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第 30 讲 动量和能量的综合应用
学习目标
明 确目标 确定方向
1动量守恒和弹性势能问题
2动量守恒和重力势能问题
3动量守恒和内能综合问题
【 典例分析 】 精 选例题 提高素
养
【例1】．如图所示，在光滑水平地面上，有用轻弹簧相连的A、B两物块，质量 ，弹簧处
于原长， 、 两物块均处于静止。在 、 两物块连线的右边，有一质量为 的C物块以
的速度向左运动，与 相碰，碰后二者粘在一起运动。求：
（1）C、B两物块相碰后的瞬间，C物块的速度 ？
（2）当轻弹簧的弹性势能最大时， 物块的速度 多大？
（3）轻弹簧弹性势能的最大值 是多大？
【例2】多选．如图所示，AB段为一竖直圆管，BC为一半径为 的半圆轨道，C端的下方有一质
量为 的小车，车上有半径 的半圆轨道，E为轨道最低点，左侧紧靠一固定障碍物，在直管
的下方固定一锁定的处于压缩的轻质弹簧，弹簧上端A放置一质量为 的小球（小球直径略小于圆
管的直径，远远小于R、r）。AB的距离为 ，A、E等高，某时刻，解除弹簧的锁定，小球恰好能通过BC的最高点P，从C端射出后恰好从D端沿切线进入半圆轨道DEF，并能从F端飞出。若各个接触
面都光滑，重力加速度取 ，则（ ）
A．小球恰好能通过BC的最高点P，
B．弹簧被释放前具有的弹性势能
C．小球从F点飞出后能上升的最大高度
D．小球下落返回到E点时对轨道的压力大小 N
【例3】．如图所示，A、B、C的质量分别为 、 、 ，轻弹簧的左端固定在挡板
上，C为半径 的 圆轨道，静止在水平面上。现用外力使小球A压缩弹簧（A与弹簧不连接），当
弹簧的弹性势能为 时由静止释放小球A，小球A与弹簧分离后与静止的小球B发生正碰，小球B到
圆轨道底端的距离足够长，经过一段时间小球滑上圆轨道，一切摩擦均可忽略，假设所有的碰撞均为弹性
碰撞，重力加速度取 。求：
（1）小球B能达到的最大高度；
（2）小球B返回圆轨道底端时对圆轨道的压力
（3）通过计算分析，小球B能否第二次进入圆轨道。【巩固练习】 举 一反三 提高能
力
多选1．如图所示，在固定的水平杆上，套有质量为m的光滑圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着质量
为m的木块，现有质量为 的子弹以大小为 的水平速度射入木块并立刻留在木块中，重力加速度为g，
下列说法正确的是（ ）
A．子弹射入木块后的运动过程中，圆环、木块和子弹构成的系统动量守恒
B．子弹射入木块后的瞬间，它们的共同的速度为
C．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
D．子弹射入木块后，子弹和木块能上升的最大高度为
多选2．如图所示，在光滑足够长水平面上有半径R=0.8m的 光滑圆弧斜劈B，斜劈的质量是M=3kg，底
端与水平面相切，左边有质量是m=1kg的小球A以初速度v=4m/s从切点C（是圆弧的最低点）冲上斜
0
劈，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（ ）A．小球A不能从斜劈顶端冲出
B．小球A能从斜劈顶端冲出后还会再落入斜劈
C．小球A冲上斜劈过程中经过最低点C时对斜劈的压力大小是30N
D．小球A从斜劈上返回最低点C时速度大小为2m/s，方向向左
多选3．如图，水平平面内固定有两根足够长的平行导槽，质量为2m的U型管恰好能在两导槽之间自由滑
动，其弯曲部分是半圆形，B点为圆弧部分中点，轻弹簧右端固定于U型管C点处，图为该装置的俯视
图。开始U型管静止，一半径略小于管半径、质量为m的小球以初速度 从U型管A点向左射入，最终又
从A点离开U型管，不计一切摩擦。下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到B点时U型管的速度大小为 B．小球运动到B点时小球的速度大小为
C．U型管获得的最大速度为 D．弹簧获得的最大弹性势能为
4．如图所示，质量为M的小车静置于光滑的水平面上，车的上表面粗糙，有一质量为m的木块以初速度
v 水平地滑至车的上表面，若车足够长，则木块的最终速度大小和系统因摩擦产生的热量分别为（ ）
0
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、5．如图所示，在光滑的水平面上静止一质量 的小车B，小车左端固定一根轻质弹簧，弹簧的自由
端C到小车右端的距离 ，这段车厢板与木块A（可视为质点）之间的动摩擦因数 ，而弹簧自
由端C到弹簧固定端D所对应的车厢板上表面光滑。木块A以速度 由小车B右端开始沿车厢板
表面向左运动。已知木块A的质量 ，重力加速度 取 。则木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大
弹性势能为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，一轻质弹簧两端分别连着木块A和B，均静止于光滑的水平面上。木块A被水平飞行的初速
度为 的子弹射中并镶嵌在其中，已知子弹的质量为 ，木块A的质量为 ，木块B的质量为 ，下
列说法正确的是（ ）
A．子弹击中木块A后，与A的共同速度大小为
B．子弹击中木块的过程中产生的热量为
C．弹簧压缩到最短时木块A的速度大小为
D．木块B在运动过程中的最大动能为
7．如图所示，一个质量M=2.0kg的长木板AB静止在水平面上，木板的左侧固定一个半径R=0.60m的四分
之一圆弧形轨道，轨道末端的切线水平，轨道与木板靠在一起，且末端高度与木板高度相同。现在将质量
m=1.0kg的小铁块（可视为质点）从弧形轨道顶端由静止释放，小铁块到达轨道底端时的速度 =3m/s，最
终小铁块和长木板达到共同速度。铁块与长木板间的动摩擦因数 ，忽略长木板与地面间的摩擦。取
重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小铁块在弧形轨道末端时所受支持力的大小F；（2）小铁块在弧形轨道上下滑过程中克服摩擦力所做的功W；
f
（3）小铁块和长木板达到的共同速度v以及相对于长木板滑动的距离x。
8．如图所示，轻弹簧连接着两个质量均为 的小球2、3，静止于光滑水平桌面上。另一个质量为
的小球1以速度 撞向小球2， 的方向沿着两小球2和3连线方向，已知小球之间的碰
撞为弹性碰撞且球1与球2之间不会发生二次碰撞，求：
（1）第一次碰撞刚结束时三个小球的速度分别是多少？
（2）经计算可知，在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s，弹簧第一次压缩到最短，求此时弹簧的弹性
势能。
（3）在小球1和2发生第一次碰撞后的1.57s内，小球3的位移为5.7m。求此时小球1和小球2之间的距
离。9．如图所示，光滑水平面与光滑曲面平滑连接，有两个半径相同的小球A、B，质量分别为m、3m。现让
A球以速度 向右运动与B球发生正碰，碰后小球A静止，小球B沿曲面上升的最大高度为 （未知）；
如果仅仅交换小球A、B位置，让B球以速度 向右运动与A球发生正碰，碰后小球A沿曲面上升的最大高
度为 （未知）（设两次碰撞产生的热量相同）求：
（1）小球A、B碰撞过程损失的机械能；
（2）上述过程中，小球A、B上升最大高度的比值 。
10．如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间。A的质量为m，
B、C的质量都为2m，三者都处于静止状态，现使B以某一速度 向右运动，B与A发生弹性碰撞，之后A
与C发生完全非弹性碰撞，求：
（1）物体A、B、C最终速度大小各是多少：
（2）整个碰撞过程损失的机械能。
