汤食物”，求 ；
（2）若三名顾客在上述食物中各随机选一种就餐，其中选择饺子的人数是 ，求 的分
布列与数学期望 ．
典例3、浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在1月与选
考科目同期进行，称为“首考”，第二次在6月与语文、数学同期进行，称为“老高
考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分．英语在“首考”中“一考两用”，
成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩
仅用于高考，不计算学考等第.2022年1月“首考”中，英语成绩达到117分及以上的
考生，学考等第为A．某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各
名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得 ．
男生 女生
A等
非A等
1、从 名学生中随机选择1人，已知选到的学生英语学考等第为A，求这个学生
是男生的概率；
2、从 名女生中任意选2人，记这2人中获得A等的人数为 ，求 的数学期望与方差．
附： ，其中 ．
附表：
随堂练习：吃粽子是我国端午节的传统习俗.现有一盘子粽子装有10个，其中红豆粽2
个，肉粽3个，蛋黄粽5个，假设这三种粽子除馅料外外观完全相同，从中任意选取3
个.
（1）求选取的三个粽子中恰有1个肉粽的概率；
（2）求所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率．
（3）设ξ表示取到的红豆粽个数，求ξ的分布列与期望.
知识点二 根据散点图判断是否线性相关,相关系数的计算,非线性回归
典例4、应对严重威胁人类生存与发展的气候变化，其关键在于“控碳”，其必由之路
是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”，2020年第七十五届联合国大会一般性辩
论上，习近平总书记向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在
2060年前实现“碳中和”.近年来，国家积极发展新能源汽车，某品牌的新能源汽车宝
鸡地区销售在2022年5月至2022年9月这5个月的销售量 （单位：辆）的数据如下
表：
月份 2022年5月 2022年6月 2022年7月 2022年8月 2022年9月
月份代码： 1 2 3 4 5销售量： 45 56 64 68 72
（1）依据表中的统计数据，请判断月份代码 与该品牌的新能源汽车宝鸡地区销售量
（单位：辆）是否具有较高的线性相关程度?（参考：若 ，则线性相关
程度一般，若 ，则线性相关程度较高，计算 时精确度为0.01.）
（2）求销售量 与月份代码 之间的线性回归方程，并预测2022年11月份宝鸡地区的
销售量（单位：辆）.（结果保留整数）
参考数据： ， ， ，
参考公式：相关系数 ，
线性回归方程 中， ， ，其中 ， 为
样本平均值.
随堂练习：我国北方广大农村地区、一些城镇以及部分大中城市的周边区域，还在大量
采用分散燃煤和散烧煤取暖，既影响了居民基本生活的改善，也加重了北方地区冬季的
雾霾天气．推进北方地区冬季清洁取暖，是重大民生工程、民心工程，关系北方地区广大群众温暖过冬，关系雾霾天能不能减少，是能源生产和消费革命、农村生活方式革命
的重要内容．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得
煤改气、煤改电用户大幅度增加．图 1所示的条形图反映了某省 2018年1~7月份煤改
气、煤改电的用户数量．
（1）在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并
用散点图和相关系数说明y与t之间具有线性相关性；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测11月份该省煤改气、煤改电
的用户数量．
参考数据： ， ， ．典例5、一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本 （万元）与该月产量 （万
件）之间有如下一组数据：
x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87
y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26
（1）通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 加以说
明；
（2）①建立月总成本 与月产量 之间的回归方程；②通过建立的 关于 的回归方程，
估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元?（均精确到0.001）.
附注：①参考数据： ， ， ，
， .
②参考公式：相关系数 ， .随堂练习：近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随
机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：
年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得 ，
.
（1）用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说
明y与t相关性的强弱；
（2）建立y关于t的回归直线方程；
（3）若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.
附：①相关系数 ；
②在回归直线方程 中， .典例6、根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每
亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关
系数r并加以说明（若 ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产
量的增加量约为多少？
附：相关系数公式 ．
参考数据：
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
随堂练习：我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四
五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．
现该企业为了了解年研发资金投入额 （单位：亿元）对年盈利额 （单位：亿元）的
影响，研究了“十二五”和“十三五”规划发展期间近10年年研发资金投入额 和年
盈利额 的数据．通过对比分析，建立了两个函数模型：① ；② ，其中
、 、 、 均为常数， 为自然对数的底数．令 ， ，经计算
得如下数据：
26 215 65 2 6805.36 11250 130 2.6 12
（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
（2）根据（1）的选择及表中数据，建立 关于 的回归方程；（系数精确到0.01）
（3）若希望2021年盈利额 为250亿元，请预测2021年的研发资金投入额 为多少亿
元．（结果精确到0.01）
人教A版数学--概率专题八答案
典例1、答案： （1） （2）分布列见解析，数学期望
解：（1）记事件 为“该单项选择题回答正确”，事件 为“小明直到该题的正确答
案”，，
即小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，
他知道这道单项选择题正确答案的概率为 .
