文档内容
7.7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 汉堡模型
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如下图所示：
圆柱 的底面圆直径为 ，母线长为 ，则 的中点 到圆柱底面圆上每点的距离都相等，
则 为圆柱 的外接球球心，球 的半径为 ，
可将三棱锥 置于圆柱 内，使得圆 为 的外接圆，如下图所示：
由正弦定理可知圆 的直径为 ，所以，三棱锥 外接球的半径 ，
因此，三棱锥 外接球的表面积为 .故答案为： .
【一隅三反】
1（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4， ，PB＝PC＝3， 平面
PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】在等腰 中，易知 ，所以 ， 的外接圆的半径为
，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为 .
所以其表面积为 .
故答案为：
2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积为_________．
【答案】
【解析】设 的外心分别为 ,连接 ，可知外接球的球心 为 的中点，连接
在 ，由正弦定理可得 的外接圆的半径 ,在直角三角形
中，外接球的半径 ,所以外接球的表面积为
故答案为：3．（2022·重庆八中模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，
三棱锥 为一个鳖臑，其中 平面 ， ， ， ，M为垂足，
则三棱锥 的外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】取AC的中点O，连接MO、BO，则 ， ，所以 ，
则 ，
又 ，所以 ，所以点O就是三棱锥 的外接球的球心，所以三棱锥
的外接球的球半径为 ，
所以三棱锥 的外接球的表面积为 ，
故答案为： ．考点二 墙角模型
【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的体对角线等于
（ ）
A． B．4 C． D． .
【答案】B
【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，所以正方体的体对角线等于 ；故选：B
【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中， 平面ABCD，底面ABCD是矩形，
，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为 ，则四棱锥P-ABCD的体积为（ ）
A．3 B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则 ，即 ．
由题意，易知 ，得 ，
设 ，得 ，解得 ，
所以四棱锥P-ABCD的体积为 ．故选：D
【一隅三反】1．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑
P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且 ，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.
【答案】
【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径 ，
因为PA⊥平面ABC，
所以鳖臑P-ABC外接球的半径 ，
故鳖臑P-ABC外接球的体积是 .
故答案为：
2．（2022·黑龙江）长方体 的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球 的球面上，
则球 的表面积为______.
【答案】
【解析】因为长方体的外接球 的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，
所以长方体的外接球 的直径 ，
故长方体的外接球 的半径为 ，
所以球 的表面积为 .故答案为：
3．（2022·贵溪市）棱长为 的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为 的正四面体可以嵌入到棱长为 的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的
立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为 ，则 ，
所以立方体外接球的体积 .
故正四面体的外接球体积为 .
故答案为：
考点三 斗笠模型
【例3】（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为 的扇形，则该圆锥的体积与它的外
接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为 ，则展开后扇形的弧长为 ，
再设圆锥的底面圆半径为 ，可得 ，即 ，
圆锥的高为 ，设圆锥外接球的半径为 ，则 ，解得 ．
圆锥的体积为 ，
圆锥外接球的体积 ，
∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为 ．故选：C．
【一隅三反】
1．（2022.济南）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积
为 ，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设底面半径为 ，圆锥母线为 ，所以 ，所以 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆， 是圆锥底面的圆心，
设球半径为 ，则 ， ，所以 ，
如图1， ，即 ，
解得 ，不符合题意，当为如图2时，即 ，
解得 ，所以球表面积为 ．
故选：A．
2．（2022·宁夏）已知一个圆锥的底面圆面积为 ，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为 ，高为 ，母线长为 ，圆锥的外接球半径为 ，
则 ，可得 ，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则 ，可得 ， ，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以， ，解得 ,
因此，该圆锥的外接球的表面积为 .
故选：B.
3．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为 ，高为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设该圆台的外接球的球心为 ，半径为 ，
则 或 ，解得 ，
所以该圆台的外接球的表面积为 .
故选：C.
4．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球 面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，面积为
，则球 的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设圆锥母线为 ，底面半径为 ，则 ，解得 ，
如图， 是圆锥轴截面，外接圆 是球的大圆，设球半径为 ，
， ， ， ，
所以球表面积为 ．故选：A．考点四 L模型
【例4】．（2022·全国·模拟预测）已知体积为 的三棱锥 ，满足平面 平面ABC，且
， ， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为 ， ， ，由余弦定理得 ，则 ，
所以△ABC为直角三角形，且 ．
设Rt△ABC的外接圆半径为r，点P到平面ABC的距离 ，
则 ，解得 ．
由题意可得 解得 ．
设三棱锥 的外接球的半径为R，
则有 ，解得 ，则三棱锥 的外接球的表面积 故选：D．
【一隅三反】1．（2022·广东佛山·三模）已知四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，平面 平面
，且 为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，在四棱锥 中，
取侧面 和底面正方形 的外接圆的圆心分别为 ，
分别过 ， 作两个平面的垂线交于点O，
则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，
取线段 的中点E，连 ， ， ， ，则四边形 为矩形，
在等边 中，可得 ，则 ，即 ，
在正方形 中，因为 ，可得 ，
在直角 中，可得 ，即 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为 .
故选：B.
2．（2022·陕西）如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直
角三角形， ， ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A．40π B．20π C．32π D．80π
【答案】A
【解析】设 中点为 ，连接 ，
因为 是以 为斜边的等腰直角三角形，
所以 ， ，
过点 作 ，
因为平面 平面 ，平面 平面
所以 平面 ， 平面 ，
所以三棱锥的外接球的球心在 上，设外接球的半径为 ，
则由 得 ，由 得 ，
又因为 ，所以 为等腰直角三角形，
设球心为 ， 中点为 ，连接 ，则 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 .故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习（文））在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中
点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF
的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 的中点 ，连 ，如图：依题意可知 ， ，
因为平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，即平面CDEF 平面ABFE，
所以 平面 ，所以 ， ， ，
因为 ，且 ，所以 平面 ，所以 ，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 为四面体CEGF的外接球的球心，其半径为 ，
所以其表面积为 .故选：B.
