文档内容
第 3 讲 共点力下的动态平衡问题
1．（2022·辽宁）如图所示，蜘蛛用蛛丝将其自身悬挂在水管上，并处于静止状态。蛛丝 OM、ON
与竖直方向夹角分别为 、 （ ＞ ）。用F 、F 分别表示OM、ON的拉力，则（ ）
1 2
α β α β
A．F 的竖直分力大于F 的竖直分力
1 2
B．F 的竖直分力等于F 的竖直分力
1 2
C．F 的水平分力大于F 的水平分力
1 2
D．F 的水平分力等于F 的水平分力
1 2
2．（2022·浙江）如图所示，一轻质晒衣架静置于水平地面上，水平横杆与四根相同的斜杆垂直，
两斜杆夹角 ＝60°。一重为G的物体悬挂在横杆中点，则每根斜杆受到地面的（ ）
θ
√3 √3
A．作用力为 G B．作用力为 G
3 6
√3 √3
C．摩擦力为 G D．摩擦力为 G
4 8
3．（2022·浙江）如图所示，水平放置的电子秤上有一磁性玩具，玩具由哑铃状物件P和左端有玻
璃挡板的凹形底座Q构成，其重量分别为G 和G 。用手使P的左端与玻璃挡板靠近时，感受到
P Q
P对手有靠向玻璃挡板的力，P与挡板接触后放开手，P处于“磁悬浮”状态（即P和Q的其余
部分均不接触），P与Q间的磁力大小为F。下列说法正确的是（ ）A．Q对P的磁力大小等于G
P
B．P对Q的磁力方向竖直向下
C．Q对电子秤的压力大小等于G +F
Q
D．电子秤对Q的支持力大小等于G +G
P Q
4．（2022·浙江）如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩
擦因数为 ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为
，则下列μ说法正确的是（ ）
θ
μmg
A．轻绳的合拉力大小为
cosθ
μmg
B．轻绳的合拉力大小为
cosθ+μsinθ
C．减小夹角 ，轻绳的合拉力一定减小
D．轻绳的合拉θ 力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小
一.知识总结
1．共点力
作用于物体的同一点或作用线相交于一点的几个力。
2．平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的状态。
3．共点力的平衡条件
(1)F ＝0或者
合
(2)平衡条件的推论
①二力平衡：如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相
反。②三力平衡：如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的
合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以形成一个封闭的矢量三角形。
③多力平衡：如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的
合力大小相等，方向相反。
4.静态平衡与动态平衡：
（1）静态平衡模型
物体保持静止或匀速直线运动的状态，物体受到的各个力不变。
（2）动态平衡模型
①物体受到的力在发生动态变化，但物体保持静止或匀速直线运动的状态
②物体“缓慢”运动时，可把物体看作平衡状态处理，物体所受合力为0.
动态平衡问题较难！
二.解决动态平衡问题的思路与法：
1.解决问题切入思路
（1）解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量
与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)图解法
不需要列式计算，通过画图分析求解。对于三个力作用下的平衡问题，通常
①一个力大小、方向均不变，另一个力方向不变，通常画闭合三角形。
②一个力是恒力，另两个力方向的夹角保持不变的情况，可构造圆，来解决。恒力对应的圆心
角不变。
③当一个力是恒力，另一个力大小不变时，也可画圆来分析处理。
2.常用的物理方法
方 法 基本思路 求解方法 条 件
通过平行四边形 三力平衡
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个
定则，构建矢量
力的合 力的合力一定与第三个力大小相等，方向相
三角形，利用几
成法 反。可以应用三角函数、相似三角形等知识求
何知识求解
解
变矢量运算为代 三个或三个
将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组
数运算 以上共点力
正交分 力都满足平衡条件，即各力分解到x轴和y轴
作用下物体
解法 上，运用两坐标轴上的合力等于零的条件列方
的平衡
程求解，即∑F＝0，∑F＝0
x y