（2）由题意知： 所有可能的取值为 ，
设事件 表示小明选择了 个选项，事件 表示选择的选项是正确的，
； ；
的分布列为：
则数学期望 .
随堂练习：答案：（1）0.6 （2）分布列见解析，期望为3 （3）乙更有可能在午餐选
择B餐厅用餐
解：（1）由统计图表，一天中甲选择2个餐厅用餐的天数为60，概率为 ；
（2）易知 的可能值是 ，
， ，，
（2） 的分布列为：
2 3 4
0.24 0.52 0.24
．
（3）甲在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为 ，
乙在早餐选择A餐厅用餐的条件下午餐选择B餐厅用餐的概率为 ，
所以乙更有可能在午餐选择B餐厅用餐．
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为 ，
甲同学三分球投篮命中的概率为 ，
设甲同学累计得分为 ，
则 ，
则 ， 所以甲同学通过测试的概率为 .
设这300名学生通过测试的人数为 ，由题设 ， 所以
.（2）乙同学两分球投篮命中率为 ，
乙同学三分球投篮命中率为 .
设乙同学累计得分为 ，则 ，
.
设“甲得分比乙得分高”为事件 ，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件 ，
则
由条件概率公式可得 .
随堂练习：答案： （1） （2）答案见解析
解：（1）甲选择不带汤食物，这四人的选择方法总数为 ， ∴ ．
若甲选择蒸饺，则四人中恰有二人选择面的方法总数为 ．
若甲选择干拌面条或干拌面块，则四人中恰有二人选择面的方法总数为
．
∴ ． 所以 ．
（2）由题意得 所有可能取值为0，1，2，3．， ， ，
．
∴ 的分布列为
0 1 2 3
P
∴ ．
典例3、答案：（1） （2） ；
解：（1）用 表示事件“选到的学生学考等第为A等”，用 表示事件“选到男生”，
则 ．
（2）由 ，
而 ，可得 ． 因为 的可能取值为0，1，2．
， ，
所以这2人种获得A等人数的概率分布列为
0 1 2数学期望
方差
随堂练习：答案： （1） （2） （3）分布列见解析，
解：（1）令A表示事件“三个粽子中有1个肉粽”， 从中任意选取3个有 种
可能,
其中恰有1个肉粽的可能选法有 种,
∴由古典概型的概率计算公式有 .
（2）所选3个粽子有肉粽的可能选法有 种，
所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的选法有
种，
故所选3个粽子有肉粽的条件下红豆粽不少于1个的概率为 .
（3）由题意知，ξ可能取的值为 ，则
∴ ， ， ，
故ξ的分布列为：
0 1 2
则 的期望为 .典例4、答案： （1）具有较高的线性相关程度 （2） ，87辆
解：（1）由表中数据可得 ，
所以 ,又 ， ，
所以 .
所以月份代码 与销售量 （单位: 辆）具有较高的线性相关程度，
可用线性回归模型拟合销售量 与月份代码 之间的关系；
（2）由表中数据可得 ，
则 ，
所以 ，令 ，可得 (辆)，
故可预测2022年10月该品牌的新能源汽车该区域的销售量为 辆.
随堂练习：答案： （1）答案见解析 （2） ，2.02万户
解：（1）作出散点图如图所示．由条形图数据和参考数据得，
， ， ，
，
所以 ．
（2）y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，
从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
由 ，又由（1）得 ，
， 所以y关于t的回归方程为 ．
将 代入回归方程得 ．
所以预测11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．
典例 5、答案：（1） 与 正相关，且相关性很强 （2）① ；②
解：（1）作出散点图如图所示：由已知条件和参考数据得： ，
这说明 与 正相关，且相关性很强；
（2）①由已知求得 ， ，
∴所求回归直线方程为 .
②当 时， 万元 ， 此时产品的总成本约为
万元.
随堂练习：答案： （1） ，相关性很强； （2） ； （3）
万元.
解：（1）由题意得， ，
则 ，故 ，
故 ，
∵ ， ∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强．（2）根据题意，得 ，
，
∴y关于t的回归直线方程为 ．
（3）2023年对应的年份代码 ，当 时， ，
故预测2023年该家庭的教育支出为 （万元）．
典例6、答案： （1） ，说明见解析 （2） ；550千克
解：（1）由已知数据可得 ， ，
所以 ，
，
，
所以相关系数 ．
（2）因为 ，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．， ， 所以回归方程为
．
当 时， ．
即当液体肥料每亩使用量为10千克时，西红柿亩产量的增加量约为550千克
随堂练习：答案： （1）模型 的拟合程度更好 （2） （3）约
为27.56亿元
解：（1）设 和 的相关系数为 ， 和 的相关系数为 ．
由题意， ，
，
则 ，因此从相关系数的角度，模型 的拟合程度更好．
（2）先建立 关于 的线性回归方程，由 ，得 ，即 ．
， ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，所以 ，则
．
（3）2021年盈利额 （亿元），所以 ，则 ．
因为 ，
所以 ．所以2021年的研发资金投入量约为27.56亿元．
