5.1平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版）（解析版）_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_一轮复习_2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）

5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版） 思维导图考点呈现 例题剖析 考点一 概念辨析 【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A．向量 与 是相等向量 B．共线的单位向量是相等向量 C．零向量与任一向量共线 D．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【解析】对于A， ，故A错误； 对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误； 对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确； 对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C. 【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ） A．若 ，则 B． C． 与 的方向相反 D．若 ，则 【答案】B 【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错； 对于B选项， ，故B对；对于C选项， 与 的方向相同，故C错； 对于D选项，若 ，但 、 、 的方向不确定，故D错.故选：B. 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法错误的是（ ） A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线 C．单位向量长度都相等 D． ， ， 均为非零向量，若 ，则 【答案】D 【解析】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确； 方向相反的两个向量一定共线，故B正确； 单位向量长度都为1，故C正确； 当 时， 且 成立，但 不一定成立，故D错误；故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题： ①向量 的长度与向量 的长度相等； ②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上． 其中正确的命题个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确； 对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误； 对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确； 对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误； 对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B． 3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题中，不正确的是（ ） A．若 为单位向量，且 ，则 B．若 ， ，则 C． D．若平面内有四点 ，则必有 【答案】ABC 【解析】对于A， ， 与 同向或反向， 或 ，A错误； 对于B，若 ，则 ， ，但 与 可能不共线，B错误； 对于C， ，C错误； 对于D， ， ，D正确.故选：ABC. 考点二 共线定理 【例2-1】（2022·河南·平顶山市）已知向量 ， 不共线，且向量 与 平行，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 与 平行， ， 向量不共线， ∴存在实数k，使得 ， ，解得 ，故选：B． 【例2-2】（2022·山东潍坊·三模）已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， ，则 ， ， 三点共线的充要条件是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ， ， 三点共线的充要条件是 且 ，所以 ，故 .故选：C 【一隅三反】 1（2022·内蒙古）已知向量 ， 是两个不共线的向量， 与 共线，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 与 共线，所以 ， ， 所以 ， 因为向量 ， 是两个不共线的向量，所以 ，解得 ，故选：C． 2．（2022·山东泰安）已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，A，B三点共线， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为O，A，B三点共线，则 所以 ， ，即 整理得： 又∵向量 ， 不共线，则 ，则 故选：A． 3．（2022·全国·高三专题练习）①若 ，则 与 ， 共面； ② 与 ， 共面，则 ； ③若 ，则 ， ， ， 四点共面； ④若 ， ， ， 四点共面，则 .则以上结论中正确的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在①中， ，则由平面向量基本定理得 与 ， 一定在同一平面内，故①正确； 在②中，若 与 ， 共面，，但如果 ， 共线， 就不一定能用 ， 来表示，故②错误； 在③中，若 ，则 三向量在同一平面内，所以M、N、A、B四点共面，故③ 正确； 在④中，若M、P、A、B四点共面，且M、P、A、B共线，则 不一定成立，故④错误. 故选:B 考点三 平面向量的基本定理 【例3-1】（2022·河南·平顶山市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 .故选：C. 【例3-2】（2022·青海·海东市）已知在 中， ， ， ，则 （ ）A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 又 ，所以 ，得 ．故选：A 【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，设AD交BC于E，且 ，由B,E,C三点共线可得： ，∴ ， ∴ .设 ，则 ，∴ . 又 ，∴ ，∴ .故选：B. 【一隅三反】 1．（2022·吉林市）如图， 中， ， ，点E是 的三等分点 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 故选：B. 2．（2022·安徽·合肥市第八中学）在平行四边形ABCD中， ，G为EF的中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ．故选：B. 3．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中， 分别是 的中点， 交 于点 ， 则 （ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图， 过点 作 的平行线交 于 ， 则 是 的中点，且 ， ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ， 故选：B 4．（2022·河南郑州）在 中， 是 上一点， ， 是线段 上一点， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为 ，则 ，所以， ， ， 因为 是线段 上一点，设 ，其中 ，所以， ，解得 .