力的三 构建矢量三角 对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平 三力平衡
角形法 形，利用几何知 移，使三力组成一个首尾依次相接的闭合的矢识求解 量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三
角形等数学知识求解未知力
三.精选例题
题型1： 一恒两向变（一力不变，两力方向都变）——相似三角形
例1．如图所示，为质量均可忽略的轻绳与轻杆组成系统，轻杆A端用铰链固定，滑轮在A点正上
方（滑轮大小及摩擦力均可不计），轻杆B端吊一重物G现将绳的一端拴在杆的B端，用拉力
F将B端缓慢释放（均未断）到AB杆转到水平位置前，以下说法正确的是（ ）
A．绳子受到的拉力越来越大
B．绳子受到的拉力越来越小
C．AB杆受到的压力越来越大
D．AB杆受到的压力越来越小
题型2：一恒一向定（一力不变，一力方向不变）——有时有最小值
例2．如图所示，电灯悬挂于两墙之间，OA绳保持不动，更换OB绳使B点向上移动而保持O点
位置不变，则在B点向上移动时，两绳拉力变化情况是（ ）
A．OA绳拉力变小，OB绳拉力先变小后变大
B．OA绳拉力变小，OB绳拉力先变大后变小
C．OA绳拉力变大，OB绳拉力先变小后变大
D．OA绳拉力变大，OB绳拉力先变大后变小
题型3： 一恒一大小定（一力不变，一力的大小不变）——通常画圆
（多选）例3．如图所示，在“共点力合成”的实验中，橡皮条一端固定于 P点，另一端连接两个
弹簧测力计，分别用F 和F 拉两个弹簧测力计，将这端的结点拉至O点。现让F 大小不变，方
1 2 1
向沿顺时针方向转动某一角度，且F 始终处于PO左侧，要使这端的结点仍位于O点，则关于F
1
的大小和图中的 角，下列说法中正确的是（ ）
θA．增大F 的同时增大 角 B．增大F 的同时减小 角
2 2
C．增大F 而保持 角不θ变 D．减小F 的同时增大θ角
2 2
题型4： 一恒两向夹角定（一力不变，另两力力的方向夹角不变）——可构造圆辅助分析
θ θ
例4．如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始
π
时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为 （α＞ ）。现将重物向右上方缓慢拉
2
α
起，并保持夹角 不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中（ ）
α
A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力一直减小
题型5：一恒两大小定（一个力大小方向不变，另两个力大小总相等）
例5．如图所示，一固定的∩型支架两端连有一根长为L的轻绳，光滑轻质挂钩下端悬挂质量为m
的重物跨在轻绳上（挂钩可沿轻绳滑动）．开始时绳子固定在支架上等高的 M、N两点，绳中
拉力为F现保持绳子左端M固定且绳长不变，将绳子右端从N点沿竖直支架缓慢移至P点，再
从P点沿圆弧支架向左缓慢移至Q点．关于绳子拉力F的变化，下列说法正确的是（ ）
A．从N→P→Q的过程中，拉力F一直不变B．从N→P→Q的过程中，拉力F先不变，再减小
C．从N→P→Q的过程中，拉力F一直增大
D．从N→P→Q的过程中，拉力F先增大，再减小
四.举一反三，巩固练习
1. （多选）某小城街道两旁的仿古路灯如图所示，灯笼悬挂在灯柱上，若风沿水平方向
由右向左吹来，且风力缓慢增大，则（ ）
A．灯柱对灯笼的作用力逐渐减小
B．灯柱对灯笼的作用力逐渐增大
C．灯柱对灯笼的作用力与竖直方向的夹角逐渐增大
D．灯柱对灯笼的作用力与竖直方向的夹角逐渐减小
2. （多选）如图，两个半径均为r的光滑球a、b放在半径为R（R＞2r）的半球形容器
内，均静止时a、b与半球的接触点P、Q与半球球心O的连线与水平方向的夹角为 和 （a
＜ ）。若两球的质量用m 、m ，两球对容器的压力大小用F 、F 表示，则（ ）α β
a b Na Nb
β
A．m sinβ B．m cosβ
a= a=
m sinα m cosα
b b
C．F 1 D．F cosβ
Na= Na=
F F cosα
Nb Nb
3. （多选）如图所示，光滑的轻滑轮通过支架固定在天花板上，一足够长的细绳跨过滑轮，一端悬挂小球b，另一端与套在水平细杆上的小球a连接。在水平拉力F作用下小球a从
图示虚线位置开始缓慢向右移动（细绳中张力大小视为不变）。已知小球b的质量是小球a的
√3
2倍，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，小球a与细杆间的动摩擦因数为 ．则下列说法正确的
3
是（ ）
√3
A．当细绳与细杆的夹角为60°时，拉力F的大小为（2- ）mg
3
B．支架对轻滑轮的作用力大小逐渐增大
C．拉力F的大小一直增大
