文档内容
5.1 平面向量的线性运算及基本定理（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现
例题剖析
考点一 概念辨析
【例1-1】（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．向量 与 是相等向量
B．共线的单位向量是相等向量
C．零向量与任一向量共线
D．两平行向量所在直线平行
【答案】C
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B错误；
对于C，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C正确；
对于D，两个平行向量所在的直线可能重合，故D错误；故选：C.
【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． 与 的方向相反 D．若 ，则
【答案】B
【解析】对于A选项，由于任意两个向量不能比大小，故A错；
对于B选项， ，故B对；对于C选项， 与 的方向相同，故C错；
对于D选项，若 ，但 、 、 的方向不确定，故D错.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（理））下列说法错误的是（ ）
A．零向量与任一向量都平行 B．方向相反的两个向量一定共线
C．单位向量长度都相等 D． ， ， 均为非零向量，若 ，则
【答案】D
【解析】规定：零向量与任一向量都平行，故A正确；
方向相反的两个向量一定共线，故B正确；
单位向量长度都为1，故C正确；
当 时， 且 成立，但 不一定成立，故D错误；故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量 与向量 是共线向量，则点 ， ， ， 必在同一条直线上．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，向量 与向量 ，长度相等，方向相反，故①正确；
对于②，向量 与 平行时， 或 为零向量时，不满足条件，故②错误；
对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；
对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；
对于⑤，向量 与 是共线向量，点 ， ， ， 不一定在同一条直线上，故⑤错误．综上，正确的命题是①③．故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若 为单位向量，且 ，则
B．若 ， ，则
C．
D．若平面内有四点 ，则必有
【答案】ABC
【解析】对于A， ， 与 同向或反向， 或 ，A错误；
对于B，若 ，则 ， ，但 与 可能不共线，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D， ， ，D正确.故选：ABC.
考点二 共线定理
【例2-1】（2022·河南·平顶山市）已知向量 ， 不共线，且向量 与 平行，则实数
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 与 平行， ， 向量不共线，
∴存在实数k，使得 ， ，解得 ，故选：B．
【例2-2】（2022·山东潍坊·三模）已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ，
， ，则 ， ， 三点共线的充要条件是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ， ， 三点共线的充要条件是 且 ，所以 ，故 .故选：C
【一隅三反】
1（2022·内蒙古）已知向量 ， 是两个不共线的向量， 与 共线，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 与 共线，所以 ， ，
所以 ，
因为向量 ， 是两个不共线的向量，所以 ，解得 ，故选：C．
2．（2022·山东泰安）已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，A，B三点共线，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为O，A，B三点共线，则 所以 ， ，即
整理得： 又∵向量 ， 不共线，则 ，则 故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）①若 ，则 与 ， 共面；
② 与 ， 共面，则 ；
③若 ，则 ， ， ， 四点共面；
④若 ， ， ， 四点共面，则 .则以上结论中正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】在①中， ，则由平面向量基本定理得 与 ， 一定在同一平面内，故①正确；
在②中，若 与 ， 共面，，但如果 ， 共线， 就不一定能用 ， 来表示，故②错误；
在③中，若 ，则 三向量在同一平面内，所以M、N、A、B四点共面，故③
正确；
在④中，若M、P、A、B四点共面，且M、P、A、B共线，则 不一定成立，故④错误.
故选:B
考点三 平面向量的基本定理
【例3-1】（2022·河南·平顶山市）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 .故选：C.
【例3-2】（2022·青海·海东市）已知在 中， ， ， ，则
（ ）A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
又 ，所以 ，得 ．故选：A
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，设AD交BC于E，且 ，由B,E,C三点共线可得：
，∴ ，
∴ .设 ，则 ，∴ .
又 ，∴ ，∴ .故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·吉林市）如图， 中， ， ，点E是 的三等分点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 故选：B.
2．（2022·安徽·合肥市第八中学）在平行四边形ABCD中， ，G为EF的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ．故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形 中， 分别是 的中点， 交 于点 ，
则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图，
过点 作 的平行线交 于 ，
则 是 的中点，且 ， ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ， 故选：B
4．（2022·河南郑州）在 中， 是 上一点， ， 是线段 上一点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，所以， ，
，
因为 是线段 上一点，设 ，其中 ，所以， ，解得 .故选：D.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知 为 内一点， ，则 ， 的面
积之比为______．
【答案】
【解析】如图所示，由 ，得 ，
取 为 中点， 为 中点，则 ，所以 ．故答案为： .