故选：D. 5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ， 的面 积之比为______． 【答案】 【解析】如图所示，由 ，得 ， 取 为 中点， 为 中点，则 ，所以 ．故答案为： . 6．（2022·全国·高三专题练习）若点 是 的重心，点 、 分别在 、 上，且满足 ，其中 ．若 ，则 与 的面积之比为_______． 【答案】 【解析】设 的中点为 ，则 , 因为 ，所以 ,所以 ， 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以 故答案为：考点四 数量积 【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ，点D，E分别是边 AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，根据向量的线性运算法则，可得 ， 因为 ，且 为 的中点，可得 ，所以 ， 又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且 ，所以 ， 则 .故选：B. 【一隅三反】 1．（2022·北京·人大附中三模）在 中， ，点 是 的中点，则 （ ） A． B．7 C． D． 【答案】A 【解析】在 中，点 是 的中点，所以 , ,所以 .故选：A 2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知 均为单位向量，且满足 ， 则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ，同理 ．故选：B. 3．（2022·江苏苏州）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，且满足 ， 交 于F，设 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 ， ，因为 所以有 ， 因此 ，因为 ， ， ，所以 ，故选：B 考点五 取值范围 【例5-1】（2022·全国·高三阶段练习）在 ABC中，点D在线段BC的延长线上，且 ，点O △ 在线段CD上（与点C，D不重合）．若 ，则x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设 ，因为 ，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以 ， 所以 因为 ，所以 ，所以 .故选：C． 【例5-2】．（2022·黑龙江·大庆实验中学）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过 点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小 值是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由条件可得 ， ∵ ∴ ， 因为 三点共线，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，则 ； 当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值是 ；故选：C． 【一隅三反】 1．（2022·安徽阜阳）点M在边长为2的正三角形 内（包括边界），满足 ， 则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点M是正三角形 内的一点（包括边界），所以 ，由 .故选：B. 2．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则 的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】记 ，因为 ，所以 .故选：D 3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，P为边AC上的动点，则 的取值范围是（ ） A． B．[12，16] C． D． 【答案】B 【解析】因为P在AC上，所以 ，其中 ， 则 ， 因为 ，所以 .故选：B 4．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形 是 边上的一点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：因为 在 上，不妨设 ， 则 （其中 ） 所以 ， 因为 ，所以 法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则 ， ， ， ，其中∠ABC=45°，设点 ， 其中 ， ， ∴ ∵∴ 故选：D. 考点六 平面向量与其他知识综合运用 【例6-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若 ，则 的最小值是________. 【答案】9 【解析】∵ 是线段 上一点,∴ 三点共线， ∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 , 当且仅当 即 又∵ ∴ 时取等号， 的最小值为 9 .故答案为：9 【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知P是 的外心，且 ，则cosC= （ ） A．- B．- C． 或- D． 或- 【答案】B 【解析】因为P是 的外心，所以 ，由题知 ，两边平方得 即 ,即 ， 所以 ，则 ， 又由 ，得 ， 因为 ，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即 .故选：B 【一隅三反】 1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，且 ， ，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则 的的最小值是 （ ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设 ， ， ， ， 则 ， ， ， ， . 所以 ， 当且仅当 ， 时等号成立.所以 的的最小值是 .故选：B 2．（2022·全国·高三专题练习）集合 ， ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，集合 集合 要求解两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素， 因为元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等， 所以 ，解得 ，此时 ．故选：B． 3．（2022·全国·高三专题练习）直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 、 在过点 的直线上，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ） A． 为常数 B． 的最小值为 C． 的最小值为 D． 、 的值可以为 ， 【答案】B 【解析】如下图所示：由 ，可得 ， ， 若 ， ， ， 则 ， ， ， 、 、 三点共线， ， ， 故A正确； 所以 ， 时，也满足 ，则D选项正确； ，当且仅当 时，等号成立，C选项成 立； ，当且仅当 时，即 ， 时等号成立，故B选项错误. 故选：B4．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知点 不共线， 为实数， ，则“ ”是“点 在 内（不含边界）”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若 ，且 ，可知 三点共线， 若 ，点 在 内部（不含边界），则 ； 反之不成立，例如 时，此时 在 外部， 所以“ ”是“点 在 内（不含边界）”的必要不充分条件，故选：B.