D．拉力F的大小先减小后增大
4. 如图所示，粗糙的水平地面上放置一物块，物块左边受到弹簧的斜向上且与水平面成
角的拉力作用，右侧受到水平向右的拉力F作用，物块处于静止状态。若将水平向右的拉力
θ大小变为F+ΔF，物块仍保持静止，则下列说法正确的是（ ）
A．弹簧的弹力一定变大
B．物块受到地面的摩擦力的大小可能不变
C．地面对物块的支持力可能变大
D．弹簧弹力和地面对物块的支持力以及拉力F的合力一定变大
5. 如图所示，衣服悬挂在不可伸长的轻绳上，衣架的挂钩是光滑的，轻绳的两端固定在
两根竖直杆上的A、B两点，衣服受到恒定水平向右的风力处于静止状态。保持A端位置不变，
将B端分别移动到B 、B 两点。下列说法正确的是（ ）
1 2A．B端移到B ，绳子张力变大
1
B．B端移到B ，绳子张力变小
1
C．B端移到B ，绳子张力变大
2
D．B端移到B ，绳子张力不变
2
6. 带同种电荷的金属小球A、B用跨过光滑定滑轮（大小不计）的绝缘细绳连接，平衡
时如图所示，OA绳长大于OB绳长。现有另一不带电的金属小球C（图中未画出）与A球接
触后拿开，A、B再次平衡时，下列说法正确的是（ ）
A．OA绳对A球的拉力F 大于OB绳对B球的拉力F
OA OB
B．A球的质量大于B球的质量
C．OA绳长与开始时相同
D．OA绳对A球的拉力增大
7. 如图所示，一个内表面光滑半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O是球心，碗的球半
径为R，一根轻质杆的两端固定有A、B两个小球（可视为质点），质量分别是m 、m ，已知
1 2
杆长为√2R，杆静止时与水平面夹角为15°，则A、B两小球的质量之比是（ ）
A．2：1 B．√3：1 C．√2：1 D．2：√3
8. 一学校物理项目学习小组研究悬索桥的受力特点，实际的悬索桥在工程上是复杂的，
他们进行了合理简化，悬索桥的简化模型如下：吊桥六对钢杆悬吊，六对钢杆在桥面上分列两排，其上端挂在两根钢缆上，如图为其一侧面图。已知图中相邻两钢杆间距离为 9m，靠桥面
中心的钢杆长度为2m（即AA′＝DD′＝2m），BB′＝EE′，CC′＝PP′，又已知两端钢
缆CM、PN与水平方向成45°角，若钢杆钢缆自重不计，每根钢杆承受拉力相同，桥面总质量
m，每根钢杆拉力均为T。以下说法正确的是（ ）
1
A．每根钢杆拉力大小为 mg
6
1
B．每对钢缆AD中拉力大小为 mg
3
√2
C．每对钢缆CM中拉力大小为 mg
2
D．BB′的长度为6m
9. 如图1所示，放在粗糙固定斜面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态。轻绳
AO绕过光滑的定滑轮与轻弹簧的右端及轻绳BO的上端连接于O点轻弹簧中轴线沿水平方向，
且弹簧原长L ＝0.9m，劲度系数k＝300N/m.轻绳的OC段长1m与竖直方向的夹角 ＝37°，斜
0
面倾角 ＝30°，物块A的质量m ＝5kg，物块B的质量m ＝4kg。设最大静摩擦力θ 等于滑动
A B
摩擦力。α（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）求弹簧伸长量Δx大小；
（2）求物块A受到的摩擦力的大小和方向；
（3）如图2所示，若在上述平衡状态下用轻绳代替弹簧，取下物块B然后用光滑轻滑轮把物块
B挂在轻绳上，重新平衡时物块A受到的摩擦力的大小和方向？
10. 如图所示，可视为质点的小球A、B通过光滑铰链与长为L的轻杆相连，A与地面上的O点也通过光滑的铰链与长为L的轻杆相连，B置于光滑水平面上，且A、B始终位于同一
个竖直面内。已知A的质量为2m，B质量为m，初始时对B施加水平力F，系统静止，杆与
竖直方向夹角 ＝37°；随后撤去F，B开始在水平面内向右运动，已知重力加速度为 g，sin37°
＝0.6，cos37°＝θ0.8，不计空气阻力，求：
（1）F的大小；
（2）当 为60°时，球A的速度的大小及方向。
θ
11. 一转动装置如图甲所示，两根足够长轻杆OA、OB固定在竖直轻质转轴上的O点，
两轻杆与转轴间夹角均为30°．小球a、b分别套在两杆上，小环c套在转轴上，球与环质量均
为m。c与a、b间均用长为L的细线相连，原长为L的轻质弹簧套在转轴上，一端与轴上P点
3
固定，另一端与环c相连。当装置以某一转速转动时，弹簧伸长到 L，环c静止在0处，此时
2
弹簧弹力等于环的重力，球、环间的细线刚好拉直而无张力。弹簧始终在弹性限度内，忽略一
切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）细线刚好拉直而无张力时，装置转动的角速度 ；
1
（2）如图乙所示，该装置以角速度 （未知）匀速ω转动时，弹簧长为L/2，求此时杆对小球的
2
弹力大小和角速度 。 ω
2
ω