6．（2022·全国·高三专题练习）若点 是 的重心，点 、 分别在 、 上，且满足
，其中 ．若 ，则 与 的面积之比为_______．
【答案】
【解析】设 的中点为 ，则 ,
因为 ，所以 ,所以 ，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 故答案为：考点四 数量积
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知 中， ， ，点D，E分别是边
AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，根据向量的线性运算法则，可得 ，
因为 ，且 为 的中点，可得 ，所以 ，
又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且 ，所以 ，
则 .故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·北京·人大附中三模）在 中， ，点 是 的中点，则 （ ）
A． B．7 C． D．
【答案】A
【解析】在 中，点 是 的中点，所以 , ,所以 .故选：A
2．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））已知 均为单位向量，且满足 ，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，同理
．故选：B.
3．（2022·江苏苏州）在 中， ，点D在线段 上，点E在线段 上，且满足
， 交 于F，设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， ，因为
所以有 ，
因此 ，因为 ， ， ，所以 ，故选：B
考点五 取值范围
【例5-1】（2022·全国·高三阶段练习）在 ABC中，点D在线段BC的延长线上，且 ，点O
△
在线段CD上（与点C，D不重合）．若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
设 ，因为 ，点O在线段CD上（与点C，D不重合），所以 ，
所以
因为 ，所以 ，所以 .故选：C．
【例5-2】．（2022·黑龙江·大庆实验中学）如图，在 中， 是线段 上的一点，且 ，过
点 的直线分别交直线 ， 于点 ， ，若 ， ，则 的最小
值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由条件可得 ，
∵ ∴ ，
因为 三点共线，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，则 ；
当且仅当 ，即 时取等号，故 的最小值是 ；故选：C．
【一隅三反】
1．（2022·安徽阜阳）点M在边长为2的正三角形 内（包括边界），满足 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为点M是正三角形 内的一点（包括边界），所以 ，由
.故选：B.
2．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高三期末）已知正三角形ABC的边长为4，点P在边BC上，则
的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】记 ，因为 ，所以 .故选：D
3．（2022·全国·高三专题练习）在 中， ，P为边AC上的动点，则
的取值范围是（ ）
A． B．[12，16]
C． D．
【答案】B
【解析】因为P在AC上，所以 ，其中 ，
则
，
因为 ，所以 .故选：B
4．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形 是 边上的一点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法一：因为 在 上，不妨设 ，
则 （其中 ）
所以
，
因为 ，所以
法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则 ，
， ， ，其中∠ABC=45°，设点 ，
其中 ， ，
∴
∵∴
故选：D.
考点六 平面向量与其他知识综合运用
【例6-1】（2022·全国·高三专题练习）在 中，点 是线段 上任意一点（不包含端点），若
，则 的最小值是________.
【答案】9
【解析】∵ 是线段 上一点,∴ 三点共线，
∴ m ＋ n = 1 , 且 m > 0 , n > 0 ,
当且仅当 即
又∵ ∴ 时取等号， 的最小值为 9 .故答案为：9
【例6-2】（2022·全国·高三专题练习）已知P是 的外心，且 ，则cosC=
（ ）
A．- B．- C． 或- D． 或-
【答案】B
【解析】因为P是 的外心，所以 ，由题知 ，两边平方得
即 ,即 ，
所以 ，则 ，
又由 ，得 ，
因为 ，则C与外心P在AB的异侧，即C在劣弧上，所以C为钝角，即 .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 中，M，N分别是线段 ， 上的点，且 ，
，D，E是线段 上的两个动点，且 ，则 的的最小值是
（ ）
A．4 B． C． D．2
【答案】B
【解析】设 ， ， ， ，
则 ，
， ， ， .
所以 ，
当且仅当 ， 时等号成立.所以 的的最小值是 .故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）集合 ，
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，集合
集合
要求解两个向量的交集，即找出两个向量集合中的相同元素，
因为元素是向量，要使的向量相等，只有横标和纵标分别相等，
所以 ，解得 ，此时 ．故选：B．
3．（2022·全国·高三专题练习）直角三角形 中， 是斜边 上一点，且满足 ，点 、
在过点 的直线上，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 为常数 B． 的最小值为
C． 的最小值为 D． 、 的值可以为 ，
【答案】B
【解析】如下图所示：由 ，可得 ，
，
若 ， ， ，
则 ， ，
，
、 、 三点共线，
， ，
故A正确；
所以 ， 时，也满足 ，则D选项正确；
，当且仅当 时，等号成立，C选项成
立；
，当且仅当 时，即 ，
时等号成立，故B选项错误.
故选：B4．（2022·浙江·绍兴一中高三期末）已知点 不共线， 为实数， ，则“
”是“点 在 内（不含边界）”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若 ，且 ，可知 三点共线，
若 ，点 在 内部（不含边界），则 ；
反之不成立，例如 时，此时 在 外部，
所以“ ”是“点 在 内（不含边界）”的必要不充分条件，故选：B